【期末常考压轴题】湘教版七年级数学下册-专题08 平方差公式和完全平方公式压轴题八种模型 全攻略讲学案

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc16743" 【典型例题】 PAGEREF _Tc16743 \h 1
\l "_Tc14960" 【考点一 运用平方差公式进行计算】 PAGEREF _Tc14960 \h 1
\l "_Tc13593" 【考点二 平方差公式与几何图形】 PAGEREF _Tc13593 \h 2
\l "_Tc14530" 【考点三 运用完全平方公式进行运算】 PAGEREF _Tc14530 \h 5
\l "_Tc9231" 【考点四 求完全平方式中的字母系数】 PAGEREF _Tc9231 \h 6
\l "_Tc19389" 【考点五 整式的混合运算——化简求值】 PAGEREF _Tc19389 \h 7
\l "_Tc29343" 【考点六 通过对完全平方公式变形求值】 PAGEREF _Tc29343 \h 9
\l "_Tc21543" 【考点八 运用完全平方式求代数式的最值问题】 PAGEREF _Tc21543 \h 13
\l "_Tc23861" 【过关检测】 PAGEREF _Tc23861 \h 17
【典型例题】
【考点一 运用平方差公式进行计算】
例题：（2022·安徽·合肥市第四十五中学橡树湾校区七年级期中）下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的有（ ）
（1）（2）（3）（4）
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】根据平方差公式为两数之和与两数之差的积，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：能用平方差公式计算的有；，
则能用平方差公式简便计算的有个．
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·四川乐山·八年级期末）化简：
【答案】
【分析】根据平方差公式求解即可．
【详解】解：
【点睛】此题考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用．
2．（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学七年级阶段练习）先化简，再求值：，其中x＝1，y＝2；
【答案】，-15
【分析】根据平方差公式即可进行化简，再代入x，y求值即可．
【详解】解：原式===，
当时，
原式==．
【点睛】此题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟知平方差公式的运用．
【考点二 平方差公式与几何图形】
例题：（2022·江西·抚州市实验学校七年级阶段练习）乘法公式的探究及应用．
(1)如图1，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，如图2，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式： ；
(2)运用你所得到的乘法公式，计算或化简下列各题：
①102×98，②（2m+n﹣3）（2m﹣n﹣3）．
【答案】(1)（a+b）（a﹣b）＝
(2)①9996②
【分析】（1）根据图1与图2面积相等，则可列出等式即可得出答案；
（2）应用平方差公式进行计算即可．
（1）
解：大的正方形边长为a，面积为，小正方形边长为b，面积为，
∵图1阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积，
∴图1阴影部分面积＝，
图2阴影部分面积＝（a+b）（a﹣b），
∵图1的阴影部分与图2面积相等，
∴（a+b）（a﹣b）＝，
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝；
（2）
①102×98＝（100+2）（100﹣2）＝＝10000﹣4＝9996；
②（2m+n﹣3）（2m﹣n﹣3）
＝[（2m﹣3）+n）][（2m﹣3）﹣n]
＝＝．
【点睛】本题主要考查平方差的几何背景的应用，根据题意运用平方差公式计算是解决本题的关键
【变式训练】
1．（2022·吉林吉林·八年级期末）（1）如图1，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是 ；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个矩形，则它长为 ；宽为 ；面积为 ．
（2）由（1）可以得到一个公式： ．
（3）利用你得到的公式计算：．
【答案】（1），a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；（2）＝（a+b）（a﹣b）；（3）1
【分析】（1）由图形所示，由正方形、长方形的面积公式可得此题结果；
（2）由（1）结果可得等式＝（a+b）（a﹣b）；
（3）由（2）结论＝（a+b）（a﹣b），可得＝1．
【详解】解：（1）由题意得，图形中阴影部分的面积是；图2的长为a+b，宽为a﹣b，其面积（a+b）（a﹣b）；
