【期末满分攻略】2022-2023学年浙教版八年级数学下册讲学案-专题07 多边形的边数和不规则图形中的角度

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 专题07 多边形的边数和不规则图形中的角度
真题演练


1．（达州）如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D＝α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P＝（　　）

A．90°﹣α B．90°+α C． D．360°﹣α
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD＝360°﹣（∠A+∠D）＝360°﹣α，
∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠BCD）＝（360°﹣α）＝180°﹣α，
则∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（180°﹣α）＝α．
故选：C．
2．（凉山州）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（　　）
A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9
【答案】D
【解答】解：设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝1080°，
解得：n＝8．
则原多边形的边数为7或8或9．
故选：D．
3．（广陵区校级二模）如图，已知△ABC中，∠B＝50°，若沿图中虚线剪去∠B，则∠1+∠2等于（　　）

A．130° B．230° C．270° D．310°
【答案】B
【解答】解：

∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B，
＝180°﹣50°，
＝130°，
∠1+∠2＝360°﹣（∠BDE+∠BED），
＝360°﹣130°，
＝230°．
故选：B．
4．（2021春•泉州期末）如图，五边形ABCDE的一个内角∠A＝110°，则∠1+∠2+∠3+∠4等于（　　）

A．360° B．290° C．270° D．250°
【答案】B
【解答】解：∵∠A＝110°，
∴∠A的外角为180°﹣110°＝70°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣70°＝290°，
故选：B．
5．（2020秋•浦北县校级月考）如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝（　　）

A．360° B．450° C．540° D．720°
【答案】C
【解答】解：如图，

在四边形ACEH中，∠A+∠C+∠E+∠1＝360°，
在四边形BDFP中，∠B+∠D+∠F+∠2＝360°，
∵180°﹣∠1+180°﹣∠2+∠G＝180°，
∴∠A+∠C+∠E+∠1+∠B+∠D+∠F+∠2+180°﹣∠1+180°﹣∠2+∠G＝360°+360°+180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝360°+180°＝540°．
故选：C．
6．（2019秋•猇亭区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（　　）

A．10° B．15° C．30° D．40°
【答案】B
【解答】解：如图，∵∠D+∠C＝210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝150°．
又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，
∴∠PAB+∠ABP＝∠DAB+∠ABC+（180°﹣∠ABC）＝90°+（∠DAB+∠ABC）＝165°，
∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝15°．
故选：B．

7．（武汉模拟）如图，四边形ABCD中，∠A＝100°，∠C＝70°．将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝　 　度．

【答案】95
【解答】解：∵MF∥AD，FN∥DC，
∴∠BMF＝∠A＝100°，∠BNF＝∠C＝70°，
∵△BMN沿MN翻折得△FMN，
∴∠BMN＝∠BMF＝×100°＝50°，
∠BNM＝∠BNF＝×70°＝35°，
在△BMN中，∠B＝180°﹣（∠BMN+∠BNM）＝180°﹣（50°+35°）＝180°﹣85°＝95°．
故答案为：95．
8．（2019春•江阴市期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED外点A1的位置，若∠1+∠2＝240°，则∠A＝　　°．

【答案】30
【解答】解：∵∠1+∠2＝240°，
∴∠ADE+∠A1DE+∠AED+∠A1ED＝180°+360°﹣240°＝300°，
由折叠的性质可得∠ADE+∠AED＝150°，
∴∠A＝30°．
故答案为：30．
9．（2021秋•阆中市校级期中）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　　．

【答案】360°
【解答】解：如图所示，
∵∠1＝∠A+∠B，∠2＝∠C+∠D，∠3＝∠E+∠F，
∴∠1+∠2+∠3＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，
又∵∠1、∠2、∠3是三角形的三个不同的外角，
∴∠1+∠2+∠3＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．
故答案为：360°．

