2008年上海高考数学真题（文科）试卷（word解析版）

这是一份2008年上海高考数学真题（文科）试卷（word解析版），共23页。
绝密★启用前
2008年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷(文史类)
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
得 分
评 卷 人




一. 填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接
填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．



1．不等式的解集是 .
2．若集合、满足，则实数= .
3．若复数满足（是虚数单位），则= .
4．若函数的反函数为，则 .
5．若向量、满足，，且与的夹角为，则= .
6．若直线经过抛物线的焦点，则实数 .
7．若是实系数方程的一个虚根，且，则 .
8．在平面直角坐标系中，从五个点：、、、、
中任取三个，这三点能构成三角形的概率是__________（结果用分数表示）.
9．若函数 是偶函数，且它的值域为，
则该函数的解析式 .
10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，，，12，13.7，18.3，20，
且总体的中位数为. 若要使该总体的方差最小，则的取值分别是
.
11．在平面直角坐标系中，点的坐标分别为、、. 如果
是△围成的区域（含边界）上的点，那么当取到最大值时，点
的坐标是 .
得 分
评 卷 人



二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出
代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论
是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，
选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论
是否都写在圆括号内），一律得零分．

12. 设是椭圆上的点. 若、是椭圆的两个焦点，则等于
[答] ( )
(A) 4. (B) 5. (C) 8. (D) 10.
13. 给定空间中的直线及平面. 条件“直线与平面内两条相交直线都垂直”是“直
线与平面垂直”的 [答] ( )
(A) 充分非必要条件. (B) 必要非充分条件.
(C) 充要条件. (D) 既非充分又非必要条件.
14. 若数列是首项为1，公比为的无穷等比数列，且各项的和为，则
的值是 [答] ( )
(A) 1. (B) 2. (C) . (D) .
15. 如图，在平面直角坐标系中，是一个与轴的正半轴、轴的正半轴分别相切于点
、的定圆所围成的区域（含边界），是该
圆的四等分点. 若点、点满足且，
则称优于. 如果中的点满足：不存在中的其它点优
于，那么所有这样的点组成的集合是劣弧 [答] ( )
(A) . (B) . (C) . (D) .
三. 解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
得 分
评 卷 人




16.（本题满分12分）



如图，在棱长为 2 的正方体中，的中点. 求直线与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.
[解]





































得 分
评 卷 人




17.（本题满分13分）



如图，某住宅小区的平面图呈扇形. 小区的两个出入口设置在点及点处. 小区里有两条笔直的小路、，且拐弯处的转角为120°. 已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟. 若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长（精确到1米）.
[解]



































得 分
评 卷 人




18.（本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2
小题满分10分．



已知函数，直线与函数、的图像分别交于两点.
（1）当时，求的值；
（2）求在 时的最大值.
[解]（1）








（2）






















得 分
评 卷 人




19.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第
2小题满分8分．


已知函数.
（1）若，求的值；
（2）若对于恒成立，求实数的取值范围.
[解] （1）










（2）
























得 分
评 卷 人




20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，
第2小题满分6分，第3小题满分7分．


已知双曲线.
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）已知点的坐标为. 设是双曲线上的点，是点关于原点的对称点. 记. 求的取值范围；
（3）已知点的坐标分别为，为双曲线上在第一象限内的点. 记为经过原点与点的直线，为△截直线所得线段的长. 试将表示为直线的斜率的函数.
[解]（1）










（2）
















（3）

















































得 分
评 卷 人




21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2
小题满分6分，第3小题满分8分．


已知数列：，，，（是正整数），与数列
：，，，，（是正整数）. 记
.
（1）若，求的值；
（2）求证：当是正整数时，；
（3）已知，且存在正整数，使得在，中有4项为100. 求的值，并指出哪4项为100.
[解] (1)