故答案为：，a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；
（2）由（1）结果可得等式＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：＝（a+b）（a﹣b）；；
（3）由（2）题结果＝（a+b）（a﹣b），
可得
【点睛】此题考查了平方差公式几何背景的应用能力，关键是能用不同整式表示出图形面积，并能运用所得结论进行计算．
2．（2022·陕西渭南·七年级期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
(1)【探究】通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______；（用含a，b的等式表示）
(2)【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知，2m＋n＝4，则2m－n的值为______；
②计算：；
(3)【拓展】计算：．
【答案】(1)
(2)①3；②
(3)5050
【分析】（1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；
（2）①利用平方差公式得出，代入求值即可；②利用平方差公式进行计算；
（3）利用平方差公式将写成（100+99）×（100-99），以此类推，然后化简求值．
（1）
图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积，
所以，得到乘法公式
故答案为
（2）
解：①∵，2m＋n＝4，
∴
故答案为：3
②=
（3）
=（100+99）×（100-99）+（98+97）×（98-97）+…+（4+3）×（4-3）+（2+1）×（2-1）
=199+195+…+7+3
=5050．
【点睛】本题考查平方差公式的应用．熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【考点三 运用完全平方公式进行运算】
例题：（2022·湖南邵阳·七年级期末）计算：
【答案】
【分析】首先根据完全平方公式及单项式乘以多项式法则运算，再去括号，最后合并同类项，即可求得．
【详解】解：
【点睛】本题考查了完全平方公式，单项式乘以多项式法则，解本题的关键在注意去括号时符号的变化．完全平方公式：．
【变式训练】
1．（2022·江苏·南京市第一中学泰山分校七年级阶段练习）先化简，再求值：，其中x=-1，y=2．
【答案】，3．
【分析】根据完全平方公式和平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：，
当x=-1，y=2时，原式．
【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的方法．
2．（2021·湖南·长沙一中岳麓中学八年级阶段练习）整式化简：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)首先根据完全平方公式及平方差公式、单项式乘以多项式法则进行运算，再合并同类项即可求得结果；
(2)首先根据平方差公式及完全平方公式进行计算，再根据完全平方公式及合并同类项法则进行运算，即可求得结果．
（1）
解：
（2）
解：
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
【考点四 求完全平方式中的字母系数】
例题：（2022·广西·桂林市雁山中学七年级期中）若是完全平方式，则k的值为____________．
【答案】±6
【分析】利用完全平方公式的结构特征计算即可．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴k＝±23＝±6，
故答案为：±6．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·浙江·义乌市宾王中学七年级期中）若多项式x2﹣4x+m是一个完全平方式，则m的值为_____．
【答案】4
【分析】先根据乘积二倍项确定出这两个数是x和-2，再根据完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵-4x=2×(-2)x，
∴这两个数是x和-2，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用乘积项来确定这两个数．
2．（2022·山东烟台·八年级期中）关于的二次三项式是完全平方式，则的值是______________．
【答案】2或0##0或2
【分析】利用完全平方公式的结构特征解答即可．
【详解】解： ∵关于的二次三项式是一个完全平方式，
∴
∴，
∴或，
故答案为：2或0．
【点睛】本题考查了完全平方式的知识，属于常考题型，熟知完全平方式的结构特征，是解题关键．
【考点五 整式的混合运算——化简求值】
例题：（2022·辽宁·阜新市第一中学七年级期中）先化简，再求值．其中x＝2，y＝-1．
【答案】x，2
