湖南省常德市第一中学2022届高三考前二模数学试题及答案

常德市一中 2022 届高三考前二模

数  学 (试题卷)

（满分 150 分，  时量 120 分钟）

注意事项：

1．  所有试题的答案请在答题卡的指定区域内作答．

2．  考试结束后，  只交答题卡．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合 A = {x|x2- x-6 ≤ 0} ， B = {x| 1≤ x < 5 }，则 A∩B =

A．{x|﹣2＜x＜3}         B．{x|1≤x<3}             C．{x|1≤x≤3}             D．{x|﹣2≤x≤3}

2.已知复数z＝，i为虚数单位，则z的共轭复数为

A．         B．             C．             D．

3.

A．                 B．               C．                      D．

4.已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn  ，则“ d < 0 ”是“ S8+ S10 < 2S9 ”的

A．充分不必要条件                                  B．充要条件

C．必要不充分条件                                  D．既不充分也不必要条件

5.函数的图象大致为

A．     B．        C．         D．

6.已知双曲线的离心率e是它的一条渐近线斜率的2倍，则e=

A．             B．                  C．                     D．2

7.已知圆 C :(x 一 4) 2 + (y + 3) 2  = 4和两点A(一a, 0)、B(a, 0)(a >0) ，若圆C上存在点P，使得∠APB = 90º，则a的最小值为

A．6                 B．5                     C．4                         D．3

8.已知实数 a，b ∈(1，+∞)，且 2(a + b) = e2a +2ln b +1 自然对数的底数，则

A．1 < b < a          B．a < b < 2a            C．2a < b < ea                D．e a< b < e2a

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得 5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.一个质地均匀的正四面体4个表面上分别有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件M为“第一次向

下的数字为1或 2 ”，事件N为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是

A．事件M与事件N互斥                           B．事件M发生的概率为

C．事件M与事件N相互独立                      D．事件M+N发生的概率为1

10.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是

A ．

B．函数f (x ) 的图象关于直线 对称

C．函数f (x ) 在上单调递增

D．函数f (x ) 的图象关于点中心对称

11.已知点 A(x1 , y1 )，B (x2 , y2 )是抛物线y2 = 8x上过焦点的两个不同的点，O为坐标原点，焦点为F，则

A．焦点F的坐标为(4, 0)                         B．|AB = x1 + x2 + 4

C． y1y2 = -8                                D．

12.已知函数 f(x) = 2x - cos x 的零点为x0，则

A．              B．            C．              D．

三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。  

13.已知向量, 满足： =， ( + 2)⊥，则 . =               

14.将 6 个相同的小球放入 4 个编号为 1，2，3，4 的盒子中，恰有 1 个空盒子，则放法有    种。 15.四棱锥 P- ABCD 各顶点都在球心O为的球面上，且PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PA = AD = 2, AB =2，设M，N分别是PD，CD的中点，则平面AMN截球O所得截面的面积为         。

16.设 a，b 为实数，函数 f(x) = ax + b满足：对任意的，有，则的最大值为______。

四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17． (本小题满分 10 分)

在 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c 满足bcos C + c cos B = 2a cos C，c = 3。

( Ⅰ ) 求角 C 的大小；

( Ⅱ ) 若a -b =，求△ABC的面积.

18． (本小题满分 12 分)

已知数列{an}满足a1 = 3 ， an-an-1= 2n-1。

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ) 令bn= ，设数列{bn}的前n 项和为Sn ，证明：。

19． (本小题满分 12 分)

如图 1，在矩形 ABCD中，点 E在边CD上，BC = DE =2EC ，将△DAE沿AE进行翻折，翻折后D点到达P点位置，且满足平面PAE⊥平面ABCE，如图 2．

(Ⅰ)若点F在棱PA上，且EF∥平面PBC ，求；

(Ⅱ)求二面角的正弦值。

20．(本小题满分 12 分)

 已知离心率为的椭圆的下顶点为的下顶点为 A(0，2)，过点B(0，3)作斜率存在的直线交椭圆C于P，Q两点，连AP，AQ分别与x轴交于点M，N，记点M，N的横坐标分别为xM，xN。

(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；

(Ⅱ) 试判断 xM xN  是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由。

21． (本小题满分 12 分)

新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是50岁以上人群该病毒进入人体后有潜伏期潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间潜伏期越长，感染到他人的可能性越高．现对400个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计发现潜伏期平均数为7.2，方差为2.252．如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：

（1）是否有95%的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；

（2）假设潜伏期服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差。

（i）现在很多省市对入境旅客一律要求隔离14天，请用概率的知识解释其合理性；

（ii）以题目中的样本频率估计概率，设1000个病例中恰有个属于“长期潜伏”的概率是，当为何值时，取得最大值．

附：

若，则，。

22． (本小题满分 12 分)

已知函数 ( a = R ，e为自然对数的底数)．

(Ⅰ) 讨论函数f (x ) 的单调性；

(Ⅱ ) 当时，求证：。

常德市一中 2022 届高三考前二模数学参考答案

1.C  2.B  3.A  4.B  5.A  6.A  7.C  8.D  9.BC  10.AC  11.BD  12. ABD

13.   14. 40  15.  16.

