专题2.2 三角函数（专题练习）——高一数学下学期期末重难点专项复习学案+期末模拟卷（沪教版2020）

专题2.2 三角函数【专项训练】

【基础题】+【提升题】

【基础题】

一、填空题

1．（2020·上海市实验学校高一期末）函数的最小正周期为________.

【答案】

【分析】由余弦的倍角公式知，结合最小正周期即可求出最小正周期

【详解】

由余弦函数的最小正周期知：

故答案为：

【点睛】本题考查了已知三角函数求最小正周期，首先根据三角恒等变换中的余弦倍角公式化简，再结合三角函数的周期公式求最小正周期

2．（2020·上海高一期末）函数的定义域为______

【答案】

【分析】由解此不等式可得函数的定义域

【详解】解：由，得，

所以函数的定义域为，

故答案：

【点睛】此题考查求正切型函数的定义域，属于基础题

3．（2020·上海市青浦高级中学高一期末）函数的最小正周期是________

【答案】

【分析】先利用二倍角余弦公式对函数解析式进行化简整理，进而利用三角函数最小正周期的公式求得函数的最小正周期．

【详解】解：f（x）＝1﹣2sin2x＝cos2x

∴函数最小正周期Tπ

故答案为π．

【点睛】本题主要考查了二倍角的化简和三角函数的周期性及其求法．考查了三角函数的基础的知识的应用．

4．（2020·上海复旦附中高一期末）若函数的局部图像如下图，则_______．

【答案】4

【分析】根据图象确定周期，解得.

【详解】由图得

故答案为：4

【点睛】本题考查函数周期，考查数形结合思想方法，属基础题.

5．（2020·上海市进才中学高一期末）函数的最小值为________.

【答案】

【分析】根据余弦型函数的图象与性质即可求解.

【详解】，

，

，

所以函数的最小值为.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了余弦型函数的图象与性质，由定义域求函数的值域是常见题型，需要熟练掌握，属于容易题.

二、解答题

6．（2019·上海复旦附中高一期末）已知函数

（1）求函数的单调递减区间；

（2）在锐角中，若角，求的值域.

【答案】（1），；（2）

【分析】（1）利用二倍角、辅助角公式化简，然后利用单调区间公式求解单调区间；（2）根据条件求解出的范围，然后再求解的值域.

【详解】（1），

令，解得：，

所以单调减区间为：，；

（2）由锐角三角形可知： ，所以，则 ，

又，所以，，则.

【点睛】本题考查三角恒等变换以及三角函数值域问题，难度较易.根据三角形形状求解角范围的时候，要注意到隐含条件的使用.

7．（2019·上海市建平中学高一期末）已知函数，.

（1）求函数的最小正周期；

（2）求函数的最小值和取得最小值时的取值.

【答案】（1）；（2）当时，.

【分析】（1）利用二倍角公式将函数的解析式化简得，再利用周期公式可得出函数的最小正周期；

（2）由可得出函数的最小值和对应的的值.

【详解】（1），

因此，函数的最小正周期为；

（2）由（1）知，当，即当时，

函数取到最小值.

【点睛】本题考查利用二倍角公式化简，同时也考查了正弦型函数的周期和最值的求解，考查学生的化简运算能力，属于基础题.

8．（2019·上海市金山中学高一期末）已知函数.

(1)求函数的最小正周期及单调递增区间：

(2)求函数在区间上的最大值及取最大值时的集合.

【答案】（1）, 单调递增区间为；（2）最大值为, 取最大值时，的集合为.

【分析】（1）对进行化简转换为正弦函数，可得其最小正周期和递增区间；（2）根据（1）的结果，可得正弦函数的最大值和此时的的集合.

【详解】解：（1）

∴.

增区间为：即

单调递增区间为

（2）当时，的最大值为，

此时，

∴取最大值时，的集合为.

【点睛】本题考查二倍角公式和辅助角公式以及正弦函数的性质，属于基础题.

【提升题】

1．（2019·上海市实验学校高一期末）已知函数，.

（1）将化为的形式（，，）并求的最小正周期；

（2）设，若在上的值域为，求实数、的值；

（3）若对任意的和恒成立，求实数取值范围.

【答案】（1），；（2），，或，；（3）.

