2023年江苏省淮安市洪泽区中考数学一模试卷-普通用卷

这是一份2023年江苏省淮安市洪泽区中考数学一模试卷-普通用卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 3的相反数是( )
A. 3B. 13C. −3D. −13
2. 下列计算结果为a6的是( )
A. a2+a4B. a2⋅a3C. a6÷aD. (a2)3
3. 下列整数中，与 15最接近的是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4. 一个几何体的三个视图如图所示，这个几何体是( )
A. 圆柱B. 球C. 圆锥D. 正方体
5. 若△ABC与△DEF的相似比为1：2，若BC=2，则EF的长是( )
A. 2B. 2C. 4D. 16
6. 平面直角坐标系中，点(−2,3)关于原点对称的点的坐标是( )
A. (−2,3)B. (−2,−3)C. (2,−3)D. (2,3)
7. 如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为( )
A. 12
B. 33
C. 22
D. 32
8. 如图，四边形ABCD中，AB=AD，点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，若∠BAD=α，则∠ACB的度数为( )
A. 45°
B. α−45°
C. 12α
D. 90°−12α
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 函数y= 4x−2中，自变量x的取值范围是______．
10. 经文化和旅游部数据中心测算，今年春节假期全国国内旅游出游308000000人次，同比增长23.1%，数据308000000用科学记数法表示为______ ．
11. 某文具店二月销售签字笔40支，三月、四月销售量连续增长，四月销售量为90支，设月平均增长率为x，根据题意可列方程为______ ．
12. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A=22°，则∠B=______
°.
13. 已知一元二次方程x2+2x−m=0的一个根为2，则它的另一个根为______ ．
14. 已知圆弧的半径是24cm，所对的圆心角为60°，则弧长是 cm．
15. 甲、乙两台机床生产同一种零件，并且每天产量相等，在6天中每天生产零件中的次品数依次是：甲：3、0、0、2、0、1；乙：1、0、2、1、0、2.则甲、乙两台机床中性能较稳定的是______ ．
16. 某小区打算在一块长80m，宽7.5m的矩形空地的一侧，设置一排如图所示的平行四边形倾斜式停车位若干个(按此方案规划车位，相邻车位间隔线的宽度忽略不计)，已知规划的倾斜式停车位每个车位长6m，宽2.5m，如果这块矩形空地用于行走的道路宽度不小于4.5m，那么最多可以设置停车位______ 个.(参考数据： 2≈1.41，
3≈1.73)
三、解答题（本大题共11小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
(1)计算：(−2)2−|−3|+(π−2023)0；
(2)化简：4x2−4−1x−2．
18. (本小题8.0分)
解不等式5x+2≥3(x−1)，并把它的解集在数轴上表示出来．
19. (本小题8.0分)
如图，已知AB//CD，直线EF分别交直线AB、CD于点G、H，GI、HI分别平分∠BGH、∠GHD．
(1)求证GI⊥HI．
(2)请用文字概括(1)所证明的命题：______．
20. (本小题8.0分)
课外兴趣小组为了解某段路上机动车的车速，抽查了一段时间内若干辆车的车速(车速取整数，单位：千米/时)并制成如图所示的频数分布直方图．已知车速在41千米/时到50千米/时的车辆数占车辆总数的310．
(1)在这段时间内他们抽查的车有______辆；
(2)被抽查车辆的车速的中位数所在速度段(单位：千米/时)是______；
A.30.5～40.5 B.40.5～50.5
C.50.5～60.5 D.60.5～70.5
(3)补全频数分布直方图；
(4)如果全天超速(车速大于60千米/时)的车有200辆，则当天的车流量约为多少辆？
21. (本小题8.0分)
某天，一蔬菜经营户用180元钱从蔬菜批发市场批了西红柿和豆角共40千克到菜市场去卖，西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示：
问：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱？
22. (本小题8.0分)
如图，A、B、C三个完全一样的不透明杯子依次排成一排，倒扣在水平桌面上，其中一个杯子里有一枚硬币．
(1)随机翻开一个杯子，出现硬币的概率是______；
(2)同时随机翻开两个杯子，求出现硬币的概率；
(3)若这枚硬币在A杯内，现从三个杯子中随机选择两个交换位置(硬币随A杯一起移动)，则经过两次交换后，硬币恰好在中间位置的杯子内的概率为______．
A.29 B．13 C．49 D．
23
23. (本小题10.0分)
如图，高楼顶部有一信号发射塔(FM)，在矩形建筑物ABCD的D、C两点测得该塔顶端F的仰角分别为45°、64.5°，矩形建筑物高度DC为22米．求该信号发射塔顶端到地面的距离FG.(精确到1m)(参考数据：sin64.5°≈0.90，cs64.5°≈0.43，
tan64.5°≈2.1)
24. (本小题10.0分)
如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，∠C=90°，以OA为半径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接AD且AD平分∠BAC．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积(结果保留
π)
25. (本小题10.0分)
用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图1．