【分析】先根据乘法公式，单项式除以多项式计算中括号内的整式运算，然后根据单项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当x＝2，y＝﹣1时，原式＝2．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟知乘法公式，多项式除以单项式，单项式乘以多项式的计算法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·广东·深圳大学附属教育集团外国语中学七年级期中）先化简再求值：，其中a＝﹣，b＝﹣2．
【答案】，-3
【分析】先计算括号内的乘法，再去括号，然后计算除法，再把a＝﹣，b＝﹣2代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：



当a＝﹣，b＝﹣2时，
原式
【点睛】本题主要考查了整式加减中的化简求值，熟练掌握整式加减混合运算法则是解题的关键．
2．（2022·黑龙江大庆·七年级期末）先化简，再求值：
(1)，其中，；
(2)，其中，．
【答案】(1)原式，当，时，原式
(2)原式2ab，当a= ，b= -1时，原式1
【分析】（1）先算括号内的乘法，合并同类项，算除法，最后代入求出即可．
（2）首先利用多项式除以单项式的运算法则以及平方差公式对原式进行化简，然后去括号得到最简式，再将，代入最简式计算即可求解．
（1）
=
=
=．
当，时，
原式．
（2）

=
=．
当，时，
原式1．
【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，多项式除以单项式以及平方差公式，正确根据运算法则进行化简是解题的关键．
【考点六 通过对完全平方公式变形求值】
例题：（2021·湖南·衡阳市第十七中学八年级期中）已知a﹣b＝5，ab＝3，求代数式的值．
【答案】37
【分析】利用完全平方公式的变形求解即可．
【详解】解：∵a﹣b＝5，ab＝3，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东·万杰朝阳学校七年级阶段练习）已知a+b=5，ab=4，
(1)求a²+b²的值
(2)求（a-b）²的值
【答案】(1)17
(2)9
【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
（1）
解：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）
∵，，
∴．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键．
2．（2021·黑龙江·大庆市大同区同祥学校七年级期中）阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．
已知a+b＝6，ab＝2，请你根据上述解题思路求下列各式的值．
(1)a2+b2；
(2)a2﹣ab+b2．
【答案】(1)32
(2)30
【分析】（1）结合题意，，代入即可得出答案；
（2）由（1）可知，，ab＝2，代入即可得出答案．
（1）
解：∵a+b＝6，ab＝2，
∴；
（2）
解：由（1）可知，，ab＝2，
∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，结合条件对完全平方公式变形是本题的关键．
【考点七 完全平方公式在几何中的应用】
例题：（2021·宁夏·永宁县回民高级中学七年级期中）如图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪力均分成园块小长方形，然后接图b的形状拼成一个正方形．
(1)图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
(2)求出图b中阴影部分的面积_______．
(3)观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：，，．
(4)根据（3）图中的等量关系，解决如下问题：若，，则_______．
【答案】(1)m-n
(2)或
(3)
(4)29
【分析】（1）根据题意可得图b中的阴影部分的正方形的边长等于长为m，宽为n的长方形的长宽之差，即可求解；
（2）根据图b中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积或图b中的阴影部分的正方形的边长等于m-n，即可求解；
（3）由（2）写出等量关系，即可求解；
（4）根据（3）中的结论可得，再把，代入，即可求解．
（1）
解：（1）图b中的阴影部分的正方形的边长等于长为m，宽为n的长方形的长宽之差，即m-n；
（2）
解：图b中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，即；
图b中的阴影部分的正方形的边长等于m-n，所有其面积为；
故答案为：或
（3）
解：由（2）得：；
（4）
解：由（3）得：
当a+b=7，ab=5时，
，
故答案为：29
【点睛】本题考查了完全平方公式与图形之间的关系，从几何的图形来解释完全平方公式的意义，解此类题目的关键是正确的分析图形，找到组成图形的各个部分，并用面积的两种求法作为相等关系列式子．
【变式训练】
1．（2022·河南·郑州外国语学校经开校区七年级阶段练习）一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
