2023年上海市嘉定重点高中高考数学三模试卷-普通用卷

这是一份2023年上海市嘉定重点高中高考数学三模试卷-普通用卷，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年上海市嘉定重点高中高考数学三模试卷一、单选题（本大题共4小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  下列关于统计概率知识的判断，正确的是(    )A. 将总体划分为层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和、，且已知，则总体方差
B. 在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于
C. 某医院住院的位新冠患者的潜伏天数分别为，，，，，，，，则该样本数据的第百分位数为
D. 若，，则事件，相互独立2.  已知函数与它的导函数的定义域均为，则“在上严格增”是“在上严格增”的(    )A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件3.  已知双曲线：的离心率为，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则(    )A.  B.  C.  D. 4.  已知函数，若满足、、互不相等，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.  设集合，，则 ______ ．6.  若复数是的一个根，则 ______ ．7.  二项式的展开式中的系数等于______ ．8.  一般的数学建模包含如下活动过程：建立模型；实际情境；提出问题；求解模型；实际结果；检验结果，请写出正确的序号顺序______ ．9.  在中，已知，则角的大小为______ ．10.  某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布质量指标介于至之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需调整生产工艺，使得至多为______ 若，则
 11.  已知与垂直，，且与的夹角是钝角，则在方向上的投影为______ ．12.  若关于的方程在上在实数根，则实数的取值范围是______．13.  甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和若，则 ______ ．14.  已知是等差数列，若，且它的前项和有最大值，则当 ______ 时，取得最小正值．15.  若，分别是抛物线与圆上的点，则的最小值为______ ．16.  下图改编自李约瑟所著的中国科学技术史，用于说明元代数学家郭守敬在编制授时历时所做的天文计算图中的都是以为圆心的圆弧，是为计算所做的矩形，其中，，分别在线段，，上，，记，，，，给出四个关系式，其中成立的等式的序号有______ ．

；
；
．
三、解答题（本大题共5小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别为棱，的中点，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．
18.  本小题分
已知数列的前项和为，，对任意的正整数，点均在函数图像上．
证明：数列是等比数列；
问中是否存在不同的三项能构成等差数列？说明理由．19.  本小题分
烧烤是某地的特色美食，今年春季一场始于烟火、归于真诚的邂逅，让无数人前往“赶烤”当地某烧烤店推出元的烧烤套餐，调研发现，烧烤店成本单位：千元，包含人工成本、原料成本、场地成本、设备损耗等各类成本与每天卖出套餐数单位：份的关系如下： 与可用回归方程其中为常数进行模拟．
参考数据与公式：设，则    线性回归直线中，．
填写表格中的三个数据，并预测该烧烤店一天卖出份的利润是多少元利润售价成本，结果精确到元
据统计，由于烧烤的火爆，饮料需求也激增月份的连续天中某品牌饮料每天为该地配送的箱数的频率分布直方图如图，用这天的情况来估计相应的概率供货商拟购置辆小货车专门运输该品牌饮料，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载箱该饮料，满载发车，否则不发车若发车，则每辆车每趟可获利元；若未发车，则每辆车每天平均亏损元若或，请从每天的利润期望角度给出你的建议．
20.  本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为和的下顶点为，直线：，点在上．
若，线段的中点在轴上，求的坐标；
若直线与轴交于，直线经过右焦点，在中有一个内角的余弦值为，求；
在椭圆上存在一个点，到的距离为，使，当变化时，求的最小值．21.  本小题分
已知函数、，其导函数为，
若函数有三个零点、、，且，，试比较与的大小．
若，试判断在区间上是否存在极值点，并说明理由．
在的条件下，对任意的，，总存在使得成立，求实数的最大值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，设组数据分别记为，，，；，，，，
，总体的样本平均数为，
，
，
方差
，
只要当时，才成立，错误，
，在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于，错误，