【分析】(1)由三角函数的恒等变换公式和正弦函数的周期的公式，即可求解；

(2)由正弦函数的图象与性质，讨论的范围，得到的方程组，即可求得的值；

（3）对讨论奇数和偶数，由参数分离和函数的最值，即可求得的范围.

【详解】(1)由题意，函数

所以函数的最小正周期为.

（2）由（1）知，

当时，则，所以，

即，令，则，

函数，即，，

当时，在为单调递增函数，

可得且，即，解得；

当时，在为单调递减函数，

可得且，即，解得；

综上可得，或，；

（3）由（2）可知，当时，，

当为奇数时，，即为，即恒成立，

又由，即；

当为偶数时，，即为，即恒成立，

又由，即；

综上可得，实数满足，即实数取值范围.

【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解中熟练化简函数的解析式，合理应用三角函数的图象与性质，以及利用分类讨论和分离参数求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，分离参数，以及推理与运算能力，属于中档试题.

2．（2019·上海市控江中学高一期末）已知函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴．

（1）求函数的解析式；

（2）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，若角满足，求的取值范围；

（3）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数记作，已知常数，，且函数在内恰有个零点，求常数与的值．

【答案】（1）；（2）；（3），.

【分析】（1）由函数的周期公式可求出的值，求出函数的对称轴方程，结合直线为一条对称轴结合的范围可得出的值，于此得出函数的解析式；

（2）由得出，再由结合锐角三角函数得出，利用正弦定理以及内角和定理得出，由条件得出，于此可计算出的取值范围；

（3）令，得，换元得出，得出方程，设该方程的两根为、，由韦达定理得出，分（ii）、；（ii），；（iii），三种情况讨论，计算出关于的方程在一个周期区间上的实根个数，结合已知条件得出与的值.

【详解】（1）由三角函数的周期公式可得，，

令，得，

由于直线为函数的一条对称轴，所以，，

得，由于，，则，

因此，；

（2），由三角形的内角和定理得，.

，且，，.

，

由，得，由锐角三角函数的定义得，，

由正弦定理得，，

，

，且，，，.

，因此，的取值范围是；

（3）将函数的图象向右平移个单位，

得到函数，

再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数为，

，

令，可得，

令，得，，

则关于的二次方程必有两不等实根、，则，则、异号，

（i）当且时，则方程和在区间均有偶数个根，

从而方程在也有偶数个根，不合乎题意；

（ii）当，则，当时，只有一根，有两根，

所以，关于的方程在上有三个根，

由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上只有一个根，在区间上无实解，方程在区间上无实数解，在区间上有两个根，因此，关于的方程在区间上有个根，在区间上有个根，不合乎题意；

（iii）当时，则，当时，只有一根，有两根，

所以，关于的方程在上有三个根，

由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上无实数根，在区间上只有一个实数根，

方程在区间上有两个实数解，在区间上无实数解，

因此，关于的方程在区间上有个根，在区间上有个根，此时，，得.

综上所述：，.

【点睛】本题考查利用三角函数的性质求三角函数的解析式，以及三角形中的取值范围问题，以及三角函数零点个数问题，同时也涉及了复合函数方程解的个数问题，考查分类讨论思想的应用，综合性较强，属于难题.

3．（2019·上海高一期末）已知函数的部分图象如图所示.

（1）求与的值；

（2）设的三个角、、所对的边依次为、、，如果，且，试求的取值范围；

（3）求函数的最大值.

【答案】（1），；（2）；（3）.

【分析】（1）由图象有，可得的值，然后根据五点法作图可得，进而求出（2）根据,可得,然后由行列式求出,再由正弦定理转化为，根据的范围求出的范围（3）将化简到最简形式，然后逐步换元，转化为利用导数求值问题.

【详解】（1）由函数图象可得，解得，再根据五点法作图可得，解得，

.

（2）

，

由正弦定理知，

，，

，

  .

（3）

令，因为，所以，则

，

令，因为，所以,

则

令，则，

只需求出的最大值，

，

令，则，

当时，，此时单调递增，当时，，

此时单调递减，

.

函数的最大值为.

【点睛】本题主要考查了利用三角函数的部分图象求解析式和三角函数的图象与性质，考查了转化思想和数形结合思想，属于难题.