新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案9第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第三讲函数的奇偶性与周期性

这是一份新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案9第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第三讲函数的奇偶性与周期性，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
练案[9]  第三讲　函数的奇偶性与周期性A组基础巩固一、单选题1．函数f(x)＝－x的图象关于( C )A．y轴对称  B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称  D．直线y＝x对称[解析]　∵f(－x)＝－＋x＝－＝－f(x)，且定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴f(x)为奇函数．∴f(x)的图象关于坐标原点对称．2．(2023·西藏山南二高模拟)下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( D )A．y＝2x  B．y＝C．y＝|x|  D．y＝－x2＋1[解析]　A选项，根据y＝2x的图象知该函数非奇非偶，可知A错误；B选项，由y＝的定义域为[0，＋∞)，知该函数非奇非偶，可知B错误；C选项，当x∈(0，＋∞)时，y＝|x|＝x为增函数，不符合题意，可知C错误；D选项；由－(－x)2＋1＝－x2＋1，可知该函数为偶函数，根据其图象可看出该函数在(0，＋∞)上单调递减，可知D正确．故选D.3．(2023·绵阳市月考)已知函数f(x)＝x3＋sin x＋2，若f(m)＝3，则f(－m)＝( B )A．2  B．1C．0  D．－1[解析]　解法一：由题意知，f(m)＝m3＋sin m＋2，f(－m)＝－m3－sin m＋2，两式相加得，f(m)＋f(－m)＝4，所以f(－m)＝4－f(m)＝4－3＝1.故选B.解法二：由y＝x3＋sin x是奇函数，得f(m)＋f(－m)＝4，所以f(－m)＝1.4．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝( D )A．ex－e－x  B．(ex＋e－x)C.(e－x－ex)  D．(ex－e－x)[解析]　因为f(x)＋g(x)＝ex，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x，所以g(x)＝(ex－e－x)．故选D.5．若函数f(x)＝sin x·ln(mx＋)的图象关于y轴对称，则m＝( C )A．2  B．4C．±2  D．±4[解析]　因为f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)为偶函数，又y＝sin x为奇函数，所以y＝ln(mx＋)为奇函数，即ln[－mx＋]＝－ln(mx＋)，解得m＝±2.故选C.6．(2022·甘肃天水一中阶段测试)已知函数f(x)＝e|x|＋x2，(e为自然对数的底数)，且f(3a－2)>f(a－1)，则实数a的取值范围是( C )A.B.C.∪D.∪[解析]　显然f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，∴f(3a－2)>f(a－1)⇔|3a－2|>|a－1|⇔(3a－2)2>(a－1)2⇔a>或a<，故选C.7．(2021·全国甲，12)设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x)．若f＝，则f＝( C )A．－  B．－ C．  D．[解析]　求出函数f(x)的周期再进行转化，即可求解．由f(1＋x)＝f(－x)，且f(x)是定义在R上的奇函数，可得f(1＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(2＋x)＝－f(1＋x)＝f(x)，所以f(x)的周期为2，则f＝f＝f＝，故选C.8．(2022·江西九江一中阶段练习)已知函数f(x)满足f(x＋3)＝f(1－x)，又函数f(x＋9)的图象关于点(－9,0)对称，且f(1)＝2 022，则f(2 023)＝( D )A．2 023  B．－2 023C．2 022  D．－2 022[解析]　因为函数f(x)满足f(x＋3)＝f(1－x)，所以f(4－x)＝f(x)，又函数f(x＋9)的图象关于点(－9,0)对称，所以f(－x)＝－f(x)，联立得f(4＋x)＝－f(x)，即f(8＋x)＝f(x)，所以其周期为T＝8，所以f(2 023)＝f(8×252＋7)＝f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2 022.故选D.二、多选题9．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( BD )A．y＝f(|x|)  B．y＝f(－x)C．y＝xf(x)  D．y＝f(x)＋x[解析]　由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，A项，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；B项，f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；C项，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；D项，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．