经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量E(单位：%)与充电时间t(单位：h)的函数图象分别为图2中的线段AB、AC．
(1)求线段AC对应的函数表达式；
(2)已知该手机正常使用时耗电量为10%/h，在用快速充电器将其充满电后，正常使用ah，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电一耗电一充电”的时间恰好是6h，求a的值．
26. (本小题12.0分)
问题背景：
如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC、BD，AB=BC=AC，求证：BD=AD+CD．
(1)方法感悟：
小颖认为可用截长法证明：如图1−1，在DB上截取DM=AD，连接AM，只需证明△ADC≌△ ______ ，可得CD= ______ 即可；
小军认为可用补短法证明：如图1−2，延长CD至点N，使得DN=AD，连接AN，只需证明△ABD≌△ ______ ，可得BD= ______ 即可；
(2)类比探究：
如图2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC、BD，BC是⊙O的直径，AB=AC，试用等式表示线段AD、BD、CD之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展提升：
如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC、BD，若BC是⊙O的直径，tan∠ABC=43，AD=3，CD=2，则BD= ______ ．
27. (本小题12.0分)
如图，抛物线y=ax2+bx经过A(1,4)和B(4,0)，点P是抛物线上的一个动点，且在直线AB的上方．
(1)a= ______ ，b= ______ ；
(2)若△AOB面积是△PAB面积的3倍，求点P的横坐标；
(3)若OP与AB相交于点C，判断OPOC是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：3的相反数是−3，故选：C．
根据相反数的定义，即可解答．
本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】
解：A.a2与a4不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B.a2⋅a3=a5，故本选项不合题意；
C.a6÷a=a5，故本选项不合题意；
D.(a3)2=a6，故本选项符合题意．
故选：D．
3.【答案】D
【解析】解：∵3.52=12.25，42=16，
∴3.5< 15<4，
∴ 15最接近的是4，
故选：D．
估算无理数 15的大小，即可得出答案．
本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的意义是正确解本题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，
由俯视图为圆形可得为圆柱体．
故选：A．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
本题考查了由三视图来判断几何体，还考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力．
5.【答案】C
【解析】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1：2，
∴BCEF=12，
∵BC=2，
∴EF=4．
故选：C．
直接利用相似三角形的性质得出EF的长．
此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边的比值是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵两个点关于原点对称，这两个点的坐标符号相反，
∴点(−2,3)关于原点对称的点的坐标是(2,−3)．
故选：C．
根据两个点关于原点对称，那么这两个点的坐标符号相反即可得出结果．
本题考查关于原点对称的点的坐标特点，熟练掌握关于原点对称的两个点的坐标符号相反是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查了特殊角的三角函数值以及基本作图方法，正确得出△OBC是等边三角形是解题关键．
根据作图的方法得出△OBC是等边三角形，进而利用特殊角的三角函数值求出答案．
【解答】
解：连接BC，
由题意可得：OB=OC=BC，
则△OBC是等边三角形，
故sin∠AOC=sin60°= 32．
故选：D．
8.【答案】D
【解析】解：如图，连接AB′，BB′，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB′，
∴AB=AB′，
∴∠BAC=∠B′AC，
∵AB=AD，
∴AD=AB′，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE=∠B′AE，
∴∠CAE=12∠BAD=12α，
又∵∠AEB′=∠AOB′=90°，
∴∠ACB′=90°−12α，
∴∠ACB=∠ACB′=90°−12α，
故选：D．
连接AB′，BB′，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC=∠B′AC，∠DAE=∠B′AE，即可得出∠CAE=12∠BAD=12α，再根据直角三角形的性质，即可得到∠ACB=∠ACB′=90°−12α．
本题主要考查了轴对称的性质，直角三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造四边形AOB′E，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
9.【答案】x≥12
【解析】
【分析】
本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
根据二次根式的有意义的条件：被开方数大于等于0，就可以求解．
【解答】
解：依题意，得4x−2≥0，
解得：x≥12，
故答案为x≥12．

