江西省赣州中学高三上学期期中考试数学（理科）试题（解析版）

赣州中学2018-2019学年第一学期期中考试

高三年级数学（理科）试卷

一、单选题

1.下列集合中，是集合的真子集的是（  ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】

由题意结合所给的集合可知：，满足题意.

而是的补集；

；

与之间不存在子集关系.

本题选择C选项.

2.命题“”的否定是

A.     B.

C.     D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由全称命题与存在性命题的关系——全称命题与存在性命题互为否定关系，即可得到答案.

【详解】由全称命题与存在性命题的关系，

可得命题“”的否定是“”，故选C.

【点睛】本题主要考查了命题的否定，其中熟记全称命题与特称命题的互为否定关系是求解的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.

3.“”是“复数为纯虚数”的（   ）

A. 充分不必要条件    B. 必要不充分条件

C. 充要条件    D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

试题分析：为纯虚数且，则 a=0是复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数的必要但不充分条件．

考点：1．复数的概念；2．充分条件与必要条件．

4.已知向量，且，则（      ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据向量平行的坐标关系列出关于的方程，求解方程即可得解.

【详解】由向量，可得.

由，可得.

解得：.

故选C.

【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算及向量平行的条件，属于基础题.

5.化简，得到（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】

分析：把根式内部的代数式化为完全平方式，结合α的范围开方化简得答案．

详解：∵6∈（，2π），∴3∈（），

=

故答案为：．

点睛：本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．三角函数化简求值，还有常用的公式有：一般，，这三者我们成为三姐妹，结合，可以知一求三.

6.在数列中，，则的值为（    ）

A. −2    B.     C.     D.

【答案】D

【解析】

【分析】

先根据题意得到数列的周期性，然后再求出的值．

【详解】由题意得，

∴，

∴数列的周期为3，

∴．

故选D．

【点睛】由于数列是一种特殊的函数，所以数列具有函数的一切性质，在数列中求下标较大的项时，常常要用到数列的周期性求解．在判断数列的周期性时，一般是先根据条件写出数列前面的若干项，通过对这些项的观察得到数列的周期．

7.已知，与的夹角为,则在上的投影为(　　)

A. 2    B. 1    C.     D.

【答案】A

【解析】

【分析】

向量在上的正射影的数量为|，又，从而根据条件分别求()⋅和即可.

【详解】∵,与的夹角为，

∴，

由此可得，

∴.

设与的夹角为，

∵()⋅，

∴，

可得向量在上的正射影的数量为|.

故选A.

【点睛】(1)本题主要考查向量的投影和向量的数量积计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 在上的“投影”的概念：叫做向量在上的“投影”， 向量在向量上的投影，它表示向量在向量上的投影对应的有向线段的数量。它是一个实数，可以是正数，可以是负数，也可以是零.

8.已知中，，则这个三角形是（ ）

A. 直角三角形    B. 等腰三角形

C. 等腰直角三角形    D. 等边三角形

【答案】A

【解析】

试题分析：由正弦定理和余弦定理得，化简得

，当且仅当时成立，故为直角三角形．

考点：解三角形．

9.已知向量与的夹角为，，且，则（     ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用得到的关系后可得.

【详解】由题设有，故，

整理得：即，，选B.

【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 ；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.

10.定义在上的偶函数的导函数为，若对任意的实数，都有恒成立，则使成立的实数的取值范围为（   ）

A.     B.

C.     D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据已知构造函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出的取值范围．

【详解】当时,由可知：两边同乘以得：.

设：

则，恒成立：

∴在单调递减，

由

∴

即

即；

当时，函数是偶函数，同理得：

综上可知：实数的取值范围为，

故选：C.

【点睛】本小题主要考查利用构造函数法，以及函数导数求解不等式.在解题过程中，首先根据题意构造出与题目本身相对应的函数.如本题中的函数，在不同的题目中，构造的函数是不相同的.构造函数之后，利用导数，研究所构造函数的单调性，再结合所求不等式来解.属于偏难的题目.

11.已知函数，若方程在上有且只有四个实数根，则实数的取值范围为（  ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】

作出 的函数图象如图所示：
令得或

或

设直线与在上从左到右的第4个交点为，第5个交点为，、则

∵方程在（上有且只有四个实数根， 即解得.

故选B．

12.已知函数，，若对任意的，，都有成立，则的取值范围是(       )

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】

【分析】

对任意的，，都有成立，等价，求出，再进一步利用参变分离，构造新函数，求出单调区间和最值，即可求出a的取值范围

【详解】由于，则，∴函数在上单调递减，在上单调递增，，．

由于任意，，恒成立，所以，

即时，恒成立，即在上恒成立，

所以在上恒成立，

令，则，

而，当时，，

所以在单调递减，

由于，所以时，，时，，所以，即．

【点睛】这类型的题目，首先需要利用对所给不等式进行最值问题转化，注意能成立和恒成立之间的区分，在导数中解决能成立，恒成立和零点问题优先考虑参变分离的方法。然后构造新函数转化求最值问题，这其中导数取到很关键的作用

二、填空题

13.设是复数的共轭复数，且，则________．

【答案】

【解析】

【分析】

由复数的除法运算得，再求得，再用模长公式即可求解.

【详解】由，可得.

所以.

.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了复数的除法运算、共轭复数的概念及复数模的计算，属于基础题.

14.已知为第二象限角，若，则___

【答案】

【解析】

【分析】

由题意得，求得，又由为第二象限角，求得，再由诱导公式，即可求解.