可知B、D正确．10．(2023·潍坊模拟)已知定义在区间[－7,7]上的一个偶函数，它在[0,7]上的图象如图，则下列说法正确的有( BC )A．这个函数有两个单调递增区间B．这个函数有三个单调递减区间C．这个函数在其定义域内有最大值7D．这个函数在其定义域内有最小值－7[解析]　根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性，作出其在[－7,7]上的图象，如图所示．由图象可知这个函数有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不是－7，故选BC.11．(2023·潍坊模拟)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则( ABC )A．f(x)为奇函数  B．f(x)为周期函数C．f(x＋3)为奇函数  D．f(x＋4)为偶函数[解析]　由f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数知函数f(x)的图象关于点(1,0)，(2,0)对称，所以f(－x)＋f(2＋x)＝0，f(－x)＋f(4＋x)＝0，所以f(2＋x)＝f(4＋x)，即f(x)＝f(2＋x)，所以f(x)是以2为周期的函数，B正确；又f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，所以f(x)，f(x＋3)，f(x＋4)均为奇函数，A，C正确，D错误．12．(2022·烟台一模)已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(2－x)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，则下列结论错误的是( ABC )A．f(2 021)＝0B．2是f(x)的一个周期C．当x∈(1,3)时，f(x)＝(1－x)3D．f(x)>0的解集为(4k,4k＋2)(k∈Z)[解析]　∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(2－x)＝f(x)＝－f(－x)，∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，∴f(x)的最小正周期是4，故B错误；f(2 021)＝f(1)＝1，故A错误；∵当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，f(x)是定义在R上的奇函数，∴当x∈[－1,1]时，f(x)＝x3，当x∈(1,3)时，2－x∈(－1,1)，f(x)＝f(2－x)＝(2－x)3，故C错误；易知当x∈(0,2)时，f(x)>0，∵f(x)的最小正周期是4，∴f(x)>0的解集为(4k,4k＋2)(k∈Z)，故D正确．三、填空题13．已知奇函数f(x)在区间[3,6]上是增函数，且在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＋f(－3)的值为_9__.[解析]　由于f(x)在[3,6]上为增函数，所以f(x)的最大值为f(6)＝8，f(x)的最小值为f(3)＝－1，因为f(x)为奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝1，所以f(6)＋f(－3)＝8＋1＝9.14．设f(x)是周期为3的函数，当1≤x≤3时，f(x)＝2x＋3，则f(8)＝_7__.－2≤x≤0时，f(x)＝_2x＋9__.[解析]　因为f(x)是周期为3的函数，所以f(8)＝f(2)＝2×2＋3＝7.当－2≤x≤0时，f(x)＝f(x＋3)＝2(x＋3)＋3＝2x＋9.15．已知函数f(x)＝asin x＋btan x＋1，若f(a)＝－2，则f(－a)＝_4__.[解析]　令g(x)＝asin x＋btan x，则g(x)为奇函数，且f(x)＝g(x)＋1，∵f(a)＝g(a)＋1＝－2，∴g(a)＝－3，∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝4.16．已知函数f(x)，对∀x∈R满足f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，且f(0)＝1，则f(26)＝_1__.[解析]　∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(26)＝f(2)．∵对∀x∈R有f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝1，即f(26)＝1.17．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)内单调递增，且f＝0，则f(x)>0的解集为 ∪.[解析]　由已知可造构y＝f(x)的示意图象，所以f(x)>0的解集为∪.B组能力提升1．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则( A )A．f(－x1)>f(－x2)B．f(－x1)＝f(－x2)C．f(－x1)<f(－x2)D．f(－x1)与f(－x2)的大小不能确定[解析]　因为x1<0且x1＋x2>0，所以x2>－x1>0，又因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(x)是R上的偶函数，所以f(－x2)＝f(x2)<f(－x1)．2．(多选题)函数f(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，f(x＋1)是偶函数，则( BD )A．f(0)＝1B．f(x)是周期函数C．f(x＋3)为奇函数D．