新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案25第四章三角函数解三角形第三讲第二课时三角函数式的化简与求值

这是一份新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案25第四章三角函数解三角形第三讲第二课时三角函数式的化简与求值，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
练案[25]　第二课时　三角函数式的化简与求值A组基础巩固一、单选题1．(2022·安庆模拟)已知θ∈，tan θ＝，则cos 2θ等于( C )A．－  B． C．－  D．[解析]　cos 2θ＝cos2 θ－sin2 θ＝＝＝－.2．(2023·威海模拟)tan 67.5°－的值为( C )A．1  B． C．2  D．4[解析]　tan 67.5°－＝－＝－＝＝＝2.3．(2022·重庆北碚区一诊)若cos α＝－，α是第三象限角，则＝( A )A．－  B． C．2  D．－2[解析]　＝＝＝＝＝＝－.故选A.4．tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝( B )A．－  B． C．  D．3[解析]　因为tan 60°＝，所以tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＝－tan 20°tan 40°，所以tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝，故选B.5．(2022·南京联考)已知0<α<<β<π，且tan α＝，tan β＝－，则α＋β＝( B )A.  B． C．  D．[解析]　由题意可知，tan(α＋β)＝＝－1，因为0<α<<β<π，所以<α＋β<，所以α＋β＝.故选B.6．(2023·山东青岛调研)已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为( A )A．－  B． C．  D．－[解析]　∵α∈，sin α＝，∴cos α＝－，tan α＝－，又tan(π－β)＝，∴tan β＝－，∴tan(α－β)＝＝＝－.7．(2022·广东佛山一中月考)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为( B )A.  B．C．－  D．－[解析]　因为α为锐角，且cos＝，所以sin＝＝，所以sin＝2sincos＝2××＝，故选B.8．(2022·河南郑州一中月考)若＝4，则tan＝( C )A.  B． C．  D．[解析]　∵＝＝＝4，∴tan＝＝.故选C.二、多选题9．当tan 有意义时，下列等式成立的是( ABC )A．tan ＝  B．tan ＝C．sin α＝  D．cos α＝[解析]　tan ＝＝＝，A成立；tan ＝＝＝，B成立；sin α＝＝，C成立；cos α＝＝，D不成立．10．已知sin α＝－，180°<α<270°，则下列选项正确的是( BCD )A．sin 2α＝－  B．sin ＝C．cos ＝－  D．tan ＝－2[解析]　∵180°<α<270°，∴cos α＝－，∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，故A错误．∵90°<<135°，∴sin＝＝＝；cos＝－＝＝－；tan ＝＝－2，故B、C、D均正确． 11．(多选题)(2023·湖北八校第一次联考改编)已知3π≤θ≤4π，且＋＝，则θ＝( CD )A.π  B．π C．  D．π[解析]　∵3π≤θ≤4π，∴≤≤2π，∴cos>0，sin <0，则＋＝＋＝cos －sin＝cos＝，∴cos＝，∴＋＝＋2kπ或＋＝－＋2kπ，k∈Z，即θ＝－＋4kπ或θ＝－＋4kπ，k∈Z.∵3π≤θ≤4π.∴θ＝或，故选C、D.三、填空题12.＝ 2－　.[解析]　原式＝＝＝tan 15°＝tan(45°－30°)＝＝＝＝2－.13．已知sin 2α＝则cos2＝ 　.[解析]　cos2＝＝＝＝.14．(2022·云南一测)已知α，β都为锐角，若tan β＝，cos(α＋β)＝0，则cos 2α的值是 　.[解析]　由已知α、β都为锐角且cos(α＋β)＝0得β＋α＝，β＝－αtan β＝tan＝＝＝＝∵tan α＝∴cos 2α＝＝＝＝.15．(2023·山东烟台模拟)已知θ∈，且sin＝，则tan θ＝ 　，tan 2θ＝ －　.[解析]　解法一：由sin＝，得sin θ－cos θ＝，可得2sin θcos θ＝，又θ∈，可求得sin θ＋cos θ＝，∴sin θ＝，cos θ＝，∴tan θ＝，tan 2θ＝＝－.解法二：∵θ∈且sin＝，∴cos＝，∴tan＝＝，解得tan θ＝.