10.【答案】3.08×108
【解析】解：数据308000000用科学记数法表示为3.08×108．
故答案为：3.08×108．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11.【答案】40(1+x)2=90
【解析】解：设月平均增长率为x，
根据题意得：40(1+x)2=90．
故答案为：40(1+x)2=90．
设月平均增长率为x，根据二月及四月的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12.【答案】68
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵∠A=22°，
∴∠B=90°−∠A=68°，
故答案为：68．
根据直径所对的圆周角是直角可得∠C=90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
13.【答案】−4
【解析】解：设方程的另一个根为t，根据题意得：2+t=−2，
解得：t=−4．
故答案为：−4．
设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得2+t=−2，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程的两根为x1、x2，则x1+x2=−ba,x1⋅x2=ca．
14.【答案】8π
【解析】
【分析】
本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．
利用弧长的计算公式计算即可．
【解答】
解：圆弧的半径为24，所对的圆心角为60°，
则此圆心角所对的弧长l=60⋅π×24180=8π(cm)，
故答案为8π．
15.【答案】乙
【解析】解：甲的平均数=16(3+0+0+2+0+1)=1，
乙的平均数=16(1+0+2+1+0+2)=1，
∴S甲2=16[(3−1)2+3×(0−1)2+(2−1)2+(1−1)2]=43
S乙2=16[(2×(1−1)2+2×(0−1)2+2×(2−1)2]=23,
∴S甲2>S乙2，
∴乙台机床性能较稳定．
故答案为乙．
先计算出甲乙的平均数，甲的平均数=乙的平均数=1，再根据方差的计算公式分别计算出它们的方差，然后根据方差的意义得到方差小的性能较稳定．
本题考查了方差的计算公式和意义：一组数据x1，x2，…，xn，其平均数为x，则这组数据的方差S2=1n[(x1−x)2+(x2−x)2+…+(xn−x)2]；方差反映一组数据在其平均数左右的波动大小，方差越大，波动就越大，越不稳定，方差越小，波动越小，越稳定．
16.【答案】14
【解析】解：如图所示，

根据题意得：AE=3，AF=6，HG=2.5，sin∠AFE=AEAF=36=12，
∴∠AFE=30°，EF= AF2−AE2=3 3≈5.19，
则依题意可得：∠GKH=30°，
∴HK=2GH=5，
∴(AD−EF)÷HK=(80−5.19)÷5≈14.96，
∴取整数14，
故答案为：14．
根据AE=3，AF=6，HG=2.5，可得∠AFE=30°，EF=3 3≈5.19，则有∠GKH=30°，HK=5，可求得(AD−EF)÷HK≈14.96，取整数解即可得到结果．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17.【答案】解：(1)(−2)2−|−3|+(π−2023)0
=4−3+1
=2；
(2)4x2−4−1x−2
=4(x+2)(x−2)−x+2(x+2)(x−2)
=−(x−2)(x+2)(x−2)
=−1x+2．
【解析】(1)根据乘方的法则、绝对值的性质、零指数幂的运算法则计算即可求解；
(2)先通分，再利用同分母分式的减法法则计算，化简即可求解．
本题考查了实数的运算，分式的加减运算，解题的关键是掌握运算顺序和运算法则．
18.【答案】解：去括号，得：5x+2≥3x−3，
移项，得：5x−3x≥−3−2，
合并同类项，得：2x≥−5，
系数化为1，得：x≥−2.5，
将不等式的解集表示在数轴上如下：