[证明]（2）















[解]（3）


2 0 0 8 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试
上海数学试卷(文史类)答案要点及评分标准
说明
1.本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．
2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．
解答
一、（第1题至第11题）
1.. 2. . 3. . 4. .
5. . 6. . 7. . 8. .
9. . 10. . 11. .
二、（第12题至第15题）
题 号
12
13
14
15
代 号
D
C
B
D
三、（第16题至第21题）
16．[解] 过作，交于，连接.
，
是直线与平面所成的角. …… 4分
由题意，得.
, . …… 8分
， . …… 10分
故直线与平面所成角的大小是. …… 12分
17. [解法一] 设该扇形的半径为米. 由题意，得
=500（米），=300（米），. …… 4分
在△中，， …… 6分
即, …… 9分
解得（米）.
答：该扇形的半径的长约为445米. …… 13分
[解法二] 连接，作，交于. …… 2分
由题意，得=500（米），=300（米），. …… 4分
在△中，
，
（米）， …… 6分
. …… 9分
在直角△中，（米），，
（米）.
答：该扇形的半径的长约为445米. …… 13分
18. [解] （1） …… 2分
. …… 5分
（2）
…… 8分
. …… 11分
，， …… 13分
的最大值为. …… 15分
19. [解] （1）当时，；当时，. …… 2分
由条件可知 ，即 ，
解得 . …… 6分
，. …… 8分
（2）当时，， …… 10分
即 .
， . …… 13分
，
故的取值范围是. …… 16分
20. [解]（1）所求渐近线方程为. …… 3分
（2）设的坐标为，则的坐标为. …… 4分

. …… 7分

,
的取值范围是. …… 9分
（3）若为双曲线上第一象限内的点，
则直线的斜率. …… 11分
由计算可得，当时，；
当时，. …… 15分
表示为直线的斜率的函数是
…… 16分
21. [解]（1）

. …… 2分
，. …… 4分
[证明]（2）用数学归纳法证明：当时，.
① 当时，，等式成立. …… 6分
② 假设时等式成立，即，
那么当时，
…… 8分

，等式也成立.
根据①和②可以断定：当时，. …… 10分
[解]（3）().
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，. …… 13分
是奇数，，，均为负数，
这些项均不可能取到100. …… 15分
，解得，，
此时为100. …… 18分



1．不等式的解集是　　　　　．
【答案】
【解析】由.
2．若集合，满足，则实数a= ．
【答案】
【解析】由.
3．若复数z满足 (i是虚数单位)，则z= ．
【答案】
【解析】由.
4．若函数的反函数为，则 ．
【答案】
【解析】令则且
5．若向量，满足且与的夹角为，则　　　　．
【答案】
【解析】

6．若直线经过抛物线的焦点，则实数　　　　　．
【答案】-1
【解析】直线经过抛物线的焦点则
7．若是实系数方程的一个虚根，且，则 ．
【答案】4
【解析】设,则方程的另一个根为,且，
由韦达定理直线
所以
8．在平面直角坐标系中，从五个点：中
任取三个，这三点能构成三角形的概率是　　　　（结果用分数表示）．
【答案】
【解析】由已知得
所以五点中任选三点能构成三角形的概率为
9．若函数（常数）是偶函数，且它的值域为，
则该函数的解析式 ．
【答案】
【解析】是偶函数，则其图象关于
y轴对称, 且值域为，

10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，
且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别　　　　 ．
【答案】
【解析】中位数为10.5根据均值不等式知，只需时，
总体方差最小.
11．在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．如果
是围成的区域（含边界）上的点，那么当取到最大值时，点的坐标
是 ．
【答案】
【解析】作图知取到最大值时，点在线段BC上,
故当时, 取到最大值.