(1)自主探究：如果用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是_____．
(2)知识运用：若x﹣y=5，xy=6，则=_____．
(3)知识迁移：设A=，B=x+2y﹣3，化简的结果．
(4)知识延伸：若，代数式（2021﹣m）（m﹣2022）=_____．
【答案】(1)
(2)49
(3)
(4)－4
【分析】（1）阴影部分是边长为的正方形，根据正方形的面积公式可得面积为，阴影部分也可以看作边长为的大正方形面积减去4个长为，宽为的长方形的面积，即为，于是可得等式；
（2）由（1）得，代入计算即可；
（3）化简结果为，再代入计算即可；
（4）设，，则，，由可求出的值，即可得出答案．
（1）
解：图2中的阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，
图2的阴影部分也可以看作边长为的大正方形面积减去4个长为，宽为的长方形的面积，即为，
所以有：，
故答案为：；
（2）
由（1）得，
当，，
则，
故答案为：49；
（3）
，，
原式
；
（4）
设，，
则，，
，
，
，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘以多项式，掌握完全平方公式的结构特征以及公式变形是解决问题的前提．
【考点八 运用完全平方式求代数式的最值问题】
例题：（2022·河北承德·八年级期末）阅读下面的材料并解答后面的问题：
在学了整式的乘法公式后，小明问：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小丽：能．求解过程如下：因为，因为，所以，即的最小值是3．
问题：
(1)小丽的求解过程正确吗？
(2)你能否求出的最小值？如果能，写出你的求解过程；
(3)求的最大值．
【答案】(1)小丽的求解过程正确；
(2)的最小值为，过程见解析
(3)的最大值为
【分析】（1）将式子的一部分利用完全平方公式，写成平方加上一个数的形式，根据平方的非负性即可求解；
（2）根据（1）的方法即可求解；
（3）根据（1）的方法即可求解．
（1）
小丽的求解过程正确；
（2）
我能出的最小值为，
，
，
的最小值为；
（3）
解：∵
，
∴的最大值为7．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，平方的非负性，掌握完全平方公式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·陕西省西咸新区秦汉中学七年级阶段练习）我们知道，所以代数式的最小值为学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如，求的最小值问题．
解：，
又，，的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究：____________；
(2)求的最小值．
(3)比较代数式：与的大小．
【答案】(1)-2；1
(2)-2
(3)
【分析】（1）根据完全平方式的特征求解．
（2）利用完全平方公式变形，再求最值．
（3）作差后利用完全平方公式变形，再比较大小．
（1）
解：﹣4x+5＝﹣4x+4+1＝．
故答案为：﹣2，1．
（2）
2+4x＝2（+2x+1﹣1）＝，
∵≥0，
∴≥﹣2，
∴当x+1＝0即x＝﹣1时，原式有最小值＝0﹣2＝﹣2．
即的最小值是﹣2．
（3）
－＝﹣2x+1+1＝，
∵≥0，
∴+1＞0，
∴＞2x﹣3．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，正确变形，充分利用平方的非负性是求解本题的关键．
2．（2022·江苏·靖江市实验学校七年级期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
(1)知识再现：当x＝____时，代数式的最小值是_____；
(2)知识运用：若，当x＝____时，y有最____值（填“大”或“小”），这个值是____；
(3)知识拓展：若，求y+2x的最小值．
【答案】(1)－3，－21；
(2)3，大，6；
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性可得答案；
（2）利用完全平方公式对变形，然后根据可得答案；
（3）移项可得，利用完全平方公式对变形，然后根据偶次方的非负性可得答案．
（1）
解：，
∵，
∴时，代数式的值最小，最小值为－21，
即当x＝－3时，代数式可取最小值－21，
故答案为：－3，－21；
（2）
，
∵，
∴当时，代数式的值最大，最大值为6，
即当x＝3时，y有最大值6．
故答案为：3，大，6；
（3）
∵，
∴，
∵，，
∴当时，的值最小，最小值为，
即当x＝时，y+2x的最小值为．
【点睛】本题考查了偶次方的非负性，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式进行变形是解答本题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023秋·山西大同·八年级统考期末）在等式中，括号里应填的多项式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平方差公式的逆运用分析求解即可．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的知识，熟记平方差公式的结构是解题关键．
