2023年河南省南阳市西峡县中考数学一模试卷（含解析）

2023年河南省南阳市西峡县中考数学一模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图所示的几何体是由一些相同的棱长为的正方体组成，下列关于该几何体三视图面积说法错误的是(    )

A. 左视图的面积等于 B. 俯视图的面积都等于
C. 正视图的面积等于 D. 正视图的面积等于

3.  研究发现新冠肺炎病毒大小约等于米，可用科学记数法表示为的形式，则、的值分别为(    )

A. 、 B. 、 C. 、 D. 、

4.  如图，直线，直线交于点，直线交于，，则的度数等于(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  某校八年级准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组代表学校参加市青少年科技创新大赛，各组的平时成绩的平均数单位：分及方差如表所示：如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

7.  不等式组的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，点是外的任意一点，点是线段的中点，以为圆心，以长为半径的圆交于点、则下列命题不一定是真命题的是(    )

A. 、是的切线 B. 是线段的垂直平分线
C. 是等边三角形 D.

9.  在学习图形与坐标的课堂上，老师让同学们自主编题，梅英同学编的题目是：“已知正方形边长自定，请建立适当的平面直角坐标系，确定正方形各顶点的坐标”同桌魏华同学按题目要求建立了平面直角坐标系并正确的写出了正方形各顶点的坐标若在魏华同学建立的平面直角坐标系中，正方形关于轴对称，但不关于轴对称，点的坐标为，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在矩形中，，，动点从点出发，以的速度沿的方向运动，动点同时从点出发，以的速度沿的方向运动，两动点到达点停止运动设运动的时间为，的面积为，则下列关于的函数图象正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  的平方根是______．

12.  算法统宗中有如下的类似问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少二十五，八两多十五，试问能算者，合与多少肉？”，意思是一个哑巴来买肉，说不出钱的数目，买一斤两还差二十五文钱，买八两多十五文钱，问哑巴所带的钱数和肉价各是多少？设肉价为文两，哑巴所带的钱数为文，则可建立方程组为______ ．

13.  圆心角为的扇形面积为，则该扇形的弧长等于______ ．

14.  如图，随机闭合开关，，中的两个，则能让小灯泡，同时发光的概率为______ ．

15.  如图，点是正方形边上一动点点不与点、重合，连接，过点作交于，垂足为，连接，已知正方形的边长为，则的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：
；
．

17.  本小题分
在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点横坐标为．
求这个反比例函数的解析式；
当时，对于每一个的值，反比例函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．

18.  本小题分
如图，菱形的对角线，交于点，点，分别在，的延长线上，且，．
求证：四边形是矩形；
若，，求的长．

19.  本小题分
某校计划更换校服款式，为调研学生对，两款校服的满意度，随机抽取了名同学试穿两款校服，对舒适性、性价比和时尚性进行评分满分均为分，并按照：：的比计算综合评分．将数据评分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
，两款校服各项评分的平均数精确到如下：

不同评分对应的满意度如下表：

，两款校服时尚性满意度人数分布统计图如图：

校服时尚性评分在这一组的是：
根据以上信息，回答下列问题：
在此次调研中，
校服综合评分平均数是否达到“非常满意”：______填“是”或“否”；
校服时尚性满意度达到“非常满意”的人数为______；
在此次调研中，校服时尚性评分的中位数为______；
在此次调研中，记校服时尚性评分高于其平均数的人数为，校服时尚性评分高于其平均数的人数为比较，的大小，并说明理由．

20.  本小题分
某数学兴趣活动小组的同学们利用周末时间开展综合实践活动，测量高空的气温如图，是与地面处在同一水平面的横跨河流的大桥，数学兴趣活动小组的同学们操纵无人机在河流上空处测得大桥两端、的俯角分别为，，已知大桥长米，海拔每升高米，气温下降，此时地面气温为，求无人机所在处点的气温是多少摄氏度？参考数据：，，
 

21.  本小题分
某中学为了创建“最美校园图书屋”，新购买了一批图书，其中科普类图书每本书的价格是文学类图书每本书价格的倍已知学校用元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多本．
学校购买文学类图书和科普类图书每本书的价格分别是多少元？
新学期，学校计划一次性购进科普类图书和文学类图书一共册，且购进的科普类图书不少于文学类图书的，如何购买花费最少？最少花费为多少元？

22.  本小题分
实践与探究：如图，是的内接三角形．
尺规作图不写作法，保留作图痕迹：
作的平分线，交于；
作线段，交的延长线与，使连接、；
观察与是否全等；若全等，请证明：若不全等，请说明理由；
如图，若是的直径，且，，其它条件不变，求线段的长．

