【期末满分攻略】2022-2023学年人教版八年级数学下册讲学案-专题13 勾股定理之蚂蚁行程模型综合应用（3大类型）（原卷版+解析版）

专题13  勾股定理之蚂蚁行程模型综合应用（3大类型）

几何体中最短路径基本模型如下：

  基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 

【典例分析】

【典例1】如图，有一个圆柱，它的高等于16cm，底面半径等于4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？．（π取3）

【解答】解：将此圆柱展成平面图得：

∵有一圆柱，它的高等于16cm，底面半径等于4cm（π≈3），

∴AC＝16cm，BC＝BB′＝×8π＝12（cm），

∴AB＝＝10（cm）．

∴AB＝＝20cm．

答：需要爬行的最短路程是20cm．

【变式1-1】如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（　　）

A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm

【答案】B

【解答】解：如图所示：

由于圆柱体的底面周长为10cm，

则AD＝10×＝5（cm）．

又因为CD＝AB＝12cm，

所以AC＝（cm）．

故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是13cm．

故选：B．

【变式1-2】如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为5cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的侧面爬行到点C的最短路程大约是（　　）

A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm

【答案】C

【解答】解：将圆柱体展开，连接DC，

圆柱体的底面周长为24cm，则DE＝12cm，

根据两点之间线段最短，

CD＝＝13（cm）．

而走D﹣B﹣C的距离更短，

∵BD＝5，BC＝，

∴BD+BC≈13．

故选：C．

【典例2】（2021春•望城区期末）如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B距离C点5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离是　　cm．

【答案】25

【解答】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：

∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，

∴BD＝CD+BC＝10+5＝15，AD＝20，

在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：

∴AB＝；

只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：

∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，

∴BD＝CD+BC＝20+5＝25，AD＝10，

在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：

∴AB＝；

只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：

∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，

∴AC＝CD+AD＝20+10＝30，

在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：

∴AB＝；

∵25＜5，

∴蚂蚁爬行的最短距离是25．

故答案为：25

【变式2-1】正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为（　　）

A． B． C．5 D．2+

【答案】A

【解答】解：展开正方体的点M所在的面，

∵BC的中点为M，

所以MC＝BC＝1，

在直角三角形中AM＝＝．

故选：A．

【变式2-2】有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（　　）

A．5cm B．cm C．4cm D．3cm

【答案】B

【解答】解：因为平面展开图不唯一，

故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．

（1）展开前面、右面，由勾股定理得AB2＝（5+4）2+32＝90；

（2）展开前面、上面，由勾股定理得AB2＝（3+4）2+52＝74；

（3）展开左面、上面，由勾股定理得AB2＝（3+5）2+42＝80；

所以最短路径长为cm．

故选：B．

【典例3】如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是 　  　米．

【答案】2.5

【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为2，宽为（0.2+0.3）×3，

则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．

可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，

由勾股定理得：x2＝22+[（0.2+0.3）×3]2＝2.52，

解得x＝2.5．

【变式3】如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为7寸、5寸和3寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是 　　寸．

【答案】25

【解答】解：将台阶展开矩形，线段AB恰好是直角三角形的斜边，两直角边长分别为24寸，7寸，

由勾股定理得AB＝＝25寸．

【夯实基础】

1.长方体的长为15，宽为10，高为20，点B在棱上与点C的距离为5，如图，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，则需要爬行的最短距离是（　　）

A． B． C．25 D．

【答案】C

【解答】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：

∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，

∴BD＝CD+BC＝10+5＝15，AD＝20，

在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：

∴AB＝＝＝25；

只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：

∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，

∴BD＝CD+BC＝20+5＝25，AD＝10，

在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：

∴AB＝＝＝5；

只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：

∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，

∴AC＝CD+AD＝20+10＝30，

在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：

∴AB＝＝＝5；

∵25＜5＜5，

∴蚂蚁爬行的最短距离是25．

故选：C．

2．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草，则他们仅仅少走了 　　步路．（假设2步为1米）

【答案】4

【解答】解：由勾股定理，得

路长＝＝5（m），

少走（3+4﹣5）×2＝4步，

故答案为：4．

3．如图，一座桥横跨一河，桥长40m，一艘小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸后，发现已偏离桥南头9m，则小船实际行驶的距离

