第六章 平面向量及其应用——2022-2023学年高一数学期末复习重难点专项学案+期末模拟卷（人教A版2019必修第二册）

第六章 平面向量及其应用（重难点专题复习）

【题型1  向量的概念与向量的模】

【方法点拨】

根据向量的概念与向量的模的定义，结合具体条件，进行求解即可.

【例1】（2023春·山西阳泉·高一校考期中）下列命题中真命题的个数是（    ）

（1）温度､速度､位移､功都是向量

（2）零向量没有方向

（3）向量的模一定是正数

（4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量

A．0 B．1 C．2 D．3

【变式1-1】（2023春·江西南昌·高一校考期中）下列说法错误的是（    ）

A．向量与向量长度相等 B．任一非零向量都可以平行移动

C．单位向量都相等 D．向量的模可以比较大小

【变式1-2】（2023春·广东深圳·高一校考期中）下列结论中，正确的是（    ）

A．零向量只有大小，没有方向 B．若，，则

C．对任一向量，总是成立的 D．

【变式1-3】（2023春·天津河北·高一统考期中）下列说法中正确的是（    ）

A．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同

B．零向量是最小的向量

C．若向量与向量平行，向量与向量平行，则向量与向量一定平行

D．单位向量的长度为1

【题型2  向量相等或共线】

【方法点拨】

判断两向量是否共线的关键是看两向量所在的直线是否平行或重合；判断两向量是否相等不仅要看两向量

所在的直线是否平行或重合，还要看两向量的模是否相等、方向是否相同.

【例2】（2023·高一课时练习）如图，四边形中，，则相等的向量是（    ）

A．与 B．与 C．与 D．与

【变式2-1】（2023春·陕西宝鸡·高一统考期中）以下结论中错误的是（    ）

A．若，则

B．若向量，则点与点不重合

C．方向为东偏南的向量与北偏西的向量是共线向量

D．若与是平行向量，则

【变式2-2】（2023春·河南开封·高一校考期中）对于向量、，“”是“”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【变式2-3】（2023春·河南开封·高一校考期中）如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有（    ）

A．7个 B．8个 C．9个 D．10个

【题型3  向量的线性运算】

【方法点拨】

向量的加减法运算有如下方法：(1)利用相反向量统一成加法(相当于向量求和)；(2)运用减法公式 (正用或

逆用均可)；(3)运用辅助点法，利用向量的定义将所有向量转化为以其中一确定点为起点的向量，使问题转

化为有共同起点的向量问题.

向量的数乘运算类似于实数运算，遵循括号内的运算优先的原则，将相同的向量看作“同类项”进行合并.要

注意向量的数乘所得结果仍是向量，同时要在理解其几何意义的基础上，熟练运用运算律.

【例3】（2023秋·辽宁沈阳·高一统考期末）设是所在平面内的一点，，则（    ）

A． B． C． D．

【变式3-1】（2023秋·辽宁·高一校联考期末）如图，在等腰梯形ABCD中，，AD=2，AB=BC=CD=1，E为AD的中点．则下列式子不正确的是（    ）

A． B． C． D．

【变式3-2】（2023秋·北京丰台·高一统考期末）化简后等于（    ）

A． B． C． D．

【变式3-3】（2023秋·北京昌平·高一统考期末）如图，在矩形中，对角线交于点，则下列各式一定成立的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【题型4  向量的投影】

【方法点拨】

根据向量的投影的定义，结合具体条件，进行求解即可.

【例4】（2023春·全国·高一专题练习）已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A．1 B． C． D．

【变式4-2】（2023秋·北京·高一校考期末）已知平面向量，是非零向量，，，则向量在向量方向上的投影为（    ）

A．​ B．1 C．​ D．2

【变式4-3】（2023秋·江苏无锡·高一校考期末）已知外接圆圆心为，半径为，，且，则向量在向量上的投影向量为(    )

A． B． C． D．

【题型5  向量数量积的计算】

【方法点拨】

解决向量数量积的计算问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要

指具有特殊夹角或已知长度的向量.对于以图形为背景的向量数量积的题目，解题时要充分把握图形的特征.

