2023年河北省沧州市南皮县重点中学中考数学三模试卷-普通用卷

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这是一份2023年河北省沧州市南皮县重点中学中考数学三模试卷-普通用卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 该等式3a3=a3′被墨迹覆盖了一部分，则被覆盖掉的部分不可能是( )
A. −2a3B. −3C. ÷3D. ×13
2. 如图，用圆规比较两条线段的大小，正确的是( )
A. AB>AC
B. AB=AC
C. ABD. 无法确定
3. 若mn=1，则下列说法正确的是( )
A. m与n互为倒数B. m与n互为相反数C. m与n相等D. |m|与|n|相等
4. 下列计算结果与其他三个不同的( )
A. − (−3)2B. 3(−3)3C. 3×(− 3)D. 3+3
5. 如图，在▱ABCD中，直线a与BC，CD两边所夹的角分别为115°和120°，则∠A的度数为( )
A. 50°B. 55°C. 60°D. 65°
6. 已知aA. >B. 7. 如图是一个正方体的表面展开图，所有相对面的数字之和相等，则a的值是( )
A. 5
B. 1
C. 3
D. −1
8. 已知32025−32023=□×32023，则□代表的数是( )
A. 2B. 3C. 4D. 8
9. 如图，小明从A处出发沿北偏东40°方向行走至B处，又从点B处沿东偏南20°方向行走至C处，则∠ABC等于( )
A. 130°
B. 120°
C. 110°
D. 100°
10. 在△ABC中，∠ABC=90°，点O是AC的中点，求证：BO=12AC．
证明：如图，延长BO至点D，使OD=BO，连接AD，CD．
…
∴AC=BD=2OB
∴BO=12AC．
下面是“…”部分被打乱顺序的证明过程：①∵∠ABC=90°；②∴四边形ABCD是平行四边形；③∴四边形ABCD是矩形；④∵OA=OC，OB=OD.则正确的顺序( )
A. ④②①③B. ④①②③C. ①④②③D. ①②③④
11. 如图，函数y=|x+2|−1的图象所在坐标系的原点是( )
A. 点M
B. 点N
C. 点P
D. 点Q
12. 某排球队6名场上队员的身高(单位：cm)是：180，184，188，190，192，194.现用一名身高为186cm的队员换下场上身高为192cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高( )
A. 平均数变小，方差变小B. 平均数变小，方差变大
C. 平均数变大，方差变小D. 平均数变大，方差变大
13. 如图，已知∠AOB=60°，点D是∠AOB的平分线上的一点，点E，F分别是射线OA和射线OB上的点，且DE=DF，∠EDF>90°.下列结论中不正确的是( )
A. ∠EDF是一个定值
B. 四边形DEOF的面积是一个定值
C. 当DE⊥OA时，△DEF的周长最小
D. 当DE//OB时，DF也平行OA
14. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°.用尺规按下列步骤操作：①找线段AB的中点O，连接OC；②在AB的下方作∠BOE=∠OBC，作线段BD=OC交OE于点D(点D与点O不重合).结论I：四边形BCOD是平行四边形.结论Ⅱ：当∠A=45°时，BD⊥AB.对于结论I和Ⅱ，下列判断正确的是( )
A. I和Ⅱ都对B. I和Ⅱ都不对C. I不对Ⅱ对D. I对，Ⅱ不对
15. 甲、乙两地之间的高速公路全长200km，比原来国道的长度减少了20km.高速公路通车后，某长途汽车的行驶速度提高了45km/h，从甲地到乙地的行驶时间缩短了一半.设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为x km/h.则正确的是( )
A. 依题意200+45 x⋅12=200x+20B. 依题意200+20x−12=200x+45
C. 在国道上的速度是80km/hD. 在高速上的速度是100km/h
16. 题目：“如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，以点B为圆心的⊙B的半径为r，若对于r的一个值，⊙B与AC只有一个交点，求r的取值范围.”对于其答案，甲答：r=4.乙答：3A. 只有乙答的对B. 甲、乙的答案合在一起才完整
C. 乙、丙的答案合在一起才完整D. 三人的答案合在一起才完整
二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）
17. 如图，矩形OABC与反比例函数y1=k1x(k1是非零常数，x>0)的图象交于点M，N，与反比例函数y2=k2x(k2是非零常数，x>0)的图象交于点B，连接OM，ON.若四边形OMBN的面积为3，则k1−k2= ______ ．