【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
19.【答案】证明：(1)∵AB//CD，
∴∠BGH+∠GHD=180°．
∵∠HGI=12∠HGB，∠GHI=12∠GHD，
∴∠HGI+∠GHI=12∠HGB+12∠GHD
=12(∠HGB+∠GHD)
=90°．
∵∠HGI+∠GHI+∠I=180°，
∴∠I=90°．
∴GI⊥HI．
(2)两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直
【解析】利用角平分线、平行线的性质及三角形的内角和定理，先求出∠I的度数，再说明两直线的关系．
本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、三角形的内角和定理及垂直的定义．利用角平分线、平行线的性质及三角形的内角和定理，说明∠I=90°是解决本题的关键．
20.【答案】解：(1)40；
(2)B；
(3)50.5～60.5 的车辆数是：40−3−8−12−5−3=9(辆)，补全统计图如下：
(4)200÷840=1000(辆)，
答：当天的车流量约为1000辆．
【解析】
【分析】
本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体、中位数的知识，解题的关键是仔细审题并从直方图中整理出进一步解题的有关信息．
(1)用车速在41千米/时到50千米/时的车辆数除以310即可得到；
(2)根据中位数的定义直接求解即可；
(3)用总数减去其他小组的频数即可得到50.5～60.5小组的频数即可补全统计图；
(4)用200除以车速大于60千米/时的车辆所占的百分比即可求得车流量．
【解答】
解：(1)观察统计图知：车速在41千米/时到50千米/时的车辆数为12，占总数的310，
则在这段时间内他们抽查的车有：12÷310=40(辆)；
故答案为：40；
(2)∵共40辆车，处于中间位置的是第20、21辆车的速度的平均数，
∴被抽查车辆的车速的中位数所在速度段(单位：千米/时)是40.5～50.5；
故答案为：B；
(3)见答案．
21.【答案】解：设批发了西红柿x千克，豆角y千克
由题意得：x+y=403.6x+4.6y=180
解得：x=4y=36
(5.4−3.6)×4+(7.5−4.6)×36=111.6(元)
答：卖完这些西红柿和豆角能赚111.6元．
【解析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程组．
通过理解题意可知本题的两个等量关系，西红柿的重量+豆角的重量=40，3.6×西红柿的重量+4.6×豆角的重量=180，根据这两个等量关系可列出方程组．
22.【答案】解：(1)13；
(2)根据题意画图如下：
共有6种等可能的情况数，其中出现硬币的情况数有4种，
则出现硬币的概率是：46=23；
(3)B．
【解析】
【分析】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
(1)根据其中一个杯子里有一枚硬币，共3个杯子，可直接得出随机翻开一个杯子，出现硬币的概率；
(2)根据题意画出树状图，求出所有可能的情况数，和出现硬币的情况数，再根据概率公式计算即可；
(3)先求出第一次交换后的情况数，再求出第二次交换后的情况数，从而求出所有情况数和硬币恰好在中间位置的杯子内的情况数，最后根据概率公式计算即可．
【解答】
解：(1)随机翻开一个杯子，出现硬币的概率是13；
故答案为：13；
(2)见答案．
(3)根据题意得：第一次交换后情况是：BAC、CBA、ACB，
把BAC再交换一次的情况数：ABC、CAB、BCA，
把CBA再交换一次的情况数：BCA、ABC、CAB，
把ACB再交换一次的情况数：CAB、BCA、ABC，
共有9种情况数，
硬币恰好在中间位置的杯子内的请况数有3种，
则硬币恰好在中间位置的杯子内的概率为39=13．
故答案为：B．
23.【答案】解：设DE=x，由题意得EG=DC=22米，CG=DE=x米．
在Rt△FDE中，tan45°=FEDE，
∴FE=DE⋅tan45°=x米，
在Rt△FCG中，tan64.5°=FGCG，
∴FG=CG⋅tan64.5°=2.1x米，
∵FG=FE+EG，
∴2.1x=x+22，
解得x=20，
FG=2.1x=42米．
答：该信号发射塔顶端到地面的距离FG约为42米．
【解析】在Rt△FDE中，根据tan45°=FEDE，tan64.5°=FGCG，得到FG=FE+EG，列方程解答即可．
本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
24.【答案】解：(1)证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵AO=DO，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC//OD，
∴∠ODC=∠ACD=90°，
∴OD⊥BC，
∵OD是⊙O的半径，
∴BC与⊙O相切；
(2)连接OE，ED，
∵∠BAC=60°，OE=OA，
∴△OAE为等边三角形，
∴∠AOE=60°，
∴∠ADE=30°，
又∵∠OAD=12∠BAC=30°，
∴∠ADE=∠OAD，
∴ED//AO，
∴四边形OAED是菱形，
∴12S△AED=12S△AOD，
∴阴影部分的面积=扇形ODE的面积=60π×22360=23π.
【解析】(1)连接OD，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；
(2)连接DE、OE，求出阴影部分的面积=扇形EOD的面积，求出扇形的面积即可．
本题考查了平行线的性质和判定，切线的性质和判定，扇形的面积有关计算的应用，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．
25.【答案】解：(1)设线段AC的函数表达式为E=kt+b(0将(0,20)，(6,100)代入E=kt+b，
即b=206k+b=100，
解得k=403b=20，
∴线段AC的函数表达式为E=403t+20(0(2)根据题意，得403×(6−2−a)=10a，
∴a=167．
【解析】(1)设线段AC的函数表达式为E=kt+b，利用待定系数法求解即可；
(2)根据题意列出方程403×(6−2−a)=10a，然后解方程求解即可．
本题考查的一次函数的实际应用，同时考查一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键．
26.【答案】AMB BM ACN NC 214
【解析】解：(1)小颖认为可用截长法证明如下：∵AB=BC=AC，
∴∠ACB=∠ABC=60°(等边对等角)，
如图1−1，在BD上截取DM=AD，连接AM，