10．（2022春•鼓楼区校级期末）一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形边数为　 　．
【答案】15，16，17
【解答】解：设新多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝2520°，
解得n＝16，
∵截去一个角后的多边形与原多边形的边数可以相等，多1或少1，
∴原多边形的边数是15，16，17．
故答案为：15，16，17．
11．（2020春•宽城区期末）一个多边形的内角和是外角和的5倍，求这个多边形的边数．
【解答】解：设多边形的边数为n，
由题意得，（n﹣2）•180°＝5×360°，
解得n＝12．
故这个多边形的边数是12．
12．（2020春•益阳期末）阅读：如图1，CE∥AB，所以∠1＝∠A，∠2＝∠B．所以∠ACD＝∠1+∠2＝∠A+∠B．这是一个有用的结论，请用这个结论，在图2的四边形ABCD内引一条和一边平行的直线，求∠A+∠B+∠C+∠D的度数．

【解答】解：作DE∥AB，交BC于E，由题意，∠DEB＝∠C+∠EDC，
∴∠A+∠ADE＝180°，∠B+∠DEB＝180°，
则∠A+∠B+∠C+∠ADC
＝∠A+∠B+∠C+∠EDC+∠ADE
＝∠A+∠B+∠DEB+∠ADE
＝360°．

13．（2022春•宝应县校级月考）小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到1840°，老师说他算错了，于是小马虎认真地检查了一遍
（1）若他检查发现其中一个内角多算了一次，求这个多边形的边数是多少？
（2）若他检查发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？
【解答】解：（1）设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是x，
则（n﹣2）•180°＝1840°﹣x，
n＝12…40°．
故这个多边形的边数是12．
（2）设这个多边形的边数是n，没有计算在内的内角的度数是x，
则（n﹣2）•180°＝1840°+x，
n＝12…40°．
180°﹣40°＝140°，
故漏算的那个内角是140度，这个多边形是十三边形．
14．（2021秋•道里区期末）已知四边形ABCD，AB∥CD，∠A＝∠C．
（1）如图1，求证：AD∥BC；
（2）如图2，点E是BA延长线上的一点，连接CE，∠ABC的平分线与∠ECD的平分线相交于点P．求证：∠BPC＝90°﹣∠BCE；
（3）如图3，在（2）的条件下，CE与AD，BP分别相交于点F，G．CQ平分∠BCP，∠AFE＝∠BPC，∠D＝4∠DCP．求∠GCQ的度数．


【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B+∠A＝180°，
∴AD∥BC；
（2）∵BP平分∠ABC，CP平分∠ECD，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ECD＝2∠ECP，
∵∠ABC+∠BCD＝180°，
∴2∠PBC+∠BCE+2∠ECP＝180°，
即：∠PBC+∠BCE+∠ECP＝90°，
∵∠BPC+∠PBC+∠BCE+∠ECP＝180°，
∴∠BPC+∠BCE＝90°，
∴∠BPC＝90°﹣∠BCE；
（3）∵∠AFE＝∠BPC，∠BPC＝90°﹣∠BCE；
∴∠AFE＝90°﹣∠BCE，
∵AD∥BC，
∴∠BCE＝∠AFE＝90°﹣∠BCE；
解得∠BCE＝60°，
∴∠AFC＝180°﹣∠BCE＝120°，∠BPC＝60°，
∵∠AFC＝∠D+∠DCE，∠D＝4∠DCP，
∴4∠DCP+∠DCE＝120°，
∵∠DCE＝2∠DCP，
∴6∠DCP＝120°，
解得∠DCP＝∠ECP＝20°，
∴∠ABC＝∠D＝80°，
∴∠PBC＝40°，
∵∠PBC+∠P+∠BCP＝180°，
∴∠BCP＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵CQ平分∠BCP，
∴∠BCQ＝40°，
∴∠GCQ＝∠BCE﹣∠BCQ＝60°﹣40°＝20°．
15．（2020•黄州区校级自主招生）“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．
（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
（2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）

【解答】解：（1）∵∠1＝∠2+∠D＝∠B+∠E+∠D，∠1+∠A+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；

（2）∵∠1＝∠2+∠F＝∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°；

（3）根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，每截去一个角则会增加180度，
所以当截去5个角时增加了180×5度，
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝180°×5+180°＝1080°．

16．（2021春•淅川县期末）将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A'处
【感知】如图①，点A落在四边形BCDE的边BE上，则∠A与∠1之间的数量关系是 　∠1＝2∠A　；
【探究】如图②，若点A落在四边形BCDE的内部，则∠A与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
【拓展】如图③，点A落在四边形BCDE的外部，若∠1＝80°，∠2＝24°，则∠A的大小为 　28°　．

