陕西省2022-2023学年高三下学期第三次模拟考试理科数学试卷（含解析）

这是一份陕西省2022-2023学年高三下学期第三次模拟考试理科数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

学校:___________姓名：___________班级：________________
一、单选题
1．设复数满足，则的虚部是（ ）
A．2B．C．D．
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知为虚数单位，，则复数（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数在上恰有三个零点，则正数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．若，，则的值为（ ）
A．2B．1C．8D．3
6．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是
A．甲地：总体均值为3，中位数为4B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0
C．丙地：中位数为2，众数为3D．丁地：总体均值为2，总体方差为3
7．等差数列的前n项和为，若，，则（ ）．
A．27B．45C．18D．36
8．数列{an}是递增数列，则{an}的通项公式可以是下面的（ ）
A．B．C．D．
9．圆上的点到直线的距离的最小值是（ ）
A．B．C．D．
10．一个球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10 次着地时，经过的路程是（ ）
A．100＋200(1－2－9)B．100＋100(1－2－9)
C．200(1－2－9)D．100(1－2－9)
11．点M、N是正方体的两棱与的中点，P是正方形ABCD的中心，则MN与平面的位置关系是（ ）
A．平行B．相交
C．平面D．以上三种情况都有可能
12．双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
13．设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的最大值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
14．已知两个非零向量，满足，则在方向上的投影为______．
15．的展开式中常数项为________．
16．已知，函数在上单调递增，则的取值范围是__．
17．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线．它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，…为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．下图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一个扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的体积为______．
三、解答题
18．已知的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足．
(1)求角C的值；
(2)若，，且，求的长度．
19．有关研究表明，正确佩戴安全头盔，规范使用安全带能够将交通事故死亡风险大幅降低，对保护群众生命安全具有重要作用.2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地开展．行动期间，公安交管部门加强执法管理，依法查纠摩托车和电动自行车骑乘人员不佩戴安全头盔，汽车驾乘人员不使用安全带的行为，助推养成安全习惯．该行动开展一段时间后，某市针对电动自行车骑乘人员是否佩戴安全头盔问题进行调查，在随机调查的1000名骑行人员中，年龄低于40岁的占，记录其年龄和是否佩戴头盔情况，得到如下列联表：
(1)完成上面的列联表；
(2)通过计算判断是否有的把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关？
附：，其中．
20．如图，在直三棱柱中，，，，D，E分别是棱，的中点.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
21．已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若时，方程有3个不同的实数解，求实数的取值范围.
22．已知椭圆的左，右顶点分别为 ，上顶点M与左，右顶点连线 的斜率乘积为，焦距为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线与椭圆C交于两点，O为坐标原点，若，求直线的方程.
23．在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线与曲线C的极坐标方程分别为，，点P的极坐标为．
(1)求直线以及曲线C的直角坐标方程；
(2)在极坐标系中，已知射线与，C的公共点分别为A，B，且，求的面积．
24．已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)已知函数的最小值为，且、、都是正数，，证明：．
佩戴头盔
未佩戴头盔
合计
年龄低于40岁
540
年龄不低于40岁
合计
880
1000
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
参考答案
1．C
【分析】先求出的值，然后两边同除，最后用复数的除法运算求解.
【详解】
，即
所以的虚部是.
故选：C
2．B
【分析】先求出集合、，再结合交集的定义求解即可.
【详解】因为，，
所以．
故选：B.
3．D
【分析】根据复数的除法运算化简即可求解.
【详解】由得，
故选：D
4．A
【分析】由，可得，结合三角函数的性质可得，从而得解.
【详解】由，
由，可得，
若函数恰有3个零点，只需要，得.
故选：A
5．D
【分析】将，转化为对数的形式求出，然后代入化简求值即可
【详解】因为，所以；
又，所以
所以