23.  本小题分
如图，抛物线与轴相交于点、点在点的左侧，与轴的交于点，点是第三象限内抛物线上的一个动点，设点的横坐标为，过点作直线轴于点，作直线交于点已知抛物线的
顶点坐标为
求抛物线的解析式；
求点、的坐标和直线的解析式；
求当线段时的值；
连接，过点作直线交轴于点，试探究：在点运动过程中是否存在，使得，若存在直接写出的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
根据相反数的定义解答即可．
本题考查的是相反数，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意知，该组合体的左视图为，俯视图为，主视图为，
选项结论正确，选项结论错误，
故选：．
根据三视图的知识得出结论即可．
本题主要考查简单组合体的三视图的知识，熟练掌握三视图的知识是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故，，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
即：，
，
，
，
，
．

故选：．
首先根据对顶角的性质得到，再根据可求出，最后再根据平行线的性质可求出的度数．
此题主要考查了平行线的性质，对顶角的性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．
 

5.【答案】 

【解析】解：不能计算，
选项A不符合题意；
，
选项B不符合题意；
，
选项C不符合题意；



，
选项D符合题意，
故选：．
运用合并同类项、同底数幂相乘、同底数幂相除的计算方法进行逐一计算、辨别．
此题考查了合并同类项、同底数幂相乘、同底数幂相除的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．
 

6.【答案】 

【解析】解：甲组、丁组的平均数比乙组、丙组大，
应从甲和丁组中选，
甲组的方差比丁组的方差小，
甲组的成绩较好且状态稳定，应选的组是甲组；
故选：．
先比较平均数得到甲组和丁组成绩较好，然后比较方差得到甲组的状态稳定，于是可决定选甲组去参赛．
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

7.【答案】 

【解析】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接、、、，
由题意得：是的直径，
，
、是的半径，
、是的切线，故选项A是真命题，不符合题意；
，，
是线段的垂直平分线，
，故选项B、是真命题，不符合题意；
不能确定是等边三角形，故选项C不一定是真命题，符合题意；
故选：．
连接、、、，根据圆周角定理得到，根据切线的判定定理判断；根据线段垂直平分线的判定和性质判断、．
本题考查的是切线的判定、圆周角定理、线段垂直平分线的判定和性质，掌握切线的判定定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：正方形关于轴对称，
轴过的中点，过的中点，
由点的坐标为，
我们将四等分，其中等分点使得，
则点为原点，作出轴，如图：

点的坐标为：．
故选：．
先根据“正方形关于轴对称，”确定轴的位置，再根据点的坐标确定原点的位置，进而确定轴的位置，从而写出点的坐标．
本题考查平面直角坐标系中点的坐标，正方形的性质，根据所给条件确定坐标系是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：当点在上运动，点在上运动，即时，
此时，，，
；
当点在上运动，点在上运动，即时，如图，

此时，，
；
当点在上运动，点在上运动，即时，如图，

此时，，，，，



；
综上，．
故选：．
根据运动轨迹，找出几何运动的转折点，以此可分三段进行求解：当点在上运动，点在上运动，即时；当点在上运动，点在上运动，即时；当点在上运动，点在上运动，即时．再根据三角形的面积公式分段求出关于的函数关系式，最后即可判断函数图象．
本题考查了动点问题的函数图象，理解题意，分段求出函数解析式是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【解答】

解：因为，且的平方根是，
即的平方根是．
故答案为：．
【分析】
本题考查了平方根及算术平方根的知识，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键．
先求得的值，再求的平方根，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根．

12.【答案】 

【解析】解：买一斤两还差二十五文钱，
；
买八两多十五文钱，
．
根据题意可列方程组．
故答案为：．
根据“买一斤两还差二十五文钱，买八两多十五文钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设扇形的半径是，
由题意得：，
，
扇形的弧长．
故答案为：．
由扇形面积计算公式，弧长计算公式，即可求解．
本题考查扇形面积的计算，弧长的计算，关键是掌握扇形面积计算公式，弧长的计算公式．
 

14.【答案】 

【解析】解：由图可知，闭合开关和，能让小灯泡，同时发光，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中能让小灯泡，同时发光的结果有种，
能让小灯泡，同时发光的概率为．
故答案为：．
画树状图得出所有等可能的结果数和能让小灯泡，同时发光的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
点的运动轨迹是以为直径的圆上一段圆弧上，
如图，取中点，连接，交为点，则为所求，

正方形的边长为，
，，
，
，
．
故答案为：．
以为直径作，连接，交为点，根据点圆最值的性质，则为最小距离，再根据勾股定理计算即可．
本题考查了正方形的性质的应用，点圆最值的应用是解题关键．
 

16.【答案】解：


；




． 

【解析】先根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值和绝对值进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．
本题考查了负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的混合运算和分式的混合运算等知识点，能正确根据实数的运算法则和分式运算法则进行计算是解此题的关键．
 

17.【答案】解：对于，当时，，
则一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为，
，
反比例函数的解析式为：；
解方程组，得或，
由题意得：，
解得：，
则的取值范围是． 

【解析】根据一次函数图象上点的坐标特征求出直线与双曲线的交点坐标，进而求出，得出反比例函数的解析式；
解方程组求出一次函数图象与反比例函数图象交点，根据题意列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是反比例函数知识的综合运用，掌握一次函数图象与反比例函数图象交点的求法是解题的关键．
 