【解答】解：（1）如图①，∠1＝2∠A．
理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D＝∠A；
∵∠1＝∠A+∠EA′D，
∴∠1＝2∠A．
（2）如图②，2∠A＝∠1+∠2．
理由如下：∵∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA＝360°，
∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA＝360°，
∴∠A′+∠A＝∠1+∠2，
由折叠知识可得：∠A＝∠A′，
∴2∠A＝∠1+∠2．
（3）如图③，
∵∠1＝∠DFA+∠A，∠DFA＝∠A′+∠2，
∴∠1＝∠A+∠A′+∠2＝2∠A+∠2，
∴2∠A＝∠1﹣∠2＝56°，
解得∠A＝28°．
故答案为：∠1＝2∠A；28°．

17．（天台县期末）（1）如图1，在△ABC中，已知OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，BP，CP分别平分∠ABC，∠ACB的外角∠DBC，∠ECB．
①若∠A＝50°，则∠O＝　115°　，∠P＝　65°　；
②若∠A＝α，则∠O＝　90°+α　，∠P＝　90°﹣α　．（用含α的式子表示）
（2）如图2，在四边形ABCD中，BP，CP分别平分外角∠EBC，∠FCB，请探究∠P与∠A，∠D的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在六边形ABCDEF中，CP，DP分别平分外角∠GCD，∠HDC，请直接写出∠P与∠A，∠B，∠E，∠F的数量关系　∠P＝360°﹣（∠A+∠B+∠E+∠F）　．

【解答】解：（1）①解：∠O＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝180°﹣（180°﹣50°）＝115°；
∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣∠DBC﹣∠ECB＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝180°﹣（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）＝180°﹣[360°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝180°﹣[360°﹣（180°﹣∠A）]＝180°﹣[360°﹣（180°﹣50°）]＝65°；
故答案为：115°；65°．
②解：∠O＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝180°﹣（180°﹣α）＝90°+α；
∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣∠DBC﹣∠ECB＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝180°﹣（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）＝180°﹣[360°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝180°﹣[360°﹣（180°﹣∠A）]＝180°﹣[360°﹣（180°﹣α）]＝90°﹣α；
故答案为：90°+α；90°﹣α，

（2）解：∠P＝180°﹣（∠A+∠D）．理由如下：
∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠EBC+∠FCB）＝180°﹣[360°﹣（∠ABC+∠DCB）]＝（∠ABC+∠DCB）＝（360°﹣∠A﹣∠D）＝180°﹣（∠A+∠D）．

（3）∠P＝180°﹣（∠GCD+∠HDC）＝180°﹣（180°﹣∠BCD+180°﹣∠CDE）＝（∠BCD+∠CDE）＝[（6﹣2）×180°﹣（∠A+∠B+∠E+∠F）]＝360°﹣（∠A+∠B+∠E+∠F）．
故答案为：∠P＝360°﹣（∠A+∠B+∠E+∠F）
18．（春•溧水区期末）如图①，∠1、∠2是四边形ABCD的两个不相邻的外角．
（1）猜想并说明∠1+∠2与∠A、∠C的数量关系；
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O．若∠A＝50°，∠C＝150°，求∠BOD的度数；
（3）如图③，BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．请直接写出∠A、∠C与∠O的数量关系　∠C﹣∠A＝2∠O　．