18. 文具店购进了20盒“2B”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干支“HB”铅笔.店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了2支“HB”铅笔，具体数据见下表：
(1)从20盒铅笔中任意选取了1盒，“盒中没有混人‘HB’铅笔”是______ 事件；(填“必然”“不可能”或“随机”)
(2)若盒中混入1支“HB”铅笔的概率为14，则m= ______ ．
19. 在平面直角坐标系中，A(m,n)是第一象限内一点，给出如下定义：k1=mn和k2=nm两个值中的最大值叫做点A的“倾斜系数”k．
(1)点A(6,2)的“倾斜系数”k的值为______ ；
(2)若点A(m,n)的“倾斜系数”k=2，则m和n的数量关系是______ ；若此时还有m+n=3，则OA的长______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题8.0分)
已知P=2x−1，Q=x−2．
(1)当x=2×10−9时，求2P−Q的值；
(2)当P>Q时，求x的取值范围．
21. (本小题8.0分)
《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首…”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头.其中“…”位置的内容在摘抄时漏记.设兽有x只，鸟有y只，请根据上述内容回答下列问题：
(1)请用x表示y；
(2)已知“…”位置的内容为“下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：兽与鸟共有46只足，问禽、兽各多少只？
22. (本小题8.0分)
4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”.某校响应号召，开展了“读红色经典，传革命精神”为主题的读书活动，学校对本校学生五月份阅读该主题相关书籍的读书量进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取的学生的读书量(单位：本)进行了统计.根据调查结果，绘制了不完整的统计表和扇形统计图．
(1)本次调查共抽取学生多少人？
(2)表中a的值为______ ，扇形统计图中“3本”部分所对应的圆心角β的度数为______ ；
(3)求该样本中平均每人的读书量；
(4)已知该校有3000名学生，请估计该校学生中，五月份读书量不少于“3本”的学生人数．
23. (本小题8.0分)
为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．
(1)求证：∠BOC+∠BAD=90°．
(2)实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得cs∠BAD=35.已知铁环⊙O的半径为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长．
24. (本小题8.0分)
如图，已知直线l2与直线l1：y=12x交于横坐标为2的点A，将直线l1向下平移4个单位长度后交y轴于点B，交l2于点C，交x轴于点E，点C的纵坐标为−2．
(1)求直线l1在平移至直线l3的过程中，与x轴交点的横坐标的取值范围；
(2)求直线l2的解析式；
(3)直线l3绕点C逆时针旋转90°得到的直线与x轴交于点F，与直线l1交于点G，求∠OFG的正切值．
25. (本小题8.0分)
如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E(0,8)是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)在隧道截面内(含边界)修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题：
(ⅰ)修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m(0(ⅱ)现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围(P1在P4右侧)．
26. (本小题8.0分)
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，BD=13BC，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为α，连接DE，CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接AF．

(1)如图1，当α=180°时，请直接写出线段AF与线段BE的数量关系；
(2)当0<α<180°时．