，位新冠患者的潜伏天数从小到大排列分别为：，，，，，，，，
该样本数据的第百分位数为，错误，
，，事件，相互独立，正确．
故选：．
利用平均数和方差的计算公式判断，利用相关系数的性质判断，利用百分位数的求法判断，利用相互独立事件的定义判断．
本题考查平均数与方差的求法，相关系数的性质，百分位数的求法，相互独立事件的判断，属于中档题．
 2.【答案】 【解析】解：不妨设，
可得，
因为为上严格增函数，
而不是上严格增函数，
所以“在上严格增”推不出“在上严格增”，
不妨设，
可得，
因为是上严格增函数，
而不是上严格增函数，
所以“在上严格增“推不出“在上严格增”
故“在上严格增”是“在上严格增”的非充分非必要条件．
故选：．
由题意，通过特例可得两个条件之间的推出关系，进而可得正确选项．
本题考查利用导数研究函数的单调性和充分条件、必要条件的判断，考查了逻辑推理能力．
 3.【答案】 【解析】解：设，，
由，代入不等式中，
整理得恒成立，
则，
解得，
又，则；
故选：．
根据两点间距离公式，结合一元二次不等式的性质、双曲线离心率公式进行求解，即可得出答案．
本题考查双曲线的性质，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属中档题．
 4.【答案】 【解析】解：作出函数的图像，不妨设，如图，

根据三角函数的对称性得可得，
由，得，
，
故选：．
作出函数的图像，根据三角函数对称性得，解，得，进而得答案．
本题主要考查分段函数及其应用，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
 5.【答案】 【解析】解：，
，
．
故答案为：．
先解对数不等式求出，再利用交集运算求解即可．
本题考查了对数不等式的解法，交集及其运算，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：由解得，
复数是的一个根，，
．
故答案为：．
在复数域内解题中方程求出，从而求出．
本题考查复数的模与复数的运算，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】解：二项式的展开式的通项公式为，
令，求得，
二项式的展开式中的系数为．
故答案为．
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得展开式中的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
 8.【答案】 【解析】解：数学建模活动，根据实际情境，提出问题，基于问题，建立模型，通过模型的求解，以检验模型解决问题的结果，
若结果不符合实际，还需重新建立模型；若结果符合实际，问题的回答便有了实际的结果，
所以正确的序号顺序是．
故答案为：．
根据给定条件，利用数学建模的活动过程及顺序写出结论作答．
本题主要考查了数学建模的活动过程及顺序，属于基础题．
 9.【答案】 【解析】解：由得，
由正弦定理得：，，
，．
故答案为：．
由二倍角的正弦公式和正弦定理化简后即可直接求得．
本题考查用正弦定理解三角形，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：因为，且，所以，
又质量指标介于至之间的产品为良品，且该产品的良品率达到，
所以，即，解得，
所以至多为．
故答案为：．
易知，结合已知条件，可得，再解不等式组，即可．
本题考查正态分布及其性质，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 11.【答案】 【解析】解：设，则由题可得：，解得或，
与的夹角是钝角，，，
，在方向上的投影为．
故答案为：．
由题中条件求出的坐标，再由投影向量的概念即可求出．
本题考查向量的坐标运算、夹角、模及投影向量，还考查了计算能力，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】解：由得，
当，则，，
则，
即，
即实数的取值范围是，
故答案为：．
利用辅助角公式进行化简，求出角的范围，然后进行求解即可．
本题主要考查三角函数恒等变换，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键，是中档题．
 13.【答案】 【解析】解：依题意，不妨设甲圆锥的底面半径为，高为，乙圆锥底面半径为，高为，两者母线长为，则，，
由得，故，因为侧面展开图的圆心角之和为，所以，故，
所以，，
所以．
故答案为：．
利用圆锥侧面积公式，推得，再由侧面展开图的圆心角公式，推得，由此得到两圆锥高分别为与，从而求得两圆锥体积的比值．
本题考查空间几何体的体积的求法，等体积法的应用，考查运算求解能力，是中档题．
 14.【答案】 【解析】解：有最大值，
，
则，
又，
，
，
，
，
又，
，，
又，
为最小正值．
故答案为：
要求取得最小正值时的值，关键是要找出什么时候小于或等于，而大于，由，我们不难得到，根据等差数列的性质，我们易求出当取得最小正值时，的值．
本题考查数列的函数性质，还考查了等差数列的求和公式的应用，属于中档题．
 15.【答案】 【解析】解：设圆的圆心为，半径为，
当垂直于抛物线在点处的切线时，取得最小值，为，如图所示，

设点，则直线的斜率为，且，
由知，，
所以过点的切线的斜率为，
因为直线与切线垂直，所以，所以，
所以，即，
因为恒成立，所以，即，
此时，