二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．
12．设是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，
则等于（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】D
【解析】 由椭圆的第一定义知
13．给定空间中的直线l及平面．条件“直线l与平面内两条相交直线都垂直”
是“直线l与平面垂直”的（　　　）
Ａ．充分非必要条件　　　　　　　　Ｂ．必要非充分条件
C．充要条件　　　　　　　　　　　 Ｄ．既非充分又非必要条件
【答案】C
【解析】“直线l与平面内两条相交直线都垂直”“直线l与平面垂直”.
14．若数列是首项为1，公比为的无穷等比数列，且各项的和为a，
则的值是（　　）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ． Ｄ．
【答案】B
【解析】由.
15．如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点．若点、点满足且，则称P优于．如果中的点满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（　 D　　）
Ａ．　　 　B． C． D．
【答案】
A
B
C
D
O
x
y

【解析】由题意知，若P优于,则P在的左上方,
当Q在上时, 左上的点不在圆上,
不存在其它优于Q的点,
Q组成的集合是劣弧.





三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
16．(本题满分12分)
如图，在棱长为2的正方体中，E是BC1的中点．求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
16. 【解】过E作EF⊥BC，交BC于F，连接DF.
∵ EF⊥平面ABCD，
∴ ∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角. ……………4分
由题意，得EF=
∵ …………………………..8分
∵ EF⊥DF， ∴ ……………..10分
故直线DE与平面ABCD所成角的大小是….12分









17．（本题满分13分）
如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC．小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里
有两条笔直的小路，且拐弯处的转角为．已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长（精确到1米）．


17. 【解法一】设该扇形的半径为r米. 由题意，得
CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=……………………………4分
在中，……………6分
即…………………….9分
解得（米）. …………………………………………….13分
【解法二】连接AC，作OH⊥AC，交AC于H…………………..2分
由题意，得CD=500（米），AD=300（米），………….4分

∴ AC=700（米） …………………………..6分
………….…….9分
在直角
∴ （米）. ………………………13分


18．（本题满分15分）本题共有2个小题，第1个题满分5分，第2小题满分10分．
已知函数f(x)=sin2x，g(x)=cos，直线
与函数的图象分别交于M、N两点．
（1）当时，求｜MN｜的值；
（2）求｜MN｜在时的最大值．
18、【解】（1）…………….2分
………………………………5分
（2）……...8分
…………………………….11分
∵ …………13分

∴ ｜MN｜的最大值为. ……………15分


19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．
已知函数．
（1）若，求的值；
（2）若对于恒成立，求实数m的取值范围．
19、【解】（1）. …………….2分
由条件可知，解得 …………6分
∵ …………..8分
（2）当 ……………10分
即
………………13分

故m的取值范围是 …………….16分

20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，
第3小题满分7分．
已知双曲线．
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）已知点的坐标为．设是双曲线上的点，是点关于原点的对称点．
记．求的取值范围；
（3）已知点的坐标分别为，为双曲线上在第一象限内的点．记为经过原点与点的直线，为截直线所得线段的长．试将表示为直线的斜率的函数．

20、【解】（1）所求渐近线方程为 ……………...3分
（2）设P的坐标为，则Q的坐标为， …………….4分

……………7分

的取值范围是 ……………9分
（3）若P为双曲线C上第一象限内的点，
则直线的斜率 ……………11分
由计算可得，当
当 ……………15分
∴ s表示为直线的斜率k的函数是
….16分



21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分４分，第2小题满分６分，
第3小题满分8分．
已知数列：，，，（是正整数），与数列
：，，，，（是正整数）．
记．
（1）若，求的值；
（2）求证：当是正整数时，；
（3）已知，且存在正整数，使得在，，，中有4项为100．
求的值，并指出哪4项为100．

21、【解】（1）

………………..2分
∵ ………………..4分
【证明】（2）用数学归纳法证明：当
① 当n=1时，等式成立….6分
② 假设n=k时等式成立，即
那么当时，
………8分

等式也成立.
根据①和②可以断定：当…………………...10分






【解】（3）

………………………..13分
∵ 4m+1是奇数，均为负数，
∴ 这些项均不可能取到100. ………………………..15分
此时，为100. …………………………18分