【解答】解：（1）猜想：∠1+∠2＝∠A+∠C，
∵∠1+∠ABC+∠2+∠ADC＝360°，
又∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°，
∴∠1+∠2＝∠A+∠C；
（2）∵∠A＝50°，∠C＝150°，
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣200°＝160°，
又∵BO、DO分别平分∠ABC与∠ADC，
∴∠OBC＝∠ABC，∠ODC＝∠ADC，
∴∠OBC+∠ODC＝（∠ABC+∠ADC）＝80°，
∴∠BOD＝360°﹣（∠OBC+∠ODC+∠C）＝130°；
（3）∠A、∠C与∠O的数量关系为为：
∠C﹣∠A＝2∠O．
理由如下：
∵BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．
∴∠FDC＝2∠FDO＝2∠ODC，∠EBC＝2∠EBO＝2∠CBO，
由（1）可知：
∠FDO+∠EBO＝∠A+∠O，
2∠FDO+2∠EBO＝∠A+∠C，
∴2∠A+2∠O＝∠A+∠C，
∴∠C﹣∠A＝2∠O．
故答案为：∠C﹣∠A＝2∠O．
19．（2021秋•昌吉州期中）四边形ABCD中，∠A＝145°，∠D＝75°．
（1）如图1，若∠B＝∠C，试求出∠C的度数；
（2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；
（3）①如图3，若∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数．
②在①的条件下，若延长BA、CD交于点F（如图4），将原来条件“∠A＝145°，∠D＝75°”改为“∠F＝40°”，其他条件不变，∠BEC的度数会发生变化吗？若不变，请说明理由；若变化，求出∠BEC的度数．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD中，∠A＝145°，∠D＝75°，
∴∠B+∠C＝360°﹣（145°+75°）＝140°，
∵∠B＝∠C，
∴∠C＝70°；
（2）∵BE∥AD，
∴∠ABE＝180°﹣∠A＝180°﹣145°＝35°，
∵∠ABC的角平分线BE交DC于点E，
∴∠ABC＝70°，
∴∠C＝360°﹣（145°+75°+70°）＝70°；
（3）①∵四边形ABCD中，∠A＝145°，∠D＝75°，
∴∠B+∠C＝360°﹣（145°+75°）＝140°，
∵∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，
∴∠EBC+∠ECB＝70°，
∴∠BEC＝180°﹣70°＝110°；
②不变．
∵∠F＝40°，
∴∠FBC+∠BCF＝180°﹣40°＝140°，
∵∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，
∴∠EBC+∠ECB＝70°，
∴∠BEC＝180°﹣70°＝110°．
20．（春•古冶区期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，∠BAD的平分线AG交BC于点G．

（1）求证：∠BAG＝∠BGA；
（2）如图2，∠BCD的平分线CE交AD于点E，与射线GA相交于点F，∠B＝50°．
①若点E在线段AD上，求∠AFC的度数；
②若点E在DA的延长线上，直接写出∠AFC的度数；
（3）如图3，点P在线段AG上，∠ABP＝2∠PBG，CH∥AG，在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，请直接写出∠ABM：∠PBM的值．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠GAD＝∠BGA，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠GAD，
∴∠BAG＝∠BGA；
（2）解：①∵CF平分∠BCD，∠BCD＝90°，
∴∠GCF＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠GCF＝45°，
∵∠ABC＝50°，
∴∠DAB＝180°﹣50°＝130°，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠GAD＝65°，
∴∠AFC＝65°﹣45°＝20°；
②如图4，∵∠AGB＝65°，∠BCF＝45°，
∴∠AFC＝∠CGF+∠BCF＝115°+45°＝160°；
（3）解：有两种情况：
①当M在BP的下方时，如图5，
设∠ABC＝3x
∵∠ABP＝2∠PBG，
∴∠ABP＝2x，∠PBG＝x，
∵AG∥CH，
∴∠BCH＝∠AGB＝，
∵∠BCD＝90°，
∴∠DCH＝∠PBM＝90°﹣＝，
∴∠ABM＝∠ABP+∠PBM＝2x+＝，
∴∠ABM：∠PBM＝：＝；
②当M在BP的上方时，如图6，
同理得：∠ABM＝∠ABP﹣∠PBM＝2x﹣x＝x，
∴∠ABM：∠PBM＝x：＝；
综上，∠ABM：∠PBM的值是或．



21．（2021秋•通榆县期末）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍还多180°，那么这个多边形的边数是多少？
【解答】解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得
（n﹣2）•180＝360×3+180，
解得：n＝9．
则这个多边形的边数是9．
22．（2020春•东台市期中）如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．
（1）如图1，若α+β＝100°，求∠MBC+∠NDC的度数；
（2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝40°，请直接写出α、β所满足的数量关系式；
（3）如图2，若α＝β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．

【解答】解：（1）∵∠ABC+∠ADC＝360°﹣（α+β），
∴∠MBC+∠NDC＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ADC＝α+β＝100°．
（2）β﹣α＝80°
理由：如图1，连接BD，