18.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，
，即，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
解：四边形是菱形，
，，，
在中，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
在中，，
． 

【解析】先证，得出四边形是平行四边形，再由，即可得出结论；
由菱形的性质得，，，在中，由锐角三角函数定义求出，得出，再在中，由锐角三角函数定义求出即可．
本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识；熟练掌握菱形的性质和锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

19.【答案】解：校服综合评分平均数为：，
“非常满意”是，
达到“非常满意”，
故答案为：是；
校服时尚性满意度达到“非常满意”的人数为：人，
故答案为：人；
由题意得，校服时尚性评分中，不满意人数：人，基本满意人数：人，满意人数：人，非常满意人数：人，
中位数是和位的中位数，是中的前两位，即，
故答案为：；
，
理由如下：校服时尚性评分的平均数为，达到满意水平，
由扇形图可知，人中对校服时尚性评分达到满意和非常满意是人数是人，
，
校服时尚性评分时尚性评分平均数为，小于中位数，
，
． 

【解析】本题考查的是中位数、平均数，扇形图，掌握中位数的概念、正确获取扇形图的信息是解题的关键．
求出校服综合评分平均数，根据题意比较大小，得出结论；
根据扇形图计算；
根据中位数的概念解答即可；
根据校服时尚性评分的平均数为，校服时尚性评分时尚性评分平均数为，分别求出、，证明结论．
 

20.【答案】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，

由题意得：米，，
设米，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
，
解得：，
米，
海拔每升高米，气温下降，此时地面气温为，
，
无人机所在处点的气温约为摄氏度． 

【解析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：米，，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

21.【答案】解：设文学类图书的价格为元，则科普类图书的价格为元．
依题意得：，
解得：，
检验后知道是原方程的解，
，
答：文学类图书和科普类图书每本书的价格分别是元，元．
设购进文学类图书册，则购进科普类图书册，总费用为元，
依题意得：，
整理得：，
购进的科普类图书不少于文学类图书的，
，
解得：，
对于，随的增大而减小，
当取最大值时，为最小，
又，
当时，为最小，此时元，册
答：购买文学类图书册，科普类图书册花费最少，最少花费为元． 

【解析】首先设文学类图书的价格为元，则科普类图书的价格为元，然后根据“用元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多本”列出方程，最后解方程即可得出答案；
设购进文学类图书册，则购进科普类图书册，总费用为元，根据题意得列出与之间的函数关系式，然后再根据“购进的科普类图书不少于文学类图书的”求出的取值范围，最后根据一次函数的性质即可得出答案．
此题主要考查了一次函数的实际应用，分式方程的应用，解答的关键是准确地找出等量关系列出方程，特别需要的注意的是：解分式方程一定要验根，这也是解答此题的易错点；解答的关键是理解一次函数的增减性，难点是依题意列出一次函数的解析式，并正确地求出自变量的取值范围．
 

22.【答案】解：如图，作法：以点为圆心任意长为半径作弧交于点，交于点；
连接，分别以点、点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；
作射线交于点，
射线就是所求的的平分线．
证明：连接、，
由作法得，，
，
≌，
，
是的平分线．
作法：以点为圆心长为半径作弧交的延长线于点；
连接、、，
线段、、就是所求的线段．
证明：由作法得，
、、就是所求的线段．
≌，
证明：如图，，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌．
如图，作交于点，则，
是的直径，
，
，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
线段的长为． 

【解析】按尺规作图的要求作出的平分线交于点，再写出的证明过程即可；
按尺规作图的要求作出线段，使，再作出线段、，并且写出的证明过程即可；
由，得，而，所以，再根据“同角的补角相等”证明，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌；
作交于点，由是的直径，得，由，平分，得，，再证明，则，所以，则，，再证明，则，即可求得．
此题重点考查尺规作图、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、同角的补角相等、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
 

23.【答案】解：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
把点代入，得：，
解得：，
，
该抛物线的解析式为；
令，得，
解得：，，
，，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为；
如图，过点作于点，

，
，即点是的中点，
设，则，
，
轴，，
轴，
，
解得：或不符合题意，舍去，
的值为；
存在，使得，理由如下：
过作于，如图，

设，
由，可得直线解析式为，
根据，设直线解析式为，将代入得：
，
，
直线解析式为，
令得，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
≌，
，
，
，
，
，即，
或，
解得：或或或，
在第三象限，
或． 

【解析】运用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
令，解方程即可求得点、的坐标，再运用待定系数法即可求得直线的解析式；
过点作于点，根据等腰三角形的性质可得点是的中点，设，则，可得，再由点与点的纵坐标相同建立方程求解即可得出答案；
过作于，设，由，可得直线解析式为，进而可得，再证得≌，得出，进而推出，即，建立方程求解即可得出答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数综合应用，等腰三角形性质，矩形判定及性质，相似三角形判定及性质，解直角三角形等知识，解题的关键是用含的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．