【详解】由题意，可知，即，解得，

又由为第二象限角，所以，

又由.

【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中根据两角和的正切函数求得的值，进而利用诱导公式代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

15.已知是函数在上的所有零点之和，则的值为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

先研究函数对称性，再确定零点个数，最后根据对称性求M.

【详解】因为，

所以函数关于对称，

如图可得曲线与有四个交点，所以函数 在上有8个零点，且两两关于对称，因此

【点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先研究函数的单调性、对称性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.

16.已知为的外心，其外接圆半径为1，且.若，则的最大值为__________．

【答案】

【解析】

以O为原点建立平面直角坐标系，如图

∵

∴

设则

∵

∴ ，解得

∵ B在圆上，代入

即，

解得或（舍去）故最大值为，故填.

三、解答题

17.在中，角所对的边分别是，为其面积，若

（1）求角的大小；

（2）设的平分线交于，.求的值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）由余弦定理可得，代入题中条件即可得解；

（2）在中,由正弦定理得，从而得，可得，再由代入即可得解.

【详解】（1）由得

  得

（2）在中,由正弦定理得

所以

所以

所以

【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角恒等变换求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

18.已知数列的前n项和为

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求的前项和

【答案】(1) ;(2) .

【解析】

试题分析：（1）首先利用Sn与an的关系：当n=1时，a1=S1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1；结合已知条件等式推出数列{an}是等比数列，由此求得数列{an}的通项公式；

（2），利用裂项求和即可.

试题解析：

（1）当时，由及，得，即，解得．  又由，①      可知，②

②-①得，即．且时， 适合上式，

因此数列是以为首项，公比为的等比数列，故 ．

（2）由（1）及 ，可知，

所以，

故 ．

19.已知，，满足．

(1)将表示为的函数，并求的最小正周期；

(2)已知分别为的三个内角对应的边长，的最大值是，且，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）由向量乘法的坐标表示列式，结合二倍角公式以及辅助角公式化简，即可得出最小正周期；

（2）由最值列式，求出A的值，根据正弦定理以正弦表示边长，由三角形内角和将正弦中的角度化为同一个角，根据角的取值范围求出最值.

【详解】（1）由得，

即，

所以，其最小正周期为.

（2）由题意得，所以，

因为,所以，

由正弦定理得，

，

所以b+c的取值范围为.

【点睛】本题考查三角函数的化简以及解三角形中的最值问题，化简时一般结合二倍角公式以及辅助角公式，求边长最值时有两个方法，一种是将边化为正弦，由角的范围求最值，另一种是结合余弦定理，由基本不等式求最值.

20.如图，已知多面体中，为菱形，，平面，，，.

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】

【分析】

（1）由题意可知、、、共面.连接，，相交于点，由空间几何关系可证得平面，则，结合题意有平面，结合面面垂直的判断定理可得平面平面.

（2）取的中点，以A点为坐标原点建立空间直角坐标系，结合几何体的结构特征可得平面的法向量为，平面的法向量，利用空间向量的结论可得二面角的余弦值为.

【详解】（1）证明：∵，∴四点、、、共面.

如图所示，连接，，相交于点，

∵四边形是菱形，∴对角线，

∵平面，

∴，又，

∴平面，

∴，

又，，

∴平面，

平面，

∴平面平面.

（2）取的中点，

∵，，

∴是等边三角形，∴，

又，∴，

以A点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，.

，，，.

∵.

∴，解得.

设平面的法向量为，

则，∴，

取.

同理可得：平面的法向量.

∴.

由图可知：二面角的平面角为钝角，

∴二面角的余弦值为.

【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：

(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．

(2)设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与<m，n>互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．

21.已知函数，

（1）求的值域；

（2）若使得，求的取值范围；

（3）对，总存在使得，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

分析：（1）求函数导数，利用函数单调性求最值即可得值域；

（2）原问题等价于方程在上有解，令，求函数导数，利用单调性求得得值域即可得解；则原问题等价于，分别求值域即可.

（3）令，，

详解：（1）由题可知，，不难得到，在上单调递增，在上单调递减，

∴，，，

∴的值域为

（2）原问题等价于方程在上有解，

令，，

∴在上单调递增，

∴的值域为，∴.

（3）令，，

则原问题等价于，由（1）（2）可知，，

∴，解得

∴.

点睛：已知方程有解求参数范围常用方法和思路

（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.

22.已知函数.

（1）讨论函数在定义域上的单调性；

（2）令函数，是自然对数的底数，若函数有且只有一个零点，判断与的大小，并说明理由.

【答案】（1）当时，在上单调递增；当或时，在上单调递增, 当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减；（2）.

【解析】

【分析】

（1）求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）根据函数的单调性求出在上有唯一零点，由已知函数有且仅有一个零点，则，得，令，故，利用导数研究函数的单调性，求出零点的分布情况，从而可求出的取值范围即可.

【详解】（1）由已知，且,

①当时，即当时，,

则函数在上单调递增.

②当时，即或时，有两个根，

，因为，所以,

1°当时，令，解得,

当或时，函数在上单调递增,

2°当时，令，，

解得,

当时，函数在上单调递减，

在上单调递增；

3°当时，令，解得,

当时，函数在上单调递减.

（2）函数,

则,

则，所以在上单调增,

当，所以

所以在上有唯一零点,

当，所以为的最小值

由已知函数有且只有一个零点，则

所以则

则，得,

令，所以

则，所以,

所以在单调递减，

因为,

所以在上有一个零点，在无零点,

所以 .

【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.