①如图2，(1)中线段AF与线段BE的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②当点E恰好落在边AB上时，根据题意在图3中补全图形，并判断AD与CF之间的数量关系，且说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.3a3−2a3=a3，故A不符合题意，
B.3a3与−3不能合并同类项，故B符合题意，
C.3a3÷3=a3，故C不符合题意，
D.3a3×13=a3，故D不符合题意，
故选：B．
根据合并同类项、单项式的乘除法则判断即可．
本题主要考查了合并同类项、单项式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：如图用圆规比较两条线段的大小：AB故选：C．
根据题意即可得到答案．
本题考查比较线段的长短，掌握方法是解题关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵mn=1，
∴m与n互为倒数，
故选：A．
根据倒数的定义求解即可．
本题考查了倒数，熟知倒数是指两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：− (−3)2=−|−3|=−3，
3(−3)3=−3，
3×(− 3)=−3，
3+3= 6，
∴A、B、C三个选项中的计算结果相同，且与D选项中的计算结果不同，
故选：D．
根据立方根，二次根式的乘法和二次根式的性质求解判断即可．
本题主要考查了二次根式乘法，化简二次根式，立方根，正确计算出四个选项中的结果是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：如图，

∵∠BFE=∠EFC+∠C=115°，∠DEF=∠EFC+∠C=120°，
∴∠EFC+∠C+∠EFC+∠C=∠BFE+∠DEF=115°+120°=235°，
∵∠EFC+∠C+∠EFC=180°，
∴∠C=235°−180°=55°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C=55°．
故选：B．
先由三角形的外角性质求得∠C，再根据平行四边形的性质即可求解．
本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质以及平行四边形的性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵c2≥0，a∴ac2≤bc2，
故选：C．
根据不等式的性质即可求解．
本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
7.【答案】A
【解析】解：∵所有相对面的数字之和相等，
∵1与2相对，−1与4相对，−2与相对a，
∴−2+a=1+2=−1+4，
∴a=5．
故选：A．
先求出相对面的数字之和，再判断出a所对的数字为5，问题得解．
本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵32025−32023=32×32023−32023=32023×(32−1)=8×32023，
∴□代表的数是8，
故选：D．
根据同底数幂的乘法的逆用，将式子进行计算32025−32023=32×32023−32023=32023×(32−1)=8×32023，即可得到答案．
本题主要考查了同底数幂的逆运算，熟练掌握同底数幂的逆运算的运算法则是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：如图：

∵小明从A处出发沿北偏东40°方向行走至B处，又从点B处沿东偏南20°方向行走至C处，
∴∠DAB=40°，∠FBC=20°，
∴∠EBC=90°−∠FBC=90°−20°=70°，
∵向北方向线是平行的，即AD//BE，
∴∠ABE=∠DAB=40°，
∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=40°+70°=110°．
故选：C．
根据方向角的定义求出∠EBC，再根据平行线的性质求出∠ABE即可得出答案．
本题考查了方向角及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：如图，延长BO至点D，使OD=BO，连接AD，CD，
，
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=2OB
∴BO=12AC，
故选：A．
根据矩形的判定即可得到四边形ABCD是矩形，再利用矩形的性质即可得到对角线相等，最后利用对角线互相平分即可得到BO的长度．
本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：由y=|x+2|−1可得y=x+1(x≥−2)−x−3(x<−2)，
