陕西省延安市黄陵中学2021届高三上学期期中考试数学（理）试题（本部） Word版含答案

皇陵中学本部高三年级2020—2021学年度第一学期

期中考试理科数学试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

3．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

4．如图是张大爷晨练时离家距离与行走时间之间的函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是（    ）

A． B．

C．  D．

5．已知，，则等于（    ）

A． B． C． D．

6．已知函数是定义在上的奇函数，其最小正周期为4，且当时，，则等于（    ）

A．4 B．2 C．-2 D．

7．若，，，则（    ）

A． B． C． D．

8．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为的声波，其音量的大小可由如下公式计算：（其中是人耳能听到声音的最低声波强度），则70 dB的声音的声波强度是60 dB的声音的声波强度的（    ）

A．倍 B．倍 C．10倍 D．倍

9．已知，则（    ）

A． B． C． D．

10．满足，那么函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

11．已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ）

①；

②函数在处取得极小值，在处取得极大值；

③函数在处取得极大值，在处取得极小值；

④函数的最小值为.

A．③ B．①② C．③④ D．④

12．若函数的值域是，则的单调递增区间是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．曲线在点处的切线方程为______.

14．二次函数的图形经过两点，，且函数的最大值是5，则函数的解析式是______.

15．已知是定义在上的偶函数，并且，当时，，则______.

16．已知函数在处有极小值10，则______.

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（本小题满分10分）

设，求的值.

18．（本小题满分12分）已知.

（1）若，求函数的最小值及对应的值；

（2）若，求函数的最小值和最大值及对应的值；

19．（本小题满分12分）设，（，且），且.

（1）求实数的值及的定义域；

（2）求在区间上的最大值.

20．（本小题满分12分）已知函数（，）.

（1）求证：在上是增函数；

（2）若在上的值域是，求的值.

21．（本小题满分12分）季节性商品的销售当旺季来临时，价格呈上升趋势，设某商品开始时定价为10元，并且每周（7天）涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售，10周后旺季过去，平均每周减价2元，直到16周后，该商品不再销售.

（1）试建立价格与周次之间的函数关系式；

（2）若此商品每周进货一次，每件进价与周次之间的关系式为，，，试问该商品第几周每件销售利润最大？最大值是多少？

22．（本小题满分12分）设函数，其中.

（1）当为偶函数时，求函数的极值；

（2）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围.

黄陵中学本部高三年级2020—2021学年度第一学期

期中考试理科数学试题答案

命题人：党百勇 审题人：李哲

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．解析：因为，所以，故选C.

答案：C

2．解析：由，则，即“”“”；由“”得，即“”“”.所以“”是“”的充分不必要条件.故选A.

答案：A

3．解析：要使函数有意义，则解得.

所以函数的定义域为.

答案：B

4．解析：由与的关系知，在中间时间段值不变，只有D符合题意。

答案：D

5．解析：因为，

所以，

所以，又，所以.

答案：D

6．解析：因为函数是定义在上的奇函数，其最小正周期为4，所以

.

因为，且当时，

，

所以，

所以.

答案：C

7．解析：因为，所以.

又因为，所以，所以，

因为，所以，所以，

综合得.故选A

8．解析：由得，所以，，所以，所以70 dB的声音的声波强度是60 dB的声音的声波强度的10倍.

答案：C

9．【思路分析】：由，代入即可求解.

【解析】：因为，

则.

故选：D

10．解析：由，得.所以，则的图象由的图象向左平移一个单位得到，C满足.

答案：C

11．解析：由导函数图象可知在，上，，在上，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减，所以，函数在处取得极大值，在处取得极小值，函数没有最小值.

答案：A

12．解析：令

由于的值域是，所以的值域是

因此有，解得

这时，

由于的单调递减区间是

所以的单调递增区间是

综上所述，结论：的单调递增区间是

故答案为：

答案：A

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．【思路分析】求导函数，确定切线的斜率，利用点斜式，可得切线方程.

【解析】：求导函数可得，

当时，

∴曲线在点处的切线方程为，即，

故答案为：.

14．解析：由于点，在图象上，

所以的图象关于直线对称，

又的最大值为5，

设.

由，得，所以.

因此.

答案：

15．【分析】先出已知条件求出函数的周期，再结合函数的性质，把转化为，进而转化为，把代入即可.

【解析】由已知可得，故函数的周期为6，∴.

∵为偶函数，∴，

则，

∴.

16．【思路分析】根据函数在处有极小值10得，即可求出的值.

【解析】：∵，·

∵函数在处有极小值10，

∴，，

∴，，

解得，或，，

当，时，

，

此时是极小值点；

当，时，

，

此时不是极小值点.

∴，，

∴.

故答案：15.

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．解析：原式

，

所以.

答案：

18．【分析】对于（1）（2）直接利用二次函数的图象性质求解：

【解析】

（1），

∴当时，的最小值为4.

（2）∵的对称轴为，又，

∴，由二次函数的图象知，在上单调递减，在上单调递增．

又，，

∴，.

19．解：（1）∵，∴（，且），

∴.由得，

∴函数的定义域为.

（2），

∴当时，是增函数；

当时，是减函数，

故函数在上的最大值是.

20．（1）证明：设任意，则，，

因为

所以，所以在上是增函数．

（2）解：因为在上的值域是，又由（1）得在上是单调增函数，

所以，，易知.

21．【解析】（1）

（2）设第周时每件销售利润为，则

当，时，；

当，时，；

当，时，单调递减，.

由，知.

22．【答案】（1）极小值，极大值；

（2）或.

【解析】（1）由函数是偶函数，得，

即对于任意实数都成立，

所以.

此时，则.

由，解得.

当变化时，与的变化情况如下表所示：

所以在，上单调递减，在上单调递增.

所以有极小值，极大值.

（2）由，得.

所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线，有且只有两个公共点”.

对函数求导，得.

由，解得，.

当变化时，与的变化情况如下表所示：

所以在，上单调递减，在上单调递增.

又因为，，，，

所以当或时，直线与曲线，有且只有两个公共点.

即当或时，函数在区间上有两个零点.