【期末满分攻略】2022-2023学年人教版八年级数学下册讲学案-专题22 特殊平行四边形中的折叠问题（原卷版+解析版）

专题22  特殊平行四边形中的折叠问题

 在折叠问题中，原图形与折叠后图形中所隐含的相等线段与相等角常常是解决问题的关键，注意翻折变换的性质的灵活运用，折叠前后，重叠部分是全等形，另外注意勾股定理等知识在求折叠图形的线段长度中的适当运用。

【典例1】（2021•徐州）如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使 C、A两点重合，点D落在点G处．已知AB＝4，BC＝8．

（1）求证：△AEF是等腰三角形；

（2）求线段FD的长．

【答案】（1）  略  （2）FD＝3

【解答】（1）证明：由折叠性质可知，∠AEF＝∠CEF，

由矩形性质可得AD∥BC，

∴∠AFE＝∠CEF，

∴∠AEF＝∠AFE．

∴AE＝AF，

故△AEF为等腰三角形．

（2）解：由折叠可得AE＝CE，设CE＝x＝AE，

则BE＝BC﹣CE＝8﹣x，

∵∠B＝90°，

在Rt△ABE中，有AB2+BE2＝AE2，

即42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5．

由（1）结论可得AF＝AE＝5，

故FD＝AD﹣AF＝BC﹣AF＝8﹣5＝3．

【变式1-1】（2021•大连）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB′E，点B的对应点是点B′．若AB′⊥BD，BE＝2，则BB′的长是 　   　．

【答案】2

【解答】解：∵菱形ABCD，

∴AB＝AD，AD∥BC，

∵∠BAD＝60°，

∴∠ABC＝120°，

∵AB′⊥BD，

∴∠BAB'＝，

∵将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB′E，

∴BE＝B'E，AB＝AB'，

∴∠ABB'＝，

∴∠EBB'＝∠ABE﹣∠ABB'＝120°﹣75°＝45°，

∴∠EB'B＝∠EBB'＝45°，

∴∠BEB'＝90°，

在Rt△BEB'中，由勾股定理得：

BB'＝，

故答案为：2．

【变式1-2】（2021•江西）如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则▱ABCD的周长为 　  　．

【答案】4a+2b

【解答】解：∵∠B＝80°，四边形ABCD为平行四边形．

∴∠D＝80°．

由折叠可知∠ACB＝∠ACE，

又AD∥BC，

∴∠DAC＝∠ACB，

∴∠ACE＝∠DAC，

∴△AFC为等腰三角形．

∴AF＝FC＝a．

设∠ECD＝x，则∠ACE＝2x，

∴∠DAC＝2x，

在△ADC中，由三角形内角和定理可知，2x+2x+x+80°＝180°，

解得：x＝20°．

∴由三角形外角定理可得∠DFC＝4x＝80°，

故△DFC为等腰三角形．

∴DC＝FC＝a．

∴AD＝AF+FD＝a+b，

故平行四边形ABCD的周长为2（DC+AD）＝2（a+a+b）＝4a+2b．

故答案为：4a+2b．

【典例2】（2021春•雨花区月考）小西在学完第十八章《平行四边形》之后，研究了新人教版八年级下册数学教材第64页的数学活动1．其内容如下：

如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）：（1）对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．

（2）再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN．

小雅在小西研究的基础上，再次动手操作（如图2）：

（3）将MN延长交BC于点G，将△BMG沿MG折叠，点B刚好落在AD边上点H处，连接GH，把纸片再次展平．请根据小西和小雅的探究，完成下列问题：

①直接写出BE和BN的数量关系：　    　．

②求∠ABM的角度大小；

③求证：四边形BGHM是菱形．

【答案】（3）①BE＝BN  ② ∠ABM＝30  ③四边形BGHM是菱形

【解答】解：（3）①∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，

∴BE＝AB，

∵再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN．

∴AB＝BN，

∴BE＝BN，

故答案为：BE＝BN；

②解：∵由折叠的性质得：∠BEN＝∠AEN＝90°，

∵BE＝BN，

∴∠BNE＝30°，

∴∠ABN＝60°，

由折叠的性质得：∠ABM＝∠ABN＝30°；

③证明：由②得∠ABM＝30°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠ABC＝90°，

∴∠AMB＝∠BMN＝60°，∠MBG＝60°，

∴△BMG是等边三角形，

∴BM＝BG，

由折叠得BM＝MH，BG＝GH，

∴BM＝MH＝BG＝GH，

∴四边形BGHM是菱形．

【变式2-1】（2019•黔东南州一模）如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长为（　　）

A． B．3 C． D．

【答案】C

【解答】解：∵将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，

∴EF＝DE，AB＝AD＝6cm，∠A＝90°

∵点E是AB的中点，

∴AE＝BE＝3cm，

在Rt△AEF中，EF2＝AF2+AE2，

∴（6﹣AF）2＝AF2+9

∴AF＝

故选：C．

【变式2-2】（鹿城区校级三模）如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，则边AD的长是（　　）