函数图象如下所示：

对比所给图象可知，点N是坐标系的原点．
故选：B．
首先去绝对值，列出分段函数，再画出函数图象，与所给图象进行对比，即可得出答案．
本题考查一次函数的图象和性质，列出分段函数是解题的关键．
12.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查方差和平均数，解题的关键是掌握平均数和方差的计算公式．
分别计算出原数据和新数据的平均数和方差即可得．
【解答】
解：原数据的平均数为180+184+188+190+192+1946=188，
则原数据的方差为16×[(180−188)2+(184−188)2+(188−188)2+(190−188)2+(192−188)2+(194−188)2]=683，
新数据的平均数为180+184+188+190+186+1946=187，
则新数据的方差为16×[(180−187)2+(184−187)2+(188−187)2+(190−187)2+(186−187)2+(194−187)2]=593，
所以平均数变小，方差变小，
故选：A．
13.【答案】D
【解析】解：过点D作DM⊥OA于点M，DN⊥OB于点N，DG⊥EF于点G，如图所示：

∵点D是∠AOB的平分线上的一点，
∴DM=DN，
∵DE=DF，
∴Rt△DEM≌Rt△DFN(HL)，
∴∠EDM=∠FDN，S△DEM=S△DFN，
∴∠EDM+∠EDN=∠EDN+∠FDN，
∴∠MDN=∠EDF，
∵∠DMO=∠DNO=90°，∠AOB=60°，
∴∠MON=360°−90°−90°−60°=120°，
∴∠EDF=120°，
即∠EDF是一个定值，故A正确，不符合题意；
∵S△DEM=S△DFN，
∴S△DEM+S四边形DEON=S四边形DEON+S△DFN，
即S四边形DEOF=S四边形DMON，
∵四边形DMON的面积是一个定值，
∴四边形DEOF的面积是一个定值，故B正确，不符合题意；
∵DG⊥EF，DE=DF，
∴EG=FG，∠EDG=12∠EDF=60°，
∴EG=DE×sin60°= 32DE，
∴EF=2EG= 3DE，
∴C△DEF=DE+DF+EF=2DE+ 3DE=(2+ 3)DE，
∴当DE最小时，△DEF的周长最小，
∵垂线段最短，
∴当DE⊥OA时，DE最小，△DEF的周长最小，故C正确，不符合题意；
∵DE//OB时，∠DEO=180°−∠ABC=120°，
∴∠DFO=360°−∠EDF−∠DEO−∠AOB=60°，
∴∠AOB+∠DFO=60°+60°=120°≠180°，
∴DF一定与OA不平行，故D错误，符合题意．
故选：D．
过点D作DM⊥OA于点M，DN⊥OB于点N，DG⊥EF于点G，证明Rt△DEM≌Rt△DFN(HL)，得出∠EDM=∠FDN，S△DEM=S△DFN，求出∠EDF=120°，得出∠EDF是一个定值；根据S△DEM+S四边形DEON=S四边形DEON+S△DFN，得出S四边形DEOF=S四边形DMON，说明四边形DEOF的面积是一个定值；根据C△DEF=DE+DF+EF=2DE+ 3DE=(2+ 3)DE，得出当DE最小时，△DEF的周长最小，根据垂线段最短，得出当DE⊥OA时，DE最小，△DEF的周长最小；根据DE//OB时，∠DEO=180°−∠ABC=120°，得出∠DFO=360°−∠EDF−∠DEO−∠AOB=60°，求出∠AOB+∠DFO=60°+60°=120°≠180°，求出DF一定与OA不平行．
本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，证明Rt△DEM≌Rt△DFN．
14.【答案】A
【解析】解：∵∠BOE=∠OBC，
∴BC//OD，
∵点O为线段AB的中点，BD=OC，
∵OA=OC=OB=BD，
∴∠BDO=∠BOD=∠OBC=∠BCO，
∴△BOD≌△OBC(AAS)，
∴∠DBO=∠COB，
∴BD//CO，
∴四边形BCOD是平行四边形，
故结论Ⅰ正确；
∵∠A=45°，OA=OC
∴∠A=∠ACO=45°，则∠AOC=90°，
∴∠BOC=90°，
由Ⅰ知：BD//CO，
∴∠DBO=∠BOC=90°，
∴BD⊥AB，
故结论Ⅱ正确，
故选：A．
由∠BOE=∠OBC得BC//OD，由OA=OC=OB=BD得，∠BDO=∠BOD=∠OBC=∠BCO，从而得到△BOD≌△OBC，进而得到∠DBO=∠COB，BD//CO，最后推出了四边形BCOD是平行四边形；由∠A=45°得到∠AOC=90°，从而可得到∠DBO=90°，进而推出BD⊥AB．
本题考查了平行四边形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和等腰三角形的性质是解题的关键．
15.【答案】D
【解析】解：设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为x km/h，则在高速公路上行驶的速度为(x+45)km/h，