故选：D.
6．D
【详解】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.
考点：众数、中位数、平均数、方差
7．B
【分析】根据等差数列前项和的性质可得，，成等差数列，从而可列方程可求出结果.
【详解】由已知，，，即6，15，成等差数列，
所以，所以，
故选：B．
8．A
【分析】根据数列通项公式的性质，由数列{an}是递增数列，根据各个函数的单调性，逐个选项进行判断即可.
【详解】对于A，因为为单调递增函数，所以，为递增数列，A正确；
对于B，因为，所以不是递增数列，B错误
对于C，因为为递减函数，所以，为递减数列，C错误；
对于D，为摆动数列，D错误.
故选：A
9．B
【分析】先求圆心到直线的距离，再减去半径即可.
【详解】圆的圆心坐标，到直线的距离是，
所以圆上的点到直线的距离的最小值是，
故选：B．
10．A
【分析】表示出第10 次着地时经过的路程，利用等比数列的求和公式化简，即得解
【详解】由题意，第10 次着地时，经过的路程是
故选：A
11．A
【分析】推导出MN∥AB1从而MN与平面PCB1的位置关系是平行．
【详解】∵点M，N是正方体ABCD﹣A1B1C1D1中A1A，A1B1的中点，∴MN∥AB1，
∵P是正方形ABCD的中心，延展平面PCB1即为平面AB1C
又AB1 ⊂平面PB1C，MN ⊄平面PB1C，
所以MN∥平面PB1C．
∴MN与平面PCB1的位置关系是平行．
故选：A．
【点睛】本题考查线面关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查线面平行的判定定理，是中档题．
12．A
【分析】设，进而根据向量垂直的坐标表示得，再根据点在双曲线上待定系数求解即可.
【详解】解：由题，设，因为
所以，
因为，
所以，解得
因为，解得，
所以，双曲线的离心率为.
故选：A
13．A
【分析】分别求得，，，，，，，时，的最小值，作出的简图，因为，解不等式可得所求范围．
【详解】解：因为，所以，
当时，的最小值为；
当时，，，
由知，，
所以此时，其最小值为；
同理，当，时，，其最小值为；
当，时，的最小值为；
作出如简图，
因为，
要使，
则有．
解得或，
要使对任意，都有，
则实数的取值范围是．
故选：A．
14．1
【分析】把已知式平方，转化为数量积的运算，根据数量积定义可得投影．
【详解】解：由，得，
又，∴，即，
∴在方向上的投影为．
故答案为：1．
15．
【解析】利用二项展开式通项公式直接求解.
【详解】，
展开式中常数项为，
故答案为：.
【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
16．
【详解】试题分析：本题已知函数的单调区间，求参数的取值范围，难度中等．由，得，又函数在上单调递增，所以，即，注意到，即，所以取，得．
考点：函数的图象与性质．
【方法点晴】已知函数为单调递增函数，可得变量的取值范围，其必包含区间，从而可得参数的取值范围，本题还需挖掘参数的隐含范围，即函数在上单调递增，可知，因此，综合题设所有条件，便可得到参数的精确范围．
17．
【分析】先判断接下来扇形的半径，再求其围成圆锥的底面半径和高，最后代入求体积即可.
【详解】接下来的一个扇形半径为，故围成的圆锥母线长为，
因为扇形的圆心角为90°，所以其弧长为，也即底面圆周长，
所以底面圆半径为，则圆锥的高为，
所以圆锥的体积为
故答案为：+
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理即可得，从而可得角C的值；
（2）根据向量共线定理可得，利用向量的模长运算即可得的长度．
【详解】（1）解：由正弦定理得：，因为，
所以，即
又由余弦定理得，则
化简得，又，所以.
（2）解：由可得
所以，
∴，即的长度为.
19．(1)填表见解析
(2)没有
【分析】（1）根据题意求出年龄低于40岁的人数，再结合列联表中数据即可完成列联表；
（2）求出，再对照临界值表，即可得出结论.
【详解】（1）年龄低于40岁的有人，
完成的列联表如下：
（2），
没有的把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设的中点为F，连接，，分别证明平面，平面，通过面面平行证得线面平行；
（2）根据题意，以为原点.，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，转化为空间向量处理即可.
【详解】（1）证明：设的中点为F，连接，.
因为，，所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面；
在中，，平面，平面，所以平面.
因为，平面，所以平面平面.
因为平面，所以平面.
（2）以C为坐标原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，.
设平面的法向量为，则
即取，则.
取的中点G，连接.由得.
在直三棱柱中，平面，平面，所以，
又，平面，所以平面.
所以为平面的一个法向量
.
易得二面角为钝角，故二面角的余弦值为.
21．(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，利用导函数与原函数单调性的关系即可求解；
（2）求出导函数，讨论单调性，求出极值即可求解.
【详解】（1）若，则，∴.
令，得；令，得.
∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）当时，方程等价于，
令，则.
当时，则或，在，上单调递增；
当，则，在上单调递减.
当时，；当时，；
当时，；当时，.
综上，实数的取值范围为.
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列出关于的方程，求得其值，即得答案.
（2）设直线方程，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系式，结合可得，化简求值，求得k的值，即得答案.
【详解】（1）由题意知，，，，
，∴，
∵，∴，，∴椭圆的方程为.
（2）由已知过点满足题意的直线的斜率存在，设，
联立，消去得，
，令，解得.
设，，则，，
∵，∴，即，
∴，∴，
解得，满足，
∴直线的方程为.
23．(1)，
(2)
【分析】（1）利用极坐标方程和直角坐标方程的转化关系即可；
（2）利用极坐标方程的几何意义和三角形的面积公式即可.
【详解】（1）因为，所以，
即直线的直角坐标方程为．
由，得，
代入公式得，
所以曲线C的直角坐标方程为．
（2）设点A，B的极坐标分别为，，
由题意可得，．
则，可得．
因为，所以，，，
则．
因为点P的极坐标为，
故
24．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分、两种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集；
（2）由绝对值三角不等式可得出，由此可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可证得结论成立.
【详解】（1）解：由可得，
当时，则有，解得，此时；
当时，则有，解得，此时.
综上所述，不等式的解集为.
（2）解：由绝对值三角不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，故，
所以，
又因为、、均为正数，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，故.
佩戴头盔
未佩戴头盔
合计
年龄低于40岁
540
60
600
年龄不低于40岁
340
60
400
合计
880
120
1000