【期末满分攻略】2022-2023学年人教版七年级数学下册讲学案-专题02 平行线模型-“铅笔”模型（原卷版+解析版）

        专题02  平行线模型-“铅笔”模型

上节课利用平行线的性质和判定学习了平行线模型-“猪蹄”模型（M型），相信同学们都掌握了做题方法和技巧，本次课继续学习平行线模型-“铅笔”模型。

【模型刨析】

结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；

结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.

【典例分析】

【典例1】（2020春•上虞区期末）问题情境：如图1，已知AB∥CD，∠APC＝108°．求∠PAB+∠PCD的度数．

经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得∠PAB+∠PCD＝　  　．

问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．

（1）当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．

（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．

问题拓展：如图4，MA1∥NAn，A1﹣B1﹣A2﹣…﹣Bn﹣1﹣An是一条折线段．依据此图信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为　     　．

【变式1-1】（2020春•太原期中）问题情境

（1）如图①，已知∠B+∠E+∠D＝360°，试探究直线AB与CD有怎样的位置关系？并说明理由．

小明给出下面正确的解法：

直线AB与CD的位置关系是AB∥CD．

理由如下：

过点E作EF∥AB（如图②所示），

所以∠B+∠BEF＝180°（依据1），

因为∠B+∠BED+∠D＝360°（已知），

所以∠B+∠BEF+∠FED+∠D＝360°，

所以∠FED+∠D＝180°，

所以EF∥CD（依据2），

因为EF∥AB，

所以AB∥CD（依据3）．

交流反思

上述解答过程中的“依据1”，“依据2”，“依据3”分别指什么？

“依据1”：　            　，

“依据2”：　                      　，

“依据3”：　                    　，

类比探究

（2）如图，当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件　        　时，有AB∥CD．

拓展延伸

（3）如图，当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件　         　时，有AB∥CD．

【变式1-2】（2022春•普兰店区期中）直线AB∥CD，点E在AB和CD之间任一点，射线EF经过点B．

（1）如图1，若DE∥AC，∠CAB＝130°，∠ABF＝80°，求∠DEB的度数；

（2）如图2，若∠CAB＝a，∠CDE＝2∠ACD，若∠BED＝140°，求∠ABE的度数（用含α式子表示）．

（3）如图3，若∠ABE的角平分线与∠CDE的角平分线交于点Q，试找出∠E和∠Q的数量关系并说明理由．

【变式1-3】（2022春•随州期末）已知AB∥CD，点M在射线AB，CD之间．

（1）如图1，若∠BAM＝150°，∠AMC＝90°，小聪同学过点M作MH∥AB，利用平行线的性质，求得∠MCD＝　   　度；

（2）如图2，请写出你发现的∠BAM，∠AMC，∠MCD之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图3，MN平分∠AMC交AB于点N，CE平分∠MCD交AB于点E，MF∥CE交AB于点F，试猜想∠FMN与∠BAM的数量关系，并说明理由．

【夯实基础】

1．（2022•博山区一模）如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（　　）

A．360° B．300° C．270° D．180°

2．（2021春•肇州县期末）如图，AB∥CD，∠C＝110°，∠B＝120°，则∠BEC＝（　　）

A．110° B．120° C．130° D．150°

3．（2020•广元）如图，a∥b，M、N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝（　　）

A．180° B．360° C．270° D．540°

4．（2022春•交口县期末）某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如右图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终等于（　　）度

A．360 B．180 C．250 D．270

5．（2022•恩施州）已知直线l1∥l2，将含30°角的直角三角板按如图所示摆放．若∠1＝120°，则∠2＝（　　）

A．120° B．130° C．140° D．150°

6．（2022春•崇川区校级月考）如图，直线a∥b，∠1＝28°，∠2＝50°，则∠3＝　 　度，∠3+∠4+∠5＝　    度．

7．（2021秋•遂川县期末）如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠2＝36°，则∠1的度数是 　  　．

8．（2022春•蓬莱市期末）如图，直线l1∥l2，∠1＝34°，则∠2与∠3的度数和为 　   　．

9．（2022春•平遥县期中）如图，直线a∥b，∠1＝30°，则∠2+∠3＝　  　．

10．（2022•苏州模拟）如图所示，AB∥CD、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4＝　   　．

11．（2021春•泰山区期末）如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两角，并使∠1＝115°，AB⊥CB于B，那么∠2的度数是 　  　．

12．（2022春•江源区期中）（1）如图，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°，你能求出∠BCD的度数吗？

（2）在AB∥DE的条件下，你能得出∠B、∠BCD、∠D之间的数量关系吗？并说明理由．

【能力提升】

13．（2022春•揭西县月考）观察图形：已知a∥b，在第一个图中，可得 　   　，则按照以上规律，∠1+∠2+∠p1+…+∠pn＝　    　度．

14．（2022春•青秀区校级期中）已知AB∥CD，点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（　　）

①∠ABE+∠CDE+∠E＝360°；

②若∠E＝80°，则∠BFD＝140°；

③如图（2）中，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，则6∠BMD+∠E＝360°；

④如图（2）中，若∠E＝m°，∠ABM＝∠CDF，则∠M＝（）°．

A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④

15．（2022春•佛山月考）问题情境：

（1）如图1，AB∥CD，∠BAP＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数．

（提示：如图2，过P作PE∥AB）问题迁移：

（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝α，∠PCB＝β，α、β、∠DPC之间有何数量关系？请说明理由；

（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出α、β、∠DPC之间的数量关系．（提示：三角形内角和为180°）

16．（2022春•甘井子区期末）已知直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，M，并且∠AGE+∠CHF＝180°．

（1）如图1，求证：AB∥CD；

（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；

（3）如图3，在（2）的条件下，若射线GH恰好是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，则∠M、∠N、∠FGN的数量关系是 　      　（直接写答案）．

15．（2022春•宁阳县期末）如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．

（1）如图1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝　   　；

（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；

（3）①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由；

②如图4，若设∠E＝m，∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数．