由题意得：200+20x⋅12=200x+45，
解得：x=55，
经检验，x=55是原分式方程的解，
∴x+45=100，
即在国道上的速度是55km/h，在高速上的速度是100km/h，
∴结论正确的是D选项，
故选：D．
设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为x km/h，根据题意列分式方程并求解，据此即可得到答案．
本题考查了分式方程的实际应用，根据题意正确列方程是解题关键．
16.【答案】D
【解析】解：∵AB=3，AC=5，
∴BC= AC2−AB2= 52−32=4，
∴斜边AC上的高为：3×45=125，
当r=4时，画出图如图所示：
，
此时△ABC在圆内部，⊙B与AC只有一个交点，
当3，
此时⊙B与AC只有一个交点，
当r=125时，画出图如图所示：
，
此时⊙B与AC只有一个交点，
∴三人的答案合在一起才完整，
故选：D．
由勾股定理求出BC=4，再根据等面积法求出斜边AC上的高为125，再根据半径r的情况，分别作出图形，进行判断即可得到答案．
本题主要考查了勾股定理，直线与圆的位置关系，等面积法，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．
17.【答案】−3
【解析】解：∵y1、y2的图象均在第一象限，
∴k1>0，k2>0，
∵点M、N均在反比例函数y1=k1x(k1是非零常数，x>0)的图象上，
∴S△OAM=S△OCN=12k1，
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数y2=k2x(k2是非零常数，x>0)的图象上，
∴S矩形OABC=k2，
∴S四边形OMBN=S矩形OABC−S△OAM−S△OCN=3，
∴k2−k1=3，
∴k1−k2=−3，
故答案为：−3．
根据矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．
本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
18.【答案】随机 5
【解析】解：(1)根据题意可得：
“盒中没有混人‘HB’铅笔”是随机事件，
故答案为：随机；
(2)∵盒中混入1支“HB”铅笔的概率为14，
∴m20=14，
∴m=5，
故答案为：5．
(1)根据事件的出现的次数进行解答即可；
(2)利用概率公式列式计算即可．
本题主要考查了事件的分类以及概率的求法，如果一个事件有n种可能，且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P(A)=mn．
19.【答案】3 m=2n或n=2m 5
【解析】解：(1)根据题意可得：
k1=62=3，k2=26=13，
∵3>13，
∴点A(6,2)的“倾斜系数”k的值为3．
故答案为：3；
(2)根据题意可得：
k1=mn和k2=nm，
当k1>k2时，mn=2，即m=2n，
当k1∴m和n的数量关系是m=2n或n=2m；
∵m+n=3，
∴当m=2n时，解得：m=2，n=1，
∴A(2,1)，
∴OA= 22+12= 5，
当n=2m时，解得：m=1，n=2，
∴A(1,2)，
∴OA= 12+22= 5，
∴OA的长为 5．
故答案为：m=2n或n=2m， 5．
(1)根据题意计算出k1=62=3，k2=26=13，再比较大小即可得到答案；
(2)根据题意可得k1=mn和k2=nm，分情况讨论：当当k1>k2时，mn=2，即m=2n，当k1本题主要考查的是勾股定理及两点间的距离公式，读懂题意是解题的关键．
20.【答案】解：(1)2P−Q=2(2x−1)−(x−2)=3x，
∵x=2×10−9，
∴2P−Q=6×10−9．
(2)∵P>Q，
∵2x−1>x−2，
解得x>−1．
【解析】(1)根据代入求值计算方法即可求解；
(2)根据不等式的性质，解一元一次不等式的方法即可求解．
本题主要考查代入求值，不等式的性质，掌握代入求出，整式的加减运算，不等式的性质，解一元一次不等式的知识是解题的关键．
21.【答案】解：(1)由题意得：
6x+4y=76，
∴y=−32x+19；
(2)根据题意得：
4x+2(−32x+19)=46，
解得：x=8，
∴y=−32x+19=7，
∴兽有8只，鸟有7只．
【解析】(1)根据“兽与鸟共有76个头”，即可得出x、y的关系式；
(2)列出一元一次方程，解方程，即可得到答案．
本题主要考查了列方程解决问题，找准等量关系式，正确列出方程是解题的关键．
22.【答案】20 108°
【解析】解：(1)由统计表和扇形统计图可得，读2本的有25人，占总人数的25%，
∴抽样调查的学生总数为25÷25%=100(人)，
∴本次调查共抽取学生100人．
(2)由(1)得：本次调查共抽取学生100人，