所以，即的最小值为．
故答案为：．
设圆的圆心为，半径为，当垂直于抛物线在点处的切线时，取得最小值，为，利用导数的几何意义求得切线的斜率，再根据两直线垂直的条件，求得点的坐标，然后计算的值，即可．
本题考查直线与圆的位置关系，导数的几何意义等，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 16.【答案】 【解析】解：四边形是矩形，，
，，，平面，
平面，
四边形是矩形，，
，而，
，，平面，
平面，
，，，
故C，，
，，平面，
平面，
平面，
，同理，．
在中，有，，
在中，有，，
在中，有，
则，即，故正确，
，即不一定成立，错误．
在中，有，
在中，有，
故，故；故正确，
在中，有，
在中，有，
故，故正确，
若不成立，否则由的结论可得，这样为锐角矛盾．
故答案为：．
根据直角三角形的边角关系分别计算，，，的正弦值和余弦值，然后根据等量关系进行判断即可．
本题主要考查空间立体几何中的边角关系的判断，利用直角三角形的边角关系进行计算是解决本题的关键，是中档题．
 17.【答案】解：Ⅰ证明：在四棱锥中，
取的中点，连接、，
因为 是的中点，
所以 ，且．
又因为 底面是正方形，是的中点，
所以 ，且．
所以 ．
所以 四边形是平行四边形．
所以 ．
由于 平面，平面，
所以 平面．
因为 底面是正方形，所以 ．
又因为 平面．
所以以点为坐标原点，、、分别为、、轴，
如图建立空间直角坐标系．，，，，，．，，
设平面的法向量为．
有：即令，则，
所以．．
设直线与平面所成角为．
有：．
所以 直线与平面所成角的正弦值为． 【解析】Ⅰ取的中点，连接、，证明四边形是平行四边形．然后证明平面．
如图建立空间直角坐标系．求出平面的法向量，求出利用空间向量的数量积求解即可．
本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，是中档题．
 18.【答案】解：证明：数列的前项和为，，对任意的正整数，
点均在函数图像上，
，即，变形可得，
，，数列是等比数列；
中不存在不同的三项能构成等差数列，理由如下：
由的结论，得，而，
数列是等比数列，其首项为，公比为，则，
当时，，
，．
反证法：，且从第二项起数列严格单调递增，
假设存在，使得，，成等差数列，
可得，即，
两边同除以，可得，
是偶数，是奇数，
，假设不成立，
中不存在不同的三项能构成等差数列． 【解析】由题意得到，求得，结合等比数列的定义，即可求解；
由得到，求得，假设存在，使得，，成等差数列，化简得到，即可求解．
本题考查数列的递推公式，涉及等差数列的定义、反证法等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
 19.【答案】解：由表格及公式通过计算器可计算得，
补全填空如下： 根据题意，，
所以，
所以，
又，所以，
所以时，千元，
即卖出份的成本为元，
故利润元．
根据频率分布直方图，可知送货箱数的概率分布表为： 箱数设该运输户购辆车和购辆车时每天的利润分别为，元，
则的可能取值为，，，
其分布列为： 故E，
的可能取值为，，，，
其分布列为： 故E，
，
即购置辆小货车的利润更高，建议购买辆车． 【解析】根据表格与参考公式计算数据补全空并求出回归方程、估计成本即可；
由频率分布直方图得出送货箱数的概率，再由离散型随机变量的分布列与期望公式得出购辆车和购辆车时每天的利润的分布列，比较期望大小即可．
本题考查回归方程的应用，考查离散型随机变量的期望，是中档题．
 20.【答案】解：由题意可得，
，
的中点在轴上，
的纵坐标为，代入，得．
由直线方程可知，
若，则，即，
，
．
若，则，
，，
，
即，
，
，
综上或．
由点到直线距离公式可得，
很明显椭圆在直线的左下方，则，
即，
，
，
据此可得，，
整理可得，即，
从而．
即的最小值为． 【解析】由题意可得椭圆方程为，从而确定点的纵坐标，进一步可得点的坐标；
由直线方程可知，分类讨论和两种情况确定的值即可；
利用点到直线距离公式和椭圆的定义可得，进一步整理计算，结合三角函数的有界性求得，即可确定的最小值．
本题主要考查椭圆方程的求解，点到直线距离公式及其应用，椭圆中的最值与范围问题等知识，属于中等题．
 21.【答案】解：函数有三个零点、、，且，
可知，一正一负，
因为，
所以，
则，是方程的两根，
由韦达定理得，，
因为，
所以，
联立，解得，，
所以，函数定义域为，
可得，
所以，
易知，，
所以；
，开口向上，
而，，，
当时，，
根据零点存在性定理可知，存在使得，
当时，，单调递增；时，，单调递减，
所以在区间上存在极大值点；
当时，，，
根据零点存在定理可知，存在使得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以在区间上存在极小值点；
对任意的，，总存在使得成立，
不妨，的最大值为，
此时满足，
整理得，，，
由得，
由得，
由得，
解得，
当且仅当，即，时等号成立，
故实数的最大值为． 【解析】由题意，对函数解析式进行整理，可得，，是方程的两根且，一正一负，利用韦达定理列出等式即可求出和的值，代入，和中即可比较大小；
由导函数为二次函数，开口向上，对和这两种情况进行讨论，利用导数得到函数的单调性，结合零点存在性定理即可求解；
结合中所得信息，将，，分别代入，得到不等式组后整理可得，解得，进而可得实数的最大值．
本题考查利用导数研究函数的单调性以及零点存在性定理，考查了逻辑推理、转化思想以及运算能力．