7.解：由得点P在圆上，所以，点P在圆上，又在圆C上，所以，两圆有交点，因为圆的圆心为原点O，半径为a，圆C的圆心为(4,-3)，半径为1。所以，，即所以，a的最小值为4.

故选：D

8.因为，所以，函数在上单调递增，且，因为所以，所以，即，

又，所以，所以，即，综上，.故选：D

9.由题意可得，故B正确；当两次抛掷的点数为时，事件与事件同时发生，所以事件与事件不互斥，故A错误；事件与事件同时发生的情况有共4种，所以，又，所以，故事件M与事件N相互独立，故C正确；，故D错误。故选：BC.

10.由题图知：，的最小正周期，故，

又的过，则，即，又，故， A正确；综上，，所以，故为对称中心，D错误；，故为对称轴，C错误；

令，得单调递增区间为，

因为，C正确.故选：AC。

12.对AB，由题，故为增函数.又，，故，故AB正确；

对C，因为，所以，但，故C错误；

对D，构造函数，则，故为增函数.故，因为，故，故，即，故，故，D正确；故选：ABD

14.第一步选空盒子，第二步6个球放入3个盒子，按球的个数分成三种情况：（1，2，3），（2，2，2），（1，1，3）进行放置，方法数为：．故答案为：40．

15.由题设知球心O为PC中点，故球O的直径，

故，设球心到平面AEF的距离为d，截面圆的半径为r，由题设球心O到平面AEF的距离等于点B到平面AEF的距离，在三棱锥中，由等体积法得，

∴，故截面面积为．故答案为：

16.易知，则

.当，即时，取最大值.

17.解：（1）由正弦定理可知，sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosC，

∴sin（B＋C）=sinA=2sinAcosC

又∵sinA≠0  ∴cosC=

又∵C∈（0，π），∴C=

（2）由余弦定理得c2=b2＋a2-2bacosC=(a-b)2+2ab-2abcosC

 ∴9=3+2ab×，∴ab=6，∴

18.(1)an=2n+1   (2)略。

19.解：（1）如图，在PB上取点G，使得FG∥AB，连接FG，GC，则FG∥AB∥CE．因为EF∥平面PBC，平面EFGC∩平面PBC=CG，所以EF∥CG，所以四边形EFGC是平行四边形，所以FG=EC。又因AB=DE+EC=3EC，所以。

（2）在平面ABC内，过E作EH⊥AB，垂足为H．以E为坐标原点，EH，EC所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，如图所示。

设EC=1，则E(0,0,0)，C(0,1,0)，P(1,-1,)，B(2,1,0)，所以，，．设平面PCE的法向量为，则，即

   ，令，则．

设平面PBC的法向量为，则，即，

令，则。所以，

设二面角的大小为，所以。

20.解：(1)由条件可知，解得，

所以椭圆C的标准方程为

(2)由条件设直线PQ的方程为，联立得，则，解得。

根据韦达定理得

根据题意，直线，令y=0，得，同理。于是

所以是定值，该定值为。

21.解：（1）依题意有，由于9.467>3.841，故有95%的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；

（2）(ⅰ)若潜伏期，由，得知潜伏期超过天的概率很低，因此隔离天是合理的；

(ⅱ)由于个病例中有个属于长潜伏期，若以样本频率估计概率，一个患者属于“长潜伏期”的概率是，于是，

则，

当时，；

当时，；∴ 。

故当k=250时，p(k)取得最大值。

22.解：（1）

（ⅰ）当时，，所以，，

则在上单调递增，在上单调递减；

（ⅱ）当时，令，得，

①时，，所以或，，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；

②时，，则在上单调递增；

③时，，所以或，，

则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

综上，时，在上单调递增，在上单调递减；

时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；

时，在上单调递增；

时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

（2）方法一：

等价于

当时，

令

令，则在区间上单调递增  

∵，∴存在，使得，即当时，，则在上单调递减，

当时，，则在上单调递增∴

∴，故

方法二：当时，

令，则，

令，则

当时，；当时，

∴在区间上单调递减，上单调递增．

∴，即

∴，