∴a=100−10−25−30−15=20(人)，
β=30100×360°=108°；
(3)1100×(1×10+2×25+3×30+4×20+5×15)=3.05(本)，
∴该样本中平均每人的读书量为3.05本．
(4)3000×30+20+15100=1950(名)，
∴估计该校学生中，五月份读书量不少于“3本”的学生人数为1950名．
(1)由2本人数及其所占百分比可得总人数；
(2)用总人数分别减去其它读书量人数即可得出a的值；用360°乘“3本”所占百分比即可得出扇形统计图中“3本”部分所对应的圆心角β的度数；
(3)根据求平均数的公式求解即可；
(4)总人数乘以样本中“读书量”不少于3本的学生人数所占百分比即可．
本题考查了扇形统计图的综合运用以及用样本估计总体，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23.【答案】( 1)证明：方法1：如图1，过点B作EF//CD，分别交AD于点E，交OC于点F．
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD=90°．
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°．
∵EF//CD，
∴∠OFB=∠AEB=90°，
∴∠BOC+∠OBF=90°，∠ABE+∠BAD=90°，
∵AB为⊙O的切线，
∴∠OBA=90°．
∴∠OBF+∠ABE=90°，
∴∠OBF=∠BAD，
∴∠BOC+∠BAD=90°；
方法2：如图2，延长OB交CD于点M．
∵CD与⊙О相切于点C，
∴∠OCM=90°，
∴∠BOC+∠BMC=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°．
∵AB为⊙O的切线，
∴∠OBA=90°，
∴∠ABM=90°．
∴在四边形ABMD中，∠BAD+∠BMD=180°．
∵∠BMC+∠BMD=180°，
∴∠BMC=∠BAD．
∴∠BOC+∠BAD=90°；
(2)解：如图1，在Rt△ABE中，
∵AB=75，cs∠BAD=35，
∴AE=45．
由(1)知，∠OBF=∠BAD，
∴cs∠OBF=35，
在Rt△OBF中，
∵OB=25，
∴BF=15，
∴OF= OB2−BF2=20．
∵OC=25，
∴CF=5．
∵∠OCD=∠ADC=∠CFE=90°，
∴四边形CDEF为矩形，
∴DE=CF=5，
∴AD=AE+ED=50cm．
【解析】(1)方法1：如图1，过点B作EF//CD，分别交AD于点E，交OC于点F.首先证明∠BOC+∠OBF=90°，∠ABE+∠BAD=90°；再根据B是切点得出∠OBA=90°.后面就很简单的证明出结论；方法2：如图2，延长OB交CD于点M.因为AB为⊙O的切线，所以根据切线性质得到，∠OBA=90°，∠ABM=90°.再根据四边形、三角形的内角和即可证明；
(2)利用(1)中图1的辅助线即可解答．首先根据条件AB=75，cs∠BAD=35，得到AE=45.再利用(1)证明出的，∠OBF=∠BAD. 再求出四边形CDEF为矩形，所以DE=CF=5，从而得到AD=AE+ED=50cm．
本题重点考查切线的判定和性质，三角函数，解题关键是根据已知和所求问题，合理作出辅助线．是很好的中考题．
24.【答案】解：(1)对于直线y=12x，当x=0时，y=0，
∴直线l1与x轴交于O(0,0)．
∵将直线l1沿y轴向下平移4个单位长度，得到直线l3，
∴直线l3的解析式为y=12x−4．
当y=0时，有12x−4=0，解得x=8．
∴l3与x轴的交点E的坐标为(8,0)．
∴直线l1在平移至直线l3的过程中与x轴交点的横坐标的取值范围为0≤x≤8；
(2)把x=2代入y=12x，得y=1．
∴点A的坐标为(2,1)．
由(1)知l3：y=12x−4．
将y=−2代入y=12x−4，得−2=12x−4，
解得x=4，
∴点C的坐标为(4,−2)．
设直线l2的解析式为y=kx+b．
∵直线l2过点A(2,1)，C(4,−2)，
∴2k+b=14k+b=−2，
解得k=−32b=4，
∴直线l2的解析式为y=−32x+4；
(3)∵直线l3绕点C逆时针旋转90°得到的直线与x轴交于点F，与直线l1交于点G，
∴∠FCE=90°，
∵∠BOE=90°，
∴∠CFE+∠CEF=∠OBE+∠CEF=90°，
∴∠CFE=∠OBE．
∵∠OFG=∠CFE，
∴∠OFG=∠OBE．
∵E的坐标为(8,0)，
∴OE=8，
对于直线y=12x−4，当x=0时，y=−4，
即点B的坐标为(0,−4)，
∴OB=4，
在Rt△OBE中，tan∠OBE=OEOB=2．
∴tan∠OFG=2，
即∠OFG的正切值为2．
【解析】(1)求出直线l1与x轴交于O(0,0).根据将直线l1沿y轴向下平移4个单位长度，得到直线l3的解析式为y=12x−4.当y=0时，有12x−4=0，解得x=8.得到l3与x轴的交点E的坐标为(8,0).即可得到答案；