故tan 2θ＝＝－.四、解答题16．(2022·江西临川一中月考)已知0<x<，sin＝，求的值．[解析]　解法一：(先化简后求值)：原式＝＝(cos x＋sin x)＝2cos.因为0<x<，所以0<－x<，则原式＝2＝.解法二：(先局部后整体)：cos＝cos ＝sin＝.下面从两个角度求cos 2x.角度1：cos 2x＝sin＝sin ＝2sincos；角度2：cos 2x＝cos2x－sin2x＝(cos x－sin x)·(cos x＋sin x)＝sin·cos＝2sin·cos.　因为0<x<，所以0<－x<，则cos＝＝，故cos 2x＝2××＝.所以＝.17．(2022·昆明一模)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β )＝.(1)求证：sin αcos β＝5cos αsin β；(2)若已知0<α＋β<，0<α－β<，求cos 2α的值．[解析]　(1)证明：∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，∴2sin αcos β＋2cos αsin β＝1，①3sin αcos β－3cos αsin β＝1，②②－①得sin αcos β－5cos αsin β＝0，则sin αcos β＝5cos αsin β.(2)∵sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，0<α＋β<，0<α－β<，∴cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)·cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝×－×＝.B组能力提升1．(2022·邢台一中月考)已知tan＝，则cos2＝( B )A.  B．C.  D．[解析]　∵tan＝，∴＝，∴tan α＝－，∴cos2＝＝＝＝＝.2．(2023·昆明一中模拟)已知m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则等于( B )A．－  B．－ C．  D．[解析]　因为m＝2sin 18°，m2＋n＝4，所以n＝4－m2＝4－4sin2 18°＝4cos2 18°，因此＝＝＝＝－.3．(多选题)已知≤α≤π，π≤β≤，sin 2α＝，cos(α＋β)＝－，则( BC )A．cos α＝－  B．sin α－cos α＝C．β－α＝  D．cos αcos β＝－[解析]　因为≤α≤π，所以≤2α≤2π，又sin 2α＝>0，故有≤2α≤π，≤α≤，解出cos 2α＝－＝2cos2 α－1⇒cos2 α＝⇒cos α＝，故A错误；(sin α－cos α)2＝1－sin 2α＝，又≤α≤，所以sin α≥cos α，所以sin α－cos α＝，故B正确；因为≤α≤，π≤β≤，所以≤α＋β≤2π，又cos(α＋β)＝－<0，所以≤α＋β≤，解得sin(α＋β )＝－，所以cos(β－α)＝cos[(α＋β)－2α]＝－×＋×＝－，又因为≤α＋β≤，－π≤－2α≤－，所以≤β－α≤π，有β－α＝，故C正确；由cos(α＋β)＝－⇒cos αcos β－sin αsin β＝－，又cos(β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－，两式联立得cos αcos β＝－，故D错误．故选B、C.4．(2022·长沙模拟)化简：＝_4sin_α__.[解析]　＝＝＝4sin α.5．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈，则α＋β＝ －　.[解析]　由已知，得tan α＋tan β＝－3a，tan αtan β＝3a＋1，∴tan(α＋β)＝1.∵α，β∈，tan α＋tan β＝－3a<0，tan αtan β＝3a＋1>0，∴tan α<0，tan β<0，∴α，β∈，∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－.6．(2023·江西吉安白鹭洲中学联考)已知0<α<<β<π，cos＝，sin(α＋β)＝.(1)求sin 2β的值；(2)求cos的值．[解析]　(1)解法一：∵cos＝cos cos β＋sin ·sin β＝(sin β＋cos β)＝，∴cos β＋sin β＝，∴1＋sin 2β＝，∴sin 2β＝－.解法二：sin 2β＝cos＝2cos2－1＝－.(2)∵0<α<<β<π，∴<β－<，<α＋β<，∴sin>0，cos(α＋β)<0.∵cos＝，sin(α＋β)＝，∴sin＝，cos(α＋β)＝－.∴cos＝cos ＝cos(α＋β)·cos＋sin(α＋β)sin＝－×＋×＝.