由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBG＝∠MBC，∠CDG＝∠NDC，
∴∠CBG+∠CDG＝∠MBC+∠NDC＝（∠MBC+∠NDC）＝（α+β），
在△BCD中，∠BDC+∠CBD＝180°﹣∠BCD＝180°﹣β，
在△BDG中，∠GBD+∠GDB+∠BGD＝180°，
∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD＝180°，
∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CBD）+∠BGD＝180°，
∴（α+β）+180°﹣β+40°＝180°，
∴β﹣α＝80°，
（3）平行，
理由：如图2，延长BC交DF于H，

由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBE＝∠MBC，∠CDH＝∠NDC，
∴∠CBE+∠CDH＝∠MBC+∠NDC＝（∠MBC+∠NDC）＝（α+β），
∵∠BCD＝∠CDH+∠DHB，
∴∠CDH＝∠BCD﹣∠DHB＝β﹣∠DHB，
∴∠CBE+β﹣∠DHB＝（α+β），
∵α＝β，
∴∠CBE+β﹣∠DHB＝（β+β）＝β，
∴∠CBE＝∠DHB，
∴BE∥DF．
23．（2020春•泰州期末）已知在四边形ABCD中，∠A＝x，∠C＝y，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．
（1）∠ABC+∠ADC＝　360°﹣x﹣y　（用含x、y的代数式直接填空）；
（2）如图1，若x＝y＝90°．DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，请写出DE与BF的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角．
①若x+y＝120°，∠DFB＝20°，试求x、y．
②小明在作图时，发现∠DFB不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，∠DFB不存在．

【解答】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°，∠A＝x，∠C＝y，
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣x﹣y．
故答案为：360°﹣x﹣y．

（2）DE⊥BF．
理由：如图1，∵DE平分∠ADC，BF平分∠MBC，
∴∠CDE＝∠ADC，∠CBF＝∠CBM，
又∵∠CBM＝180°﹣∠ABC＝180°﹣（180°﹣∠ADC）＝∠ADC，
∴∠CDE＝∠CBF，
又∵∠DGC＝∠BGE，
∴∠BEG＝∠C＝90°，
∴DE⊥BF；

（3）①由（1）得：∠CDN+∠CBM＝360°﹣（360°﹣x﹣y）＝x+y，
∵BF、DF分别平分∠CBM、∠CDN，
∴∠CDF+∠CBF＝（x+y），
如图2，连接DB，则∠CBD+∠CDB＝180°﹣y，
∴∠FBD+∠FDB＝180°﹣y+（x+y）＝180°﹣y+x，
∴∠DFB＝y﹣x＝20°，
解方程组：，
可得：；
②当x＝y时，∠FBD+∠FDB＝180°﹣y+x＝180°，
∴∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线互相平行，
此时，∠DFB不存在．


24．（春•江都区期中）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）仔细观察，在图2中有　3　个以线段AC为边的“8字形”；
（2）在图2中，若∠B＝96°，∠C＝100°，求∠P的度数．
（3）在图2中，若设∠C＝α，∠B＝β，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间存在着怎样的数量关系（用α、β表示∠P），并说明理由；
（4）如图3，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为　360°　．

【解答】解：（1）在图2中有△AMC和△PMD，△AOC和△BOD，△AOC和△NOD，
共3个以线段AC为边的“8字形”，
故答案为3；

（2）∵∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，
∴∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，
∵∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，
∴∠C﹣∠P＝∠P﹣∠B，
即∠P＝（∠C+∠B），
∵∠C＝100°，∠B＝96°
∴∠P＝（100°+96°）＝98°；

（3）∠P＝（β+2α）；
理由：∵∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，
∴∠BAP＝∠BAC，∠BDP＝∠BDC，
∵∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，
∴∠C﹣∠P＝∠BDC﹣∠BAC，∠P﹣∠B＝∠BDC﹣∠BAC，
∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，
∴∠P＝（∠B+2∠C），
∵∠C＝α，∠B＝β，
∴∠P＝（β+2α）；

（4）∵∠B+∠A＝∠1，∠C+∠D＝∠2，
∴∠A+∠B+∠C+∠D＝∠1+∠2，
∵∠1+∠2+∠F+∠E＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．
故答案为：360°．