2．（2022秋·天津东丽·八年级统考期末）下列多项式是完全平方式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据完全平方式的特点逐个判断即可．
【详解】A．不是完全平方式；
B．不是完全平方式；
C．不是完全平方式；
D．是完全平方式；
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，完全平方式有和两个．
3．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）已知，则的值为（ ）
A．10B．17C．26D．33
【答案】B
【分析】根据完全平方公式变形计算即可．
【详解】∵，，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了完全平方公式变形计算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
4．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）若是完全平方式，则n的值为（ ）
A．6B．或6C．1D．
【答案】B
【分析】由完全平方式的特点可得或 再解方程即可．
【详解】解： 是完全平方式，
∴或
解得：或，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查的是完全平方式的特点，掌握“利用完全平方式的特点建立方程求解”是解本题的关键．
5．（2023秋·重庆涪陵·八年级统考期末）某校数学兴趣小组设置了一个数字游戏：第一步：取一个自然数，计算得到；第二步：算出的各位数字之和得到，计算得到；第三步：算出的各位数字之和得到，再计算得到；…；依此类推，则的值是（ ）
A．63B．80C．99D．120
【答案】A
【分析】先根据题意分别求出，，，，，可得出从第3个数开始，每2个数一循环，进而求解即可．
【详解】解：根据题意，，
，，
，，，，，，，
∴从第三个数开始，每2个数一循环，
∵，
∴是第个循环的第1个数，
∴的值为63，
故选：A．
【点睛】本题考查数字类规律探究、平方差公式，理解题意，观察出数字变化规律是解答的关键．
二、填空题
6．（2023春·七年级课时练习）计算：＝_____．
【答案】
【分析】先将括号内的式子分成两组，再利用完全平方公式求解．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式，解题关键是先将括号内的式子分成两组，再利用完全平方公式求解，要求学生牢记公式．
7．（2023秋·广东湛江·八年级统考期末）若是完全平方式，则______.
【答案】
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出a的值．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
8．（2023秋·江西宜春·八年级统考期末）已知，则_________．
【答案】
【分析】根据完全平方公式结合已知条件得出，将代数式因式分解进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，因式分解的应用，掌握以上知识是解题的关键．
9．（2021秋·河南周口·八年级统考期末）已知是一个完全平方式，则______．
【答案】或21##21或
【分析】根据完全平方公式，即可求解．
【详解】解：∵是一个完全平方式，，
∴，
解得：或21．
故答案为：或21
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
10．（2022秋·广西南宁·九年级三美学校校考开学考试）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是_____．
【答案】
【分析】根据是关于的一元一次方程的解，可得：，直接代入所求式即可解答．
【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解，
∴，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元一次方程的解和代数式求值，运用了整体代入的方法．解题的关键是根据解的定义得出、之间的关系式．
三、解答题
11．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】根据完全平方公式，多项式乘以单项式的运算法则进行化简，再将，代入求值即可．
【详解】解：
，
当，时，原式．
【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，完全平方公式，多项式乘以单项式，正确化简是解题的关键．
12．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】利用平方差公式和完全平方公式，进行化简，再代入求值，即可求解．
【详解】解∶原式

．
当时
原式．
．
【点睛】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握完全平方公式和平方差公式，是解题的关键．