f(x＋5)为偶函数[解析]　因为f(x＋1)是偶函数，所以函数f(x)的图象关于x＝1对称，即f(－x)＝f(2＋x)，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，于是f(2＋x)＝－f(x)，即有f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为4，故A错误，B正确；设g(x)＝f(x＋3)，则g(－x)＝f(－x＋3)＝f(－1＋x)＝f(x＋3)，即g(x)＝g(－x)，所以f(x＋3)为偶函数，C错误；设h(x)＝f(x＋5)，则h(－x)＝f(－x＋5)＝f(x－3)＝f(x＋5)，即h(x)＝h(－x)，所以f(x＋5)为偶函数，D正确，故选BD.3．(2022·全国高三专题练习)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x＋4)，且f(x＋1)是奇函数，则( C )A．f(x)是偶函数B．f(x)的图象关于直线x＝对称C．f(x)是奇函数D．f(x)的图象关于点对称[解析]　由f(x＋2)＝f(x＋4)可得2是函数f(x)的周期，因为f(x＋1)是奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，所以f(x)＝－f(2－x)，f(x)＝－f(－x)，所以f(x)是奇函数，故选C.4．(2022·黑龙江哈尔滨六中高三月考)若f(x)＝ex－ae－x为奇函数，则f(x－1)<e－的解集为( A )A．(－∞，2)  B．(－∞，1)C．(2，＋∞)  D．(1，＋∞)[解析]　∵f(x)＝ex－ae－x为奇函数，∴f(0)＝0，即f(0)＝1－a＝0.则a＝1，即f(x)＝ex－e－x，则函数f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，又f(1)＝e－，则不等式f(x－1)<e－等价于f(x－1)<f(1)，即x－1<1，解得x<2，即不等式的解集为(－∞，2)．故选A.5．(多选题)(2023·衡水联考)已知奇函数f(x)的定义域为R，且满足f(2＋x)＝f(2－x)，以下关于函数f(x)的说法正确的为( BCD )A．f(x)满足f(8－x)＝f(x)B．8为f(x)的一个周期C．f(x)＝sin 是满足条件的一个函数D．f(x)有无数个零点[解析]　∵f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)是奇函数，∴f(4＋x)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(8＋x)＝－f(x＋4)＝f(x)，∴8为f(x)的一个周期，故B正确；由f(8＋x)＝f(x)可得f(8－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(8－x)＋f(x)＝0，故A不正确；f(x)＝sin 满足f(x)＋f(－x)＝0，为奇函数，且图象的一条对称轴为直线x＝2，故C正确；由f(x)为奇函数且定义域为R知，f(0)＝0，又f(x)为周期函数，∴f(x)有无数个零点，故D正确．6．(2022·安徽合肥市第六中学模拟预测)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝f(3－x)，且∀x1，x2∈[1，＋∞)，x1≠x2，都有>0，f(3)＝3.若对∀x∈(1,3)，f(2x－a)－3>0恒成立，则a的取值范围是( D )A．(－1,9)B．[－1,7]C．(－∞，－1)∪(9，＋∞)D．(－∞，－1]∪[7，＋∞)[解析]　∵∀x1，x2∈[1，＋∞)，x1≠x2，都有>0，∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增；∵f(x－1)＝f(3－x)，∴f(x)的图象关于x＝1对称，∴f(x)在(－∞，1]上单调递减；∵f(3)＝3，∴f(－1)＝f(3)＝3；由f(2x－a)－3>0知：f(2x－a)>f(3)或f(2x－a)>f(－1)，∴2x－a>3或2x－a<－1，∴a<2x－3或a>2x＋1，∵x∈(1,3)，∴a≤－1或a≥7，即a的取值范围为(－∞，－1]∪[7，＋∞)．故选D.7．已知函数f(x)＝，则f(x)＋f(1－x)＝_1__，f＋f＋f＋…＋f＝_1_012__.[解析]　因为f(x)＝，所以f(x)＋f(1－x)＝＋＝＋＝＋＝＋＝＝1，设f＋f＋f＋…＋f＝m，①则f＋…＋f＋f＋f＝m，②①＋②得2 024＝2m，即m＝1 012，故f＋f＋f＋…＋f＝1 012.8．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；(2)若f(x)＝(0<x≤1)，求当x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式．[解析]　(1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，有f(x＋1)＝f(1－x)，即在f(－x)＝f(x＋2)．又函数f(x)是定义在R上的奇函数，故有f(－x)＝－f(x)．故f(x＋2)＝－f(x)．从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数．(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)＝0.当x∈[－1,0)时，即－x∈(0,1]，f(x)＝－f(－x)＝－.故x∈[－1,0]时，f(x)＝－.当x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1,0]，f(x)＝f(x＋4)＝－.从而，x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－.