25．（2019•遵化市一模）如图，在五边形ABCDE中，∠C＝100°，∠D＝75°，∠E＝135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度数．

【解答】解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E＝540°，∠C＝100°，∠D＝75°，∠E＝135°
∴∠EAB+∠ABC＝540°﹣∠C﹣∠D﹣∠E＝230°，
∵AP平分∠EAB
∴，
同理可得，，
∵∠P+∠PAB+∠PBA＝180°，
∴∠P＝180°﹣∠PAB﹣∠PBA＝＝＝＝65°．
26．（春•泗阳县校级期末）如图：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把这个图形称为“8字型”．根据三角形内角和容易得到：∠A+∠D＝∠C+∠B．

（1）用“8字型”
如图（1）：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　360°　．
（2）造“8字型”
如图（2）：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　540°　．
（3）发现“8字型”
如图（3）：BE、CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线．
①图中共有　6　个“8字型”；
②若∠B：∠D：∠F＝4：6：x，求x的值．
【解答】（1）∵∠A+∠B＝∠GKH+∠GHK，
∠C+∠D＝∠GHK+∠HGK，
∠E+∠F＝∠HGK+∠GKH，
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2（∠GKH+∠GHK+∠HGK）＝2×180°＝360°，故答案为：360°；

（2）如图，连接BC，
∵∠E+∠G＝∠GCB+∠EBC，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝五边形FABCD的内角和，
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝（5﹣2）•180°＝540°，
故答案为：540°；

（3）①图中共有6个“8字型”；
故答案为：6．
②：∵CF平分∠BCD，EF平分∠BED
∴∠DEG＝∠AEG，∠ACH＝∠BCH，
∵在△DGE和△FGC中，∠DGE＝∠FGC
∴∠D+∠DEG＝∠F+∠ACH
∵在△BHC和△FHE中，∠BHC＝∠FHE
∴∠B+∠BCH＝∠F+∠AEG
∴∠D+∠DEG+∠B+∠BCH＝∠F+∠ACH+∠F+∠AEG
∴∠D+∠B＝2∠F；
∵∠B：∠D：∠F＝4：6：x，∠D+∠B＝2∠F，
∴x＝5．


27．（春•衢州期中）如图所示中的几个图形是五角星和它的变形．

（1）图甲中是一个五角星形状，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；
（2）图甲中的点A向下移到BE上时（如图乙）五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？试说明理由
（3）把图乙中的点C向上移动到BD上时（如图丙所示），五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化？试说明理由．
【解答】解：（1）如图：

由三角形外角的性质，得
∠C+∠E＝∠1，∠B+∠D＝∠2．
由三角形的内角和定理，得∠A+∠1+∠2＝180°，
等量代换，得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180゜；
（2）如图：

由三角形外角的性质，得∠C+∠E＝∠1，∠A+∠D＝∠2，
由三角形的内角和定理，得∠B+∠1+∠2＝180°，
等量代换，得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180゜；

（3）∵∠ECD是△BCE的一个外角，
∴∠ECD＝∠B+∠E（三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和），
∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E＝∠CAD+∠ACE+∠D+∠ECD＝∠CAD+∠ACD+∠D＝180°，
故∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E等于180°，没有变化．
28．（2020春•襄汾县期末）如图①，△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D．
（1）若∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，求∠D的度数；
（2）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的关系，并说明理由．

【解答】解：∵∠ACE＝∠A+∠ABC，
∴∠ACD+∠ECD＝∠A+∠ABD+∠DBE，∠DCE＝∠D+∠DBC，
又BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠ABD＝∠DBE，∠ACD＝∠ECD，
∴∠A＝2（∠DCE﹣∠DBC），∠D＝∠DCE﹣∠DBC，
∴∠A＝2∠D，
∵∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，
∴∠A＝60°，
∴∠D＝30°；

（2）∠D＝（∠M+∠N﹣180°）；
理由：延长BM、CN交于点A，
则∠A＝∠BMN+∠CNM﹣180°，
由（1）知，∠D＝A，
∴∠D＝（∠M+∠N﹣180°）．

29．（春•嘉兴期中）已知在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．
（1）∠ABC+∠ADC＝　180　°；
（2）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的外角，请写出DE与BF的位置关系，并证明；
（3）如图②，若BE，DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE＝∠CDN，∠CBE＝∠CBM），试求∠E的度数