为 　　m．

【答案】41

【解答】解：根据题意知，∠ABC＝90°，AB＝40m，BC＝9m，

在直角△ABC中，AC2＝AB2+BC2，

所以实际行驶的路程为AC＝＝41（m）．

故答案为：41．

4．如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是　　cm．

【答案】15

【解答】解：由题意可得，

当展开前面和右面时，最短路线长是：＝＝15（cm）；

当展开前面和上面时，最短路线长是：＝＝7（cm）；

当展开左面和上面时，最短路线长是：＝（cm）；

∵15＜7＜，

∴一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是15cm，

故答案为：15．

5．如图一只蚂蚁从长为5cm、宽为3cm，高是4cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是　  　cm．

【答案】

【解答】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．

（1）展开前面右面由勾股定理得AB2＝（5+3）2+42＝80；

（2）展开前面上面由勾股定理得AB2＝（4+3）2+52＝74；

（3）展开左面上面由勾股定理得AB2＝（5+4）2+32＝90．

所以最短路径的长为AB＝（cm）．

故答案为：．

6．如图是棱长为4cm的立方体木块，一只蚂蚁现在A点，若在B点处有一块糖，它想尽快吃到这块糖，则蚂蚁沿正方体表面爬行的最短路程是 　  　cm．

【答案】

【解答】解：将点A和点B所在的面展开为矩形，AB为矩形对角线的长，

∵矩形的长和宽分别为8cm和4cm，

∴AB＝＝cm．

故蚂蚁沿正方体的最短路程是cm．

7．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用 　  　秒钟．

【答案】2.5

【解答】解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．

（1）展开前面右面由勾股定理得AB＝＝cm；

（2）展开底面右面由勾股定理得AB＝＝5cm；

所以最短路径长为5cm，用时最少：5÷2＝2.5秒．

8．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是 　  　米．

【答案】2.5

【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为2，宽为（0.2+0.3）×3，

则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．

可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，

由勾股定理得：x2＝22+[（0.2+0.3）×3]2＝2.52，

解得x＝2.5．

9．如图，有一个圆柱形仓库，它的高为10m，底面半径为4m，在圆柱形仓库下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃相对一侧中点B处的食物，蚂蚁爬行的速度是50cm/min，那么蚂蚁吃到食物最少需要 　   min．（π取3）

【答案】26　

【解答】解：首先展开圆柱的半个侧面，即是矩形．

此时AB所在的三角形的直角边分别是5m，12m．

根据勾股定理求得AB＝13m＝1300cm，

故蚂蚁吃到食物最少需要的时间是1300÷50＝26min．

10．如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A到达A1，若圆柱底面半径为，高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为 　  　．

【答案】13

【解答】解：因为圆柱底面圆的周长为2π×＝12，高为5，

所以将侧面展开为一长为12，宽为5的矩形，

根据勾股定理，对角线长为＝13．

故蚂蚁爬行的最短距离为13．

11．一个长方体盒子，它的长是12dm，宽是4dm，高是3dm，

（1）请问：长为12.5dm的铁棒能放进去吗？

（1）如果有﹣只蚂蚁要想从D处爬到C处，求爬行的最短路程．

【解答】解：（1）如图1，连接BD，

∵AD＝12，AB＝4，

∴BD2＝AD2+AB2＝122+42＝160，

∴CD＝＝＝13（dm）．

∵13dm＞12.5dm，

∴长为12.5dm的铁棒能放进去；

（2）如图2所示，

CD＝＝dm．

如图3所示，

CD＝＝dm，

如图4所示，

CD＝＝dm，

∵＞＞，

∴爬行的最短路程是dm．