A．2 B．3 C．4.8 D．5

【答案】D

【解答】解：∵∠HEM＝∠AEH，∠BEF＝∠FEM，

∴∠HEF＝∠HEM+∠FEM＝×180°＝90°，

同理可得：∠EHG＝∠HGF＝∠EFG＝90°，

∴四边形EFGH为矩形．

∵AD＝AH+HD＝HM+MF＝HF，HF＝＝5，

∴AD＝5，

故选：D．

1.（2021•黔西南州）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝9，M是BC上的点，且CM＝3，将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点C′处，折痕为MN，则线段AN的长是 　　．

【答案】4

【解答】解：连接PM，如图

∵AB＝6，BC＝9，CM＝3，

∴BM＝BC﹣CM＝9﹣3＝6，

由折叠性质得，CD＝PC′＝6，∠C＝∠PC′M＝∠PBM＝90°，C′M＝CM＝3，

在Rt△PBM和Rt△MC′P中，

，

∴Rt△PBM≌Rt△MC′P（HL），

∴PB＝C′M＝3，

∴PA＝AB﹣PB＝6﹣3＝3．

设AN＝x，则ND＝9﹣x＝PN，

在Rt△APN中，AN2+AP2＝PN2，

即x2+32＝（9﹣x）2，

解得x＝4，

∴AN的长是4．

故答案为4．

2.（2021•苏州）如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC＝，则B′D的长是（　　）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，∠ADC＝60°，

∴∠CAE＝∠ACB＝45°，

∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，

∴∠ACB′＝∠ACB＝45°，∠AB′C＝∠B＝60°，

∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠ACB′＝90°，

∴AE＝CE＝AC＝，

∵∠AEC＝90°，∠AB′C＝60°，∠ADC＝60°，

∴∠B′AD＝30°，∠DCE＝30°，

∴B′E＝DE＝1，

∴B′D＝＝．

故选：B．

3.（2021•牡丹江）如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE＝1．将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为（　　）

A．2 B．2 C．6 D．5

【答案】D

【解答】解：设DF＝m，AG＝n，

∵正方形的边长为3，

∴CF＝3﹣m，BG＝3﹣n，

由折叠可得，AF＝EF，AG＝GE，

在Rt△ADF中，AF2＝DF2+DA2，

即AF2＝m2+9，

在Rt△EFC中，EF2＝EC2+CF2，

∵BE＝1，

∴EC＝2，

∴EF2＝4+（3﹣m）2，

∴m2+9＝4+（3﹣m）2，

∴m＝，

在Rt△BEG中，GE2＝BG2+BE2，

∴n2＝（3﹣n）2+1，

∴n＝，

∴S△GEB＝×1×（3﹣）＝，

S△ADF＝××3＝1，

S△CEF＝×2×（3﹣）＝，

∴S四边形AGEF＝S正方形ABCD﹣S△GEB﹣S△ADF﹣S△CEF＝9﹣﹣1﹣＝5，

故选：D．

4．（2021•黔东南州模拟）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为　　．

【答案】6

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝8，

∴BC＝8，

∵△AEF是△AEB翻折而成，

∴BE＝EF＝3，AB＝AF，△CEF是直角三角形，

∴CE＝8﹣3＝5，

在Rt△CEF中，CF＝＝＝4，

设AB＝x，

在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，即（x+4）2＝x2+82，

解得x＝6，则AB＝6．

故答案为：6．

5．（2020•广东）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．

（1）求证：△ADE≌△CED；

（2）求证：△DEF是等腰三角形．

【答案】（1）略   （2）略

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，AB＝CD．

由折叠的性质可得：BC＝CE，AB＝AE，

∴AD＝CE，AE＝CD．

在△ADE和△CED中，，

∴△ADE≌△CED（SSS）．

（2）由（1）得△ADE≌△CED，

∴∠DEA＝∠EDC，即∠DEF＝∠EDF，

∴EF＝DF，

∴△DEF是等腰三角形．

6．（2020•兴化市模拟）如图，现有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN丁点Q，连接CM．

（1）求证：PM＝PN；

（2）当P，A重合时，求MN的值；

（3）若△PQM的面积为S，求S的取值范围．

【答案】（1） 略  （2）MN＝2QN＝2   （3）4≤S≤5

【解答】（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴PM∥CN，

∴∠PMN＝∠MNC，

∵∠MNC＝∠PNM，

∴∠PMN＝∠PNM，

∴PM＝PN．

（2）解：点P与点A重合时，如图2中，

设BN＝x，则AN＝NC＝8﹣x，

在Rt△ABN中，AB2+BN2＝AN2，

即42+x2＝（8﹣x）2，

解得x＝3，

∴CN＝8﹣3＝5，AC＝＝＝4，

∴CQ＝AC＝2，

∴QN＝＝＝，

∴MN＝2QN＝2．

（3）解：当MN过点D时，如图3所示，

此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为S＝S菱形CMPN＝×4×4＝4，

当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S＝×5×4＝5，

∴4≤S≤5，