黑龙江省肇东市第四中学校2021届高三上学期期中考试数学（文）试题 Word版含答案

 肇东四中2020-2021学年上学期期中高三文数试题

一、填空题

1．(cos－sin)(cos＋sin)的值等于(　　)

A．－  B.

C．－  D.

2．已知cos＝，则sin θ＝(　　)

A.　　 　B.

C．－    D．－

3．化简＝(　　)

A．1  B.

C.  D．2

4．已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是(　　)

A．（－，＋∞ ）    

B．(2，＋∞)

C．（－，2）∪(2，＋∞) 

D．（－，0）∪(0，＋∞)

5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝3，S3＝15，则a7＝(　　)

A．11  B．12

C．9  D．15

6．若tan＝，则cos 2α＋sin 2α＝(　　)

A．－  B．－

C.      D.

 7．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则a2＋a14的值为(　　)

A．6  B．12

C．24  D．48

8．已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝(　　)

A．4  B．5

C．8  D．15

9．[2019·贵州贵阳期中]设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝(　　)

A．11    B．5

C．－11  D．－8

10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为(　　)

A.  B.

C.    D．－

11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知sin(2A＋)＝，b＝1，△ABC的面积为，则的值为(　　)

A.  B．2

C．4  D．1

12．在△ABC中，3＝，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ·μ＝(　　)

A．－  B．－

C.      D.

二、填空题

13．在等差数列{an}中，a1＝1，a2＋a6＝10，则a7＝________.

14．已知向量p＝(2，－3)，q＝(x,6)，且p∥q，则|p＋q|的值为________．

15．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q＝________.

16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝，b＝2，A＝，则△ABC的面积为________．

三、解答题

17．已知α∈，tan α＝，求tan 2α和sin的值．

18．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，

(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？

(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A、B、C三点共线，求m的值．

19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.

(1)求A；

(2)若a＋b＝2c，求sin C.

20．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5.

(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；

(2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．

21．已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．

22．如图所示，位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A相距20海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东45°＋θ(0°<θ<45°)的C处，AC＝10海里．在离观测站A的正南方某处D，

tan∠DAC＝－7.

(1)求cos θ；

(2)求该船的行驶速度v(海里/小时)．

高三文数期中试卷答案

1解析：(cos－sin)(cos＋sin)＝cos2－sin2＝cos＝，故选D.

答案：D

2解析：由题意得sin θ＝cos＝2cos2－1＝2×－1＝－，故选C.

答案：C

3解析：原式＝＝＝＝.

答案：C

4解析：∵a与b的夹角为钝角，∴－2λ－1<0，即λ>－.又a≠μb(μ<0)，∴λ≠2，∴λ的取值范围是（－，2）∪(2，＋∞)．故选C项．

答案：C

5解析：通解　∵{an}为等差数列，S3＝15，∴3a2＝15，∴a2＝5，又a1＝3，∴公差为2，∴a7＝3＋6×2＝15，故选D项．

优解　∵a1＝3，S3＝15，∴a2＋a3＝12，∴a1＋a4＝12，∴a4＝9，∴a1＋a7＝2a4＝18，∴a7＝15，故选D项．

答案：D

6解析：因为tan＝，所以tan α＝＝，于是cos 2α＋sin 2α＝＝＝＝.故选C.

答案：C

7解析：∵在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，∴由等差数列的性质可得a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，∴a8＝24，∴a2＋a14＝2a8＝48.故选D.

答案：D

8解析：∵a3a11＝4a7，∴a＝4a7，∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，∴b5＋b9＝2b7＝8，故选C项．

答案：C

9解析：设等比数列{an}的公比为q，∵8a2＋a5＝0，∴q3＝－8，∴q＝－2，∴＝＝－11，故选C项．

答案：C

10解析：∵cos C＝，a2＋b2＝2c2，∴cos C＝≥＝，当且仅当a＝b时取等号，∴cos C的最小值为，故选C.

答案：C

 11解析：∵sin(2A＋)＝，∴A＝，又b＝1，△ABC的面积为bcsin A＝，解得c＝2，∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝1＋4－2＝3，∴a＝，∴＝＝2，故选B.

答案：B

12解析：如图，∵3＝，O为AD的中点，∴＝＝＋＝＋×＝＋(－)＝－＋＝λ＋μ，∴λ＝－，μ＝，∴λ·μ＝－.故选B项．

答案：B

13解析：设等差数列{an}的公差为d.∵在等差数列{an}中，a1＝1，a2＋a6＝10，∴解得∴a7＝a1＋6d＝1＋8＝9.

答案：9

14解析：∵p∥q，∴x＝－4，∴q＝(－4,6)，∴p＋q＝(－2,3)，∴|p＋q|＝.

答案：

15解析：因为①－②得3a3＝a4－a3，即4a3＝a4，则q＝＝4.

答案：4

16解析：由正弦定理得sin B＝＝＝，∵b<a，∴B<A，∴cos B＝，∴sin C＝sin(A＋B)＝，∴△ABC的面积为absin C＝.

答案：

17解析：∵tan α＝，

∴tan 2α＝＝＝.

且＝，即cos α＝2sin α.

又sin2α＋cos2α＝1，∴5sin2α＝1.

而α∈，

∴sin α＝，cos α＝.

∴sin＝sin αcos－cos αsin

＝×－×＝－.

18解析：(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，

a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．

∵ka－b与a＋2b共线，

∴2(k－2)－(－1)×5＝0，

即2k－4＋5＝0，得k＝－.

(2)解法一　∵A、B、C三点共线，

∴可设＝λ.

即2a＋3b＝λ(a＋mb)，

∴解得m＝.

解法二　＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，

＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)，

∵A、B、C三点共线，

∴∥，

∴8m－3(2m＋1)＝0，

即2m－3＝0，

∴m＝.

19解析：(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.

由余弦定理得cos A＝＝.

因为0°<A<180°，所以A＝60°.

(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即＋cos C＋sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－.

由于0°<C<120°，所以sin(C＋60°)＝，故

sin C＝sin(C＋60°－60°)

＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°

＝.

20解析：(1)设{an}的公差为d.

由S9＝－a5得a1＋4d＝0.

由a3＝4得a1＋2d＝4.于是a1＝8，d＝－2.

因此{an}的通项公式为an＝10－2n.

(2)由(1)得a1＝－4d，

故an＝(n－5)d，Sn＝.

由a1>0知d<0，

故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，

解得1≤n≤10.

所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．

21解析：(1)设{an}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，

即q2－2q－8＝0.

解得q＝－2(舍去)或q＝4.

因此{an}的通项公式为an＝2×4n－1＝22n－1.

(2)由(1)得bn＝(2n－1)log22＝2n－1，

因此数列{bn}的前n项和为1＋3＋…＋2n－1＝n2.

22解析：(1)∵tan∠DAC＝－7，

∴sin∠DAC＝－7cos∠DAC，

∵sin2∠DAC＋cos2∠DAC＝1，

∴sin∠DAC＝，cos∠DAC＝－，

∴cos θ＝cos(135°－∠DAC)

＝－cos∠DAC＋sin∠DAC

＝－×(－)＋×

＝.

(2)由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos θ，

∴BC2＝(10)2＋(20)2－2×10×20×＝360，

∴BC＝6海里．∵t＝20分钟＝小时，

∴v＝＝18海里/小时．