13．（2023秋·山东临沂·八年级统考期末）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用多项式乘多项式、平方差公式去括号，再合并同类项即可求解；
（2）利用平方差公式计算，即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握乘法公式是解题的关键．
14．（2023春·七年级单元测试）先化简后求值：
(1)，其中
(2)，其中，．
【答案】(1)；
(2)，12
【分析】（1）按照平方差公式，完全平方公式，多项式乘以多项式展开，再合并同类项得到最简代数式，再代入取值求出代数式的值．
（2）利用完全平方公式和平方差公式进行化简，再按照多项式除以单项式的运算法则进行计算，最后代入求值即可．
【详解】（1）
将代入得：
（2）
将，代入得：
【点睛】本题主要考查整式化简求值，掌握完全平方公式和平方差公式以及整式的混合运算法则是解题的关键．
15．（2023秋·湖南长沙·八年级校联考期末）（1）已知，求代数式的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1），2；（2）7
【分析】（1）先用平方差公式将原式进行化简，再将代入进行计算即可；
（2）根据完全平方公式的变形进行计算即可得到答案．
【详解】解：（1）
，
当时， 原式；
（2），
．
【点睛】本题考查了求代数式的值，运用平方差公式、完全平方公式的变形进行计算，熟练掌握平方差公式以及完全平方公式的变形是解题的关键．
16．（2023秋·河北沧州·八年级统考期末）阅读下面材料并解答后面的问题：
在学了整式的乘法公式后，
小明问：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？
小丽：能．求解过程如下：
∵，且，
∴，即的最小值是3．
问题：
(1)小丽的求解过程正确吗？
(2)你能否求出的最小值？如果能，写出你的求解过程；
(3)若，则有最________值（填大或小），请直接写出这个最值是_______．
【答案】(1)正确
(2)能，的最小值是，过程见解析
(3)大，7
【分析】（1）小丽的求解过程正确；
（2）参照小丽的求解过程，构造完全平方公式进行求解即可；
（3）参照小丽的求解过程，求出的最值，即可得解．
【详解】（1）解：小丽的求解过程正确；
（2）解：能；
；
∵
∴
即的最小值是．
（3）解：
；
∵，
∴，
∴；
∴有最大值：；
故答案为：大，．
【点睛】本题考查利用完全平方公式求多项式的最值．理解并掌握题干中的解题方法，构造完全平方公式，进行求值，是解题的关键．
17．（2023春·七年级课时练习）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是 ．（请选择正确的选项）
A、
B、
C、
(2)用你选的等式进行简便计算：；
(3)用你选的等式进行简便计算：．
【答案】(1)A
(2)8
(3)146927
【分析】（1）根据图1中去掉边长为b的正方形后的图形面积与图2中的图形面积相等列出式子即可得到答案；
（2）根据（1）的结论进行求解即可；
（3）先推出，则可以得到所求式子，在推出，进而推出所求式子据此求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：图1中去掉边长为b的正方形后的图形面积为：，
图2中图形面积为，
∵图1中去掉边长为b的正方形后的图形面积与图2中的图形面积相等，
∴，
故选A；
（2）解：
；
（3）解：∵，
，
，
∴，
∴
，
∵，，，
∴，
∴，
，
∴
，
∴原式=146927．
【点睛】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，应用平方差公式进行简便计算，数字类的规律探索，正确理解题意掌握平方差公式是解题的关键．
18．（2023秋·河北石家庄·七年级统考期末）如图，图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线（对称轴）剪开，用得到的四个全等的小长方形，拼成如图2所示的大正方形（无重叠无缝隙），设图2中小正方形（阴影部分）面积为．
(1)用两种不同方法求；（用含、的式子表示）
(2)请直接写出、、这三个代数式之间的数量关系；
(3)利用（2）中结论，完成下列计算：
①若，，求的值；
②已知，，求的值．
【答案】(1)方法①：；方法②：；
(2)；
(3)①；②．
【分析】(1)根据长方形正方形面积的公式即可求出结果；
(2)根据完全平方和、完全平方差公式记得结论；
(3)根据完全平方和、完全平方差公式之间的关系即可求出结果．
【详解】（1）解： ①∵大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为：，
∵组成大正方形的四个长方形的长宽是，
∴四个长方形的面积：；
∴阴影部分的面积为：，
②∵阴影部分的边长为：，
∴阴影部分的面积为：．
（2）解：∵，，
∴，
∴．
（3）解：①∵，，
∴，
∴．
②∵，，
∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何意义和代数意义，理解完全平方公式是解题的关键．