【例5】（2023春·四川成都·高三校联考期末）已知向量、满足，，且与夹角的余弦值为，则（    ）

A． B． C． D．

【变式5-1】（2023秋·云南·高一校考期末）在正三角形△ABC中，，M，N分别为AB，AC的中点，则（    ）

A． B． C． D．

【变式5-2】（2023秋·广东广州·高二校考期末）圆内接四边形中，，是圆的直径，则（    ）

A．12 B． C．20 D．

【变式5-3】（2023·天津红桥·统考二模）已知菱形ABCD的边长为2，，点E在边BC上，，若G为线段DC上的动点，则的最大值为（    ）

A．2 B．

C． D．4

【题型6  求向量的夹角（夹角的余弦值）】

【方法点拨】

求两非零向量的夹角或其余弦值一般利用夹角公式=求解.

【例6】（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三统考期末）平面向量，则与的夹角是（    ）

A． B． C． D．

【变式6-1】（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·高二校考期末）若非零向量满足，则向量与夹角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【变式6-2】（2023秋·江苏无锡·高一校考期末）已知非零向量满足，且，则与的夹角为

A． B． C． D．

【变式6-3】（2023春·江西宜春·高二校考期末）已知向量的夹角为，，向量，且，则向量夹角的余弦值的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【题型7  向量的模】

【方法点拨】

或是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据.这种通过求自身的数

量积从而求模的思想是解决向量的模的问题的主要方法.此外，根据平面图形求向量的模时，注意利用图形

的性质对向量的数量积或夹角等进行转化.

【例7】（2023秋·山东烟台·高三校考期末）若平面向量与的夹角为60°，，，则等于（    ）．

A． B． C．4 D．12

【变式7-1】（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）已知，为单位向量，向量满足.若与的夹角为60°，则（    ）

A． B． C． D．3

【变式7-2】（2023·江苏扬州·校考模拟预测）若向量，满足，，，则（    ）

A．2 B． C．1 D．

【变式7-3】（2023春·北京·高一校考期中）若向量满足：，且，则的最小值为（    ）

A． B．2 C．1 D．

【题型8  平面向量基本定理的应用】

【方法点拨】

结合题目条件，利用平面向量基本定理进行转化求解即可.

【例8】（2023春·浙江·高一校联考期中）如图所示，F为平行四边形对角线BD上一点，，则（    ）

A． B． C． D．

【变式8-1】（2023春·广东广州·高一校考期中）已知在中，点为边的中点，若，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【变式8-2】（2023春·海南海口·高一校考期中）如图，已知在中，，，和交于点E，若，则实数的值为（    ）

A． B．

C． D．

【变式8-3】（2023春·山东·高一校联考期中）在中，为上的中线，为的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点A，B，C），且M，N，G三点共线，若，，则的最小值为（    ）

A． B． C．2 D．

【题型9 平面向量的坐标运算】

【方法点拨】

(1)向量的线性运算的坐标表示主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，

则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外解题过程中要注意方程思想的运用.

(2)利用向量线性运算的坐标表示解题，主要根据相等向量的坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解.

【例9】（2023·全国·高一专题练习）已知向量，，.

(1)求；

(2)求满足的实数，；

【变式9-1】（2023·全国·高一专题练习）已知向量，，为坐标原点．若向量，，求向量的坐标．

【变式9-2】（2023春·吉林·高一校考阶段练习）已知点，．

(1)若C是线段AB的中点，求C点坐标；

(2)若直线AB上的点D满足，求D点坐标．

【变式9-3】（2023·全国·高三专题练习）已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4).设=，=，=，且=3，=-2.

（1）求3+-3;

（2）求满足=m+n的实数m，n;

（3）求M，N的坐标及的坐标.

【题型10 向量共线、垂直的坐标表示的应用】

【方法点拨】

向量共线、垂直的坐标表示的应用有两类：一是判断向量的共线（平行）、垂直；二是根据向量共线、垂

直来求参数的值；根据题目条件，结合具体问题进行求解即可.

【例10】（2023·高一单元测试）已知，．

(1)当k为何值时，与垂直？

(2)当k为何值时，与平行？

【变式10-1】（2023春·高一校联考期中）已知向量满足.

(1)若 ，求向量的坐标；

(2)若，求向量与向量夹角的余弦值.

【变式10-2】（2023春·福建福州·高一校考期中）四边形中，，，．

（1），试求与满足的关系式；

（2）满足（1）的同时又有，求的值和四边形的面积．

【变式10-3】（2023春·广东肇庆·高一校考期中）已知向量.