(2)先求出点A的坐标为(2,1)和点C的坐标为(4,−2)，再利用待定系数法求出直线l2的解析式即可；
(3)先证明∠OFG=∠OBE.由点E的坐标知OE=8，再求出点B的坐标为(0,−4)，得到OB=4，得到tan∠OBE=OEOB=2，即可得到∠OFG的正切值．
此题考查了一次函数的图象和性质、旋转的性质、锐角三角形函数、一次函数的平移、待定系数法求一次函数解析式等知识，熟练掌握旋转和平移的性质是解题关键．
25.【答案】解：(1)由题意可得：A(−6,2)，D(6,2)，
又∵E(0,8)是抛物线的顶点，
设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+8，将A(−6,2)代入，
(−6)2a+8=2，
解得：a=−16，
∴抛物线对应的函数表达式为y=−16x2+8；
(2)(ⅰ)∵点P1的横坐标为m(0∴P2的坐标为(m,−16m2+8)，
∴P1P2=P3P4=MN=−16m2+8，P2P3=2m，
∴l=3(−16m2+8)+2m=−12m2+2m+24=−12(m−2)2+26，
∵−12<0，
∴当m=2时，l有最大值为26，
即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l=−12m2+2m+24，l的最大值为26；
(ⅱ)方案一：设P2P1=n，则P2P3=18−3n，
∴矩形P1P2P3P4面积为(18−3n)n=−3n2+18n=−3(n−3)2+27，
∵−3<0，
∴当n=3时，矩形面积有最大值为27，
此时P2P1=3，P2P3=9，
令−16x2+8=3，
解得：x=± 30，
∴此时P1的横坐标的取值范围为− 30+9≤P1横坐标≤ 30，
方案二：设P2P1=n，则P2P3=18−2n2=9−n，
∴矩形P1P2P3P4面积为(9−n)n=−n2+9n=−(n−92)2+814，
∵−1<0，
∴当n=92时，矩形面积有最大值为814，
此时P2P1=92，P2P3=92，
令−16x2+8=92，
解得：x=± 21，
∴此时P1的横坐标的取值范围为− 21+92≤P1横坐标≤ 21．
【解析】(1)通过分析A点坐标，利用待定系数法求函数解析式；
(2)(ⅰ)结合矩形性质分析得出P2的坐标为(m,−16m2+8)，然后列出函数关系式，利用二次函数的性质分析最值；
(ⅱ)设P2P1=n，分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，从而利用数形结合思想确定取值范围．
本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，利用数形结合思想解题是关键．
26.【答案】解：(1)∵BD=13BC，
由旋转性质可得：BD=DE，
设BD=13BC=a，
∴BC=3a，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC= 22BC=3 22a，
∴EC=a，BE=2a，
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴CF= 22a，
∴AF= 2a，
∴AFBE= 22；
(2)①AFBE= 22仍然成立．
理由：∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠ECF=45°，CFCE= 22，
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠BCA=45°，CACB= 22，
∴∠ECF=∠BCA，CFCE=CACB，
∴∠ACF+∠ACE=∠BCE+∠ACE．
∴∠ACF=∠BCE，
∵CFCA=CECB，
∴△CAF∽△CBE，
∴AFBE=CFCE= 22，
∴AFBE= 22仍然成立．
②补全图形如图所示，AD=CF，

理由：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠BCA=45°，
∵点E恰在AB上，
∴△BDE是等腰直角三角形．
∴BDBE= 22．
由①知∠FAC=∠ABC=45°，AFBE= 22，
∴BD=AF
∵AB=AC，
∴△ABD≌△CAF(SAS)，
∴AD=CF．
【解析】(1)根据等腰直角三角形的性质求解即可；
(2)①根据条件证明△CAF∽△CBE即可得到答案；
②证明△ABD≌△CAF(SAS)即可得到答案．
本题考查了几何问题，涉及到相似三角形、三角形全等等，难度较大，正确理解题意是解题关键．
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2023年河北省沧州市南皮县重点中学中考数学三模试卷-普通用卷

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