∵∠ADB=∠ACB=60°，
∴△ADM是等边三角形，
∴AM=AD，
∵∠ABM=∠ACD，∠AMB=∠ADC=120°，
∴△ADC≌△AMB(AAS)，
∴CD=BM(全等三角形的性质)，
∴BD=DM+BM=AD+CD；
小军认为可用补短法证明：
如图1−2，延长CD至点N，使得DN=AD，连接AN，

∵AB=BC=AC，
∴∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°(等边对等角)，∠BDC=∠BAC=60°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°
∵∠ADN=180°−∠ADC=60°，
∴△ADN是等边三角形，
∴AN=AD，∠ANC=∠ADB=60°，
∵∠ABD=∠ACN，
∴△ABD≌△ACN(AAS)，
∴BD=CN=DN+CD=AD+CD；
故答案为：AMB，BM，ACN，NC；
(2)CD+ 2AD=BD，证明如下：
如图2，过点A作AM⊥AD交BD于点M，

∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，∠BDC=90°(直径所对圆周角是直角)，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°(等边对等角)，
∵∠ADB=∠ACB=45°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴AM=AD，∠AMD=45°，
∴DM= 2AD，
∴∠AMB=180°−∠AMD=135°，∠ADC=∠ADM+∠BDC=135°，
∴∠AMB=∠ADC，
∵∠ABM=∠ACD，
∴△ABM≌△ACD(AAS)，
∴BM=CD，
∴BD=BM+DM=CD+ 2AD．
即CD+ 2AD=BD；
(3)如图3，过点A作AM⊥AD交BD于点M，