(1)若，求实数的值；

(2)若，求向量与的夹角.

【题型11 用向量解决物理中的相关问题】

【方法点拨】

平面向量在物理的力学、运动学中应用广泛，用向量处理这些问题时，先根据题意把物理中的相关量用有

向线段表示，再利用向量加法的平行四边形法则转化为代数方程来计算.

【例11】（2023春·福建·高一校联考期中）体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为380N，则该学生的体重（单位kg）约为（    ）(参考数据：取重力加速度大小为10m/s2，)

A． B． C． D．

【变式11-1】（2023春·湖南长沙·高一校考期中）如图，某人用长的绳索，施力，把重物沿着坡度为30°的斜面向上拖了，拖拉点在竖直方向距离斜面的高度为，则此人对该物体所做的功为（    ）

A． B． C． D．

【变式11-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·高一校考阶段练习）一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间为（    ）

A． B． C． D．

【变式11-3】（2023春·全国·高一专题练习）图为某种礼物降落伞的示意图，其中有根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为．已知礼物的质量为，降落伞自身的重量为，每根绳子的拉力大小相同．则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（    ）（重力加速度取，精确到）．

A． B． C． D．

【题型12  正、余弦定理在几何图形中的应用】

【方法点拨】

正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在

三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡，即利用公共边创造的互补

或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程.

【例12】（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）如图，在中，已知，，.

(1)求AD的长；

(2)若，点E，C在直线AD同侧，，求的取值范围.

【变式12-1】（2023秋·浙江杭州·高一校考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

(1)求角A的大小；

(2)若，且的面积为，求的周长.

【变式12-2】（2023春·重庆铜梁·高一校考期中）如图，在梯形中，，.

(1)求证：；

(2)若，，求的长度.

【变式12-3】（2023春·山东淄博·高一校考期中）从①；②，这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，然后解答补充完整的题目．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且________．

(1)求角B的大小；

(2)若，求的取值范围．

【题型13 三角形的面积问题】

【方法点拨】

根据具体条件，结合三角形面积公式，进行转化求解即可.

【例13】（2023春·山东济宁·高一校考期中）在中，角的对边分别为，若．

(1)求角；

(2)若，求的面积最大值，并求对应的的周长．

【变式13-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·高一校考期中）如图在平面四边形ABCD中，，，，．

(1)求边BC；

(2)若，求四边形ABCD的面积．

【变式13-2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四边形中，，.

(1)求的值；

(2)若为等边三角形，求面积的最大值.

【变式13-3】（2023春·山东青岛·高一校考期中）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.

在中，，，分别为内角，，的对边，且__________.

(1)求；

(2)若，，求的面积.

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）

【题型14  解三角形的实际应用】

【方法点拨】

正、余弦定理在解决实际问题中的应用，本质上还是正、余弦定理在解决几何图形(主要是三角形与四边形)

问题中的应用，因此利用几何图形本身及实际问题中涉及的术语(如方位角等)构建恰当的三角形，在三角形

中运用正弦定理或余弦定理即可.

【例14】（2023春·浙江·高一校联考期中）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得的俯角分别为，在B点测得的俯角分别为，同时测得．

(1)求BN和AM的长度；

(2)求之间的距离．

【变式14-1】（2023春·浙江杭州·高一校考期中）老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域规划为枇杷林和放养走地鸡，区域规划为民宿供游客住宿及餐饮，区城规划为鱼塘养鱼供垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏，已知．

(1)若，求护栏的长度即的周长)：

(2)若鱼塘的面积是民宿面积的倍，求．

【变式14-2】（2023春·浙江·高一校联考期中）如图所示，甲乙两人站在同一水平面上，与缆车在同一铅垂平面内且相距50米．假设甲､乙两人的视线处于同一水平线且缆车处于静止状态，甲处观察缆车的仰角为，乙处观察缆车的仰角为，甲处观察缆车的仰角为，乙处观察缆车的仰角为．

(1)求缆车相对甲乙所在水平面的高度；（结果用表示）

(2)若测得，求缆车之间的距离．

【变式14-3】（2023春·广东广州·高二校考期中）由于2020年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响.3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常.李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济､小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界、的距离分别为，，（m为长度单位）.陈某准备过点修建一条长椅（点，分别落在、上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.

(1)求点到点的距离；

(2)为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值.