【解答】（1）解：∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣90°×2＝180°；
故答案为：180°；

（2）解：延长DE交BF于G，
∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，
∴∠CDE＝∠ADC，∠CBF＝∠CBM，
又∵∠CBM＝180°﹣∠ABC＝180°﹣（180°﹣∠ADC）＝∠ADC，
∴∠CDE＝∠CBF，
又∵∠BED＝∠CDE+∠C＝∠CBF+∠BGE，
∴∠BGE＝∠C＝90°，
∴DG⊥BF，
即DE⊥BF；

（3）解：由（1）得：∠CDN+∠CBM＝180°，
∵BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角，
∴∠CDE+∠CBE＝×180°＝45°，
延长DC交BE于H，
由三角形的外角性质得，∠BHD＝∠CDE+∠E，∠BCD＝∠BHD+∠CBE，
∴∠BCD＝∠CBE+∠CDE+∠E，
∴∠E＝90°﹣45°＝45°

30．（2021春•九龙坡区期末）已知点B、D分别为射线AM、AN上异于端点A的任一点，点C为∠MAN内部一点（如图1）．∠A＝α，∠C＝β，（0°＜α＜180°，0°＜β＜180°）．
（1）∠ABC+∠ADC＝　360°﹣α﹣β　（用含α、β的代数式直接填空）；
（2）如图2，若α＝β＝90°，BE平分∠ABC，DG平分∠CDN，若射线BE与DG所在直线交于点F，则∠BDG为 　①　角（只填序号）；
①锐角；
②直角；
③钝角．
（3）①若∠MBC、∠CDN的角平分线相交于点P，α+β＝110°，∠BPD＝30°，试求α、β的值；
②①中的∠BPD是否一定存在？若∠BPD不存在，请直接写出α、β满足的条件．

【解答】解：（1）∵四边形内角和等于360°，
∴∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°．
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠C＝360°﹣α﹣β．
故答案为：360°﹣α﹣β．
（2）由（1）知：∠ABC+∠ADC＝360°﹣α﹣β．
∵α＝β＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣90°﹣90°＝180°．
∵DG平分∠CDN，
∴∠CDG＝＝．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．
∴∠ABD＜∠CBD．
又∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABD+∠ADB＝∠CBD+∠CDB．
∴∠ADB＞∠BDC．
∴2∠BDC＜∠BDC+∠ADB＝∠ADC．
∴∠BDC＜．
∴0＜∠BDG＝∠CDG+∠BDC＝90°﹣+∠BDC＜90°﹣+＝90°．
∴∠BDG为锐角．
故答案为：①．
（3）①：如图3，连接PC并延长至Q．

∵BP平分∠MBC，
∴∠PBC＝．
同理可证：∠CDP＝．
∵∠QCB＝∠PBC+∠BPC，∠QCD＝∠CDP+∠CPD，
∴∠QCB+∠QCD＝∠CBP+∠BPC+∠CDP+∠CPD．
∴∠BCD＝∠PBC+∠CDP+∠BPD．
∴β＝90°﹣+90°﹣+30°．
∴β＝210°﹣＝210°﹣．
∴β﹣α＝60°．
又∵α+β＝110°，
∴α＝25°，β＝85°．
②：∠BPD不一定存在，当α＝β时，∠BPD不存在．
如图4，BE平分∠MBC，BF平分∠CDN，过点C作GH∥BE．

由①，可证：∠EBC＝90°﹣，∠CDF＝90°﹣．
由（1）得：∠ABC+∠ADC＝360°﹣α﹣β．
∴∠ADC＝360°﹣α﹣β﹣∠ABC．
∴∠CDF＝．
∵BE∥GH，
∴∠BCG＝∠EBC＝90°﹣．
∴∠GCD＝∠BCD﹣∠BCG＝β﹣（90°﹣）＝β+﹣90°．
若∠CDF＝∠GCD，则＝β+﹣90°，即α＝β．
∴GH∥DF．
又∵BE∥GH，
∴BE∥DF．
此时，P不存在，即∠BPD不存在．
∴当α＝β时，∠BPD不存在．