∵∠BAM+∠CAM=∠CAD+∠CAM=90°，
∴∠BAM=∠CAD，
∵∠ABM=∠ACD
∴△ABM∽△ACD，
∵tan∠ABC=ACAB=43，
∴ABAC=BMCD=34，
∴BM=34CD=34×2=32，
∵∠BAC=∠MAD=90°，∠ACB=∠ADM，
∴△ACB∽△ADM，
在Rt△ABC中，tan∠ABC=ACAB=43，
设AC=4x，AB=3x，
∴BC= AC2+AB2= (4x)2+(3x)2=5x，
∴ACBC=ADDM=45，
∴DM=54AD=54×3=154，
∴BD=BM+DM=214．
故答案为：214．
(1)如图1−1，在BD上截取DM=AD，连接AM，可得∠ADB=∠ACB=60°，证明△ADM是等边三角形，可证明△ABM≌△ACD，得出BM=CD，则结论得证；
如图1−2，延长CD至点N，使得DN=AD，连接AN，证明△ADN是等边三角形，则AN=AD，∠ANC=∠ADB=60°，∠ABD=∠ACN，证明△ABD≌△ACN(AAS)，即可得到结论；
(2)如图2，BC是⊙O的直径，得到∠BAC=90°，∠BDC=90°，由AB=AC得到∠ABC=∠ACB=45°，∠ADB=∠ACB=45°，则△ADM是等腰直角三角形，则DM= 2AD，证明△ABM≌△ACD(AAS)，则BM=CD，即可得到结论．
(3)过点A作AM⊥AD交BD于点M，证明△ABM∽△ACD，求出BM=34CD=34×2=32，再证明△ACB∽△ADM，得到DM=54AD=54×3=154，即可得到答案．
本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，熟练运用图形的性质是解题的关键．
27.【答案】−43 163
【解析】解：(1)把A(1,4)和B(4,0)代入y=ax2+bx得：
a+b=416a+4b=0，
∴a=−43b=163；
故答案为：−43，163；
(2)过点P作PM⊥x轴，交AB于点M；如图所示，

设直线AB的函数关系式为y=kx+b1
把A(1,4)，B(4,0)代入y=kx+b1得：
4k+b1=0k+b1=4，
∴k=−43b1=163，
∴直线AB的函数关系式为y=−43x+163，
∵点P是抛物线上的一个动点，设P(t,−43t2+163t)，则点M(t,−43t+163)，
∴PM=−43t2+163t+43t−163=−43t2+203t−163，
∵S△PAB=12PM×(xB−xA)=12(−43t2+203t−163)×3=−2t2+10t−8，
∵S△AOB=3S△PAB，S△AOB=12×4×4=8，
∴S△PAB=83，
∴−2t2+10t−8=83
∴3t2−15t+16=0，
∴t=15± 336；
即：点P的横坐标为：15± 336；
(3)存在，
延长BA交y轴于点N，

∵直线AB的函数关系式为y=−43x+163，
∴点N(0,163)，ON=163，
∵PM//y轴，
∴△PCM∽△OCN，
∴PCOC=PMON，
∴PC+OCOC=PM+ONON，
即：OPOC=PM+ONON，OPOC=−43t2+203t−163+163163=−14t2+54t，
∴OPOC=−14t2+54t=−14(t−52)2+2516，
∵a=−14<0，抛物线开口向下，
∴当t=52时，OPOC有最大值，最大值为2516．
(1)根据待定系数法可进行求解；
(2)过点P作PM⊥x轴，交AB于点M，易求直线AB的函数关系式为y=−43x+163，设P(t,−43t2+163t)，则点M(t,−43t+163)，然后可得−2t2+10t−8=83，进而问题可求解；
(3)延长BA交y轴于点N，则有点N(0,163)，ON=163，然后可得△PCM∽△OCN，进而可得OPOC=−14t2+54t=−14(t−52)2+2516，最后问题可求解．
本题主要考查二次函数与几何的综合及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数与几何的综合及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
品名
西红柿
豆角
批发价(单位：元/千克)
3.6
4.6
零售价(单位：元/千克)
5.4
7.5