37.湖南省衡阳市第八中学2020届高三数学上学期第二次（9月）月考试题理

湖南省衡阳市第八中学2020届高三数学上学期第二次（9月）月考试题 理

注意事项：

1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（  ）

2．已知集合若，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

3．已知为锐角，则的值为（    ）

A． B． C． D．

4．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31．5尺，前九个节气日影长之和为85．5尺，则立夏日影长为（   ）

A．1．5尺 B．2．5尺 C．3．5尺 D．4．5尺

5．已知函数，则定积分的值为(   )

A． B． C． D．

6．已知，则的值为（   ）

A． B． C． D．

7．若定义在上的偶函数满足且时，，则方程的零点个数是（   ）

A．个             B． 个              C．个          D．个

8．已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则=（     ）A．   B．2                C．                D．1

9．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是(      )A． B． C． D．

10．设函数f(x)＝sin(2x＋)，若方程f(x)＝a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，则x1＋2x2＋x3的值为(　　)

A．π              B.                 C.                D.

11．已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（     ）

A.        B.          C.           D.

12. 设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,…

若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则(     )

A．{Sn}为递减数列               B.{Sn}为递增数列  

C.{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列  

D.{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 

 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

13．设函数图像上点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是____.

14．已知平面向量＝(1,2)，＝(4,2)，＝＋m(m∈R)，且与的夹角等于与的夹角，则m＝________.

15．已知分别为三个内角的对边，a=1，且则面积的最大值为____________．

16．已知函数，．若方程恰有3个互异的实数根，则实数的取值集合为__________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分）

已知函数f(x)＝sin(ωx+)＋b.

(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝对称，且ω∈[0,3]，求函数f(x)的单调递增区间；

(2)在(1)的条件下，当x∈时，函数f(x)有且只有一个零点，求实数b的取值范围．

18.（本小题满分12分）

衡阳市八中学生食堂的伙食质量在广大同学中有口皆碑，高三某同学尤其爱吃肉包。他一直在八中二食堂买肉包，面点师声称卖给学生的包子平均质量是100g,上下浮动0.5g.在这位同学眼中，这运用数学语言表达就是：肉包的质量服从期望为100g,标准差为0.5g的正态分布。

（1）假设面点师没有撒谎，现该同学从该食堂任意买两个肉包，求每个肉包的质量均不少于100g的概率。

（2）出于兴趣，该同学每天将买来的肉包称重并记录得到25个肉包质量（X）的数据（单位：g）如下表：

设从这25个肉包中任取2个，其质量不少于100g的肉包个数记为η，求η的分布列及

E（η）；

（3）该同学计算这25个肉包质量(X)的平均值=97.872g,标准差是2.016g,他认定面点师在制作过程中偷工减料，并果断举报给学校后勤部门。食堂管理人员对面点师做了惩罚，面点师也承认自己的错误,并同意作出改正。该同学在接下来的一段时间里每天都去该食堂买肉包。他又认真记录了25个肉包的质量，并算得他们的平均值为100.26g,标准差是0.508g.于是该同学又一次将面点师举报了。请你根据两次平均值和标准差的计算结果及其统计学意义，说说该同学又一次举报的理由。

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，PA底面ABCD，ADAB，ABCD,AD=DC=AP=2,AB=1.点为棱的中点。

（1）证明：PD面ABE；

（2）若为棱上一点，满足BFAC，求二面角的余弦值。

20．（本小题满分12分）

如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，

 的公共点为，其中的离心率为.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的斜率的范围.

21．（本小题满分12分）

已知函数．(1)当时，取得极值，求的值．

(2)当函数有两个极值点，且1时总有成立，求m的取值范围．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．选修4一4：坐标系与参数方程（10分）

在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线是圆心的极坐标为（）且经过极点的圆

（1）求曲线C1的极坐标方程和C2的普通方程；

（2）已知射线 分別与曲线C1，C2交于点A，B（点B异于坐标原点O），求线段AB的长.

23．选修4一5：不等式选讲：（10分）

已知函数，，且的解集为.

（1）求的值；

（2）若，，是正实数，且，求证：.

