专题08 变量间的相关关系及回归模型——2022-2023学年高二数学下学期期末知识点精讲+训练学案+期末模拟卷（苏教版2019选择性必修第二册）

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专题08 变量间的相关关系及线性回归分析





知识点1 变量的相关关系
（1）常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系.与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系；
（2）如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，就称这两个变量正相关；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关；
（3）一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，就称这两个变量线性相关.
知识点2 样本相关系数
（1）样本相关系数r＝∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2∑i=1n(yi-y)2 ；
（2）样本相关系数r的性质
①当r＞0时，称成对样本数据正相关；当r＜0时，成对样本数据负相关；当r＝0时，成对样本数据间没有线性相关关系；
②样本相关系数r的取值范围为[－1，1].当｜r｜越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；
当｜r｜越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.
知识点3 一元线性回归模型
（1）经验回归直线：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做经验回归直线；
（2）经验回归方程：y＝bx＋a，
其中b＝∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2＝∑i=1nxiyi-nx y∑i=1nxi2-nx2，a＝y－bx；
（3）最小二乘法：通过求Q＝∑i=1n（yi－bxi－a）2的最小值而得到经验回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法.
知识点4 判断回归模型的拟合效果
由成对样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，n）按照最小二乘法得到经验回归方程y＝bx＋a，其中y叫做观测值，y叫做预测值，残差e＝y－y.相对于样本点（xi，yi）的随机误差ei＝yi－yi＝yi－（bxi＋a）.
（1）残差分析法
①作残差图：作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或xi数据，或yi数据，这样作出的图形称为残差图；
②残差分析：残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，经验回归方程的预报精度越高.
（2）决定系数 （R2）法：R2＝1－∑i=1n(yi-yi)2∑i=1n(yi-y)2其中y=1n∑i=1nyi.R2的值越趋近于1，模型的拟合效果越好.


考点1 成对数据的相关性
【例1】已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关.下列结论中正确的是 （　　）
A.x与y正相关，x与z负相关
B.x与y正相关，x与z正相关
C.x与y负相关，x与z负相关
D.x与y负相关，x与z正相关

【总结】判定两个变量相关性的方法
（1）画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关；
（2）样本相关系数：当r＞0时，正相关；当r＜0时，负相关；｜r｜越接近于1，相关性越强；
（3）经验回归方程：当b＞0时，正相关；当b＜0时，负相关.

【变式1-1】对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是 （　　）

A.r2＜r4＜0＜r3＜r1
B.r4＜r2＜0＜r1＜r3
C.r4＜r2＜0＜r3＜r1
D.r2＜r4＜0＜r1＜r3


【变式1-2】对变量x，y有观测数据（xi，yi）（i＝1，2，…，10），得散点图如图①，对变量u，v有观测数据（ui，vi）（i＝1，2，…，10），得散点图如图②.由这两个散点图可以判断 （　　）

A.变量x与y正相关，u与v正相关
B.变量x与y正相关，u与v负相关
C.变量x与y负相关，u与v正相关
D.变量x与y负相关，u与v负相关

【变式1-3】(多选)下列有关经验回归分析的说法中正确的有(　　)
A．经验回归直线必过点(，)
B．经验回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线
C．当样本相关系数r>0时，两个变量正相关
D．如果两个变量的相关性越弱，则|r|就越接近于0


【变式1-4】在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为(　　)
A．－1 B．0 C. D．1



考点2 样本相关系数
【例2】（2022·全国乙卷）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据：
样本号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横截面积xi
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积量yi
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
并计算得∑i=110xi2＝0.038，∑i=110yi2＝1.615 8，∑i=110xiyi＝0.247 4.
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.
附：相关系数r＝∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2∑i=1n(yi-y)2，1.896≈1.377.

【总结】样本相关系数r的统计含义及应用
（1）由r的正、负可判断成对样本数据中两相关变量是正相关还是负相关；
（2）可根据｜r｜的大小从量的角度判断成对样本数据是否具有线性相关性，进而可知能否用经验回归方程进行分析和预测；
（3）当｜r｜≤0.25时，即便求得了经验回归方程也没有任何统计意义.

【变式2-1】第24届冬奥会于2022年2月4日在北京市和张家口市联合举行，此项赛事大大激发了国人冰雪运动的热情.某滑雪场在冬奥会期间开业，下表统计了该滑雪场开业第x天的滑雪人数（单位：百人）的数据：
天数代码x
1
2
3
4
5
6
7
滑雪人数y/百人
11
13
16
15
20
21
23
根据第1至7天的数据分析，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用样本相关系数加以说明（保留两位有效数字）.
参考数据：∑i=17xiyi＝532，∑i=17(xi-x)2∑i=17(yi-y)2≈57.5.
参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其相关系数r＝∑i=1n(ui-u)(vi-v)∑i=1n(ui-u)2∑i=1n(vi-v)2.

【变式2-2】毛绒玩具是由毛绒面料与其他纺织材料为主要面料，内部填塞各种填充物而制成的玩具，色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标之一，现抽检一批该产品测得以下数据：
色差X
21
23
25
27
29
31
色度Y
15
16
17
21
22
23
由大量实验数据可知该产品的色差和色度之间满足线性相关关系，且y＝0.25x＋a，现有一对测量数据为（32，21.25），则该组数据的残差为 （　　）
A.0.65 B.0.75
C.－0.75 D.0.95


【变式2-3】（多选）下列说法正确的是 （　　）
A.设有一个经验回归方程y＝3－5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位
B.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数r的值越接近于1
C.在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高
D.在一元线性回归模型中，决定系数R2越接近于1，说明回归的效果越好

【变式2-4】(多选)下列选项中正确的是(　　)
A．经验回归分析中，R2的值越大，说明残差平方和越小
B．若一组观测数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)满足yi＝bxi＋a＋ei(i＝1,2，…，n)，若ei恒为0，则R2＝1
C．经验回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法
D．画残差图时，纵坐标为残差，横坐标一定是编号

【总结】判定两个变量相关性的方法
(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．
(2)样本相关系数：当r>0时，正相关；当r0时，正相关；当