启慧.衡阳市八中2020届高三月考（二）

数学（理科）答案

13．      14.m=   15．   16．．

【解析】

试题分析：（方法一）在同一坐标系中画和的图象（如图），问题转化为

与图象恰有三个交点．当与（或与）相切时，与图象恰有三个交点．把代入，得，即，由，得，解得或．

（方法二）显然，∴．令，则．∵，∴．结合图象可得或。

考点：方程的根与函数的零点．

17、解：(1)∵函数f(x)＝sin(ωx+)＋b，且函数f(x)的图象关于直线x＝对称，∴ω·＋＝kπ＋(k∈Z)，且ω∈[0,3]，∴ω＝2.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．

(2)由(1)知f(x)＝sin＋b.

∵x∈，∴2x＋∈.当2x＋∈，即x∈时，函数f(x)单调递增；当2x＋∈，即x∈时，函数f(x)单调递减．

又f(0)＝f，∴当f＞0≥f或f＝0时，函数f(x)有且只有一个零点，即sin≤－b＜sin或1＋b＝0，∴.

故实数b的取值范围为.

18、（1）由已知可得该同学从该食堂购买任意一个肉包，其质量不少于 100g 的概率为 ，所以该同学从该食堂任意购买 2 个肉包，其质量不少于100g的肉包数概率为。

（2）η的取值可以是0,1,2.

P（η=0）=

P（η=1）=     

 P（η=2）

（3）该同学经过仔细思考，认为标准差代表了肉包重量的误差，可以理解成面点师手艺的精度，这个数字在短时间内很难改变，这对面包师的手艺是个巨大的飞越，显然并不合理，该同学断定只能是随机性出现了问题．也就是肉包的来源不是随机的，而是人为设定的，最大的可能就是每当该同学到来时，面点师从现有肉包中挑选一个较大的给了该同学，而面点师的制作方式根本没有改变．肉包质量的平均值从 97.872g 提高到了100.26g 也充分说明了这一点.

19．(1)证明见解析.(2) .

详解：依题意，以点为原点，以为轴建立空间直角坐标系如图，

可得

由为棱的中点，得

（1）向量

故,又AB面PAD.所以AB面PD。故PD面ABE

（2）

由点在棱上，设

故

由，得

因此，

即

设为平面的法向量，则，即

不妨令，可得为平面的一个法向量

取平面的法向量，则

所以二面角的余弦值为

点睛：本题主要考查利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.

20．(Ⅰ) ; (Ⅱ).

【解析】1）由上半椭圆和部分抛物公共点为，得，设的半焦距为，由及，解得；

（2）由（1）知，上半椭圆的方程为， ，易知，直线与轴不重合也不垂直，故可设其方程为，并代入的方程中，整理得： ，

由韦达定理得，又，得，从而求得，继而得点的坐标为，同理，由得点的坐标为，最后由,解得，

21．（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：⑴求导后，代入，取得极值，从而计算出的值，并进行验证(2)由函数有两个极值点算出，继而算出，不等式转化为，构造新函数，分类讨论、、时三种情况，从而计算出结果

解析：（Ⅰ），，则

检验时，，

所以时，，为增函数；

时，，为减函数，所以为极大值点

（Ⅱ）定义域为，有两个极值点，则在上有两个不等正根

所以，所以

.所以，所以

这样原问题即且时，成立

即

即

即，即

且

设

①时，，

所以在上为增函数且，

所以，时，不合题意舍去.

②时，同①舍去

③时

（ⅰ），即时可知，在上为减函数且，

这样时，，时，

这样成立

（ⅱ），即时分子中的一元二次函数的对称轴开口向下，且1的函数值为

令，则时，，为增函数，

所以，故舍去

综上可知：

点睛：本题考查了含有参量的函数不等式问题，在含有多个参量的题目中的方法是要消参，从有极值点这个条件出发推导出参量及的取值范围，在求解的范围时注意分类讨论，本题综合性较强，题目有一定难度

22．(1) ;.

(2) .

（1）由曲线的参数方程为（为参数），消去参数得，

又代入得的极坐标方程为，

由曲线是圆心的极坐标为且经过极点的圆.

可得其极坐标方程为，

从而得的普通方程为.

（2）将代入得，

又将代入得，

故.

23．（1）；（2）详见解析．

试题分析：（Ⅰ）等价于,从而可求得的解集,根据已知其解集为可得的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知,又因为是正实数,所以根据基本不等式即可证明．

解：（1）因为，所以等价于

由有解，得，且其解集为

又的解集为，故

（2）由（Ⅰ）知，又是正实数，由均值不等式得

当且仅当时取等号。

也即

考点：1绝对值不等式；2基本不等式．