2022-2023学年高一数学下学期期末考试全真模拟试卷及答案二（苏教版2019必修第二册）

这是一份2022-2023学年高一数学下学期期末考试全真模拟试卷及答案二（苏教版2019必修第二册），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在锐角三角形中，，则（ ）
A. B. C. D.
2．设复平面上表示和的点分别为点A和点B，则表示向量的复数在复平面上所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限
3．如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（ ）
A. 8B. 10C. 12D.
4．魔方又叫鲁比克方块（Rubk's Cube），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克·艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议．三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边缘方块的概率为（ ）
A. B. C. D.
5．已知向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
6．如图，已知直四棱柱的底面ABCD为直角梯形，，，且，，P，O，E分别为，AD，PC的中点，为正三角形，则三棱锥E-POB的体积为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
7．已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若，则的最大值为（ ）
A. B. C. 1D.
8．泰州基督教堂，始建于清光绪二十八年，位于泰州市区迎春东路185号，市人民医院北院对面，总建筑面积2500多平方米.2017年被认定为省四星级宗教活动场所.小明同学为了估算泰州基督教堂的高度，在人民医院北院内找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算泰州基督教堂的高度为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．某校组织全体学生参加了“喜迎二十大，结合中华传统文化与楚文化的创新突破”的剧本创作大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（ ）

A. 在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有160人
B. 图中x的值为0.020
C. 估计全校学生成绩的平均分约为83
D. 估计全校学生成绩的80%分位数为95
10．已知向量，满足，，则与的夹角可以为（ ）
A. B. C. D.
11．的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则是直角三角形
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，则是等腰三角形
D. 若，则是直角三角形
12．如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为，直线与圆的另一个交点为，且点满足.记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，则下列说法不一定正确的是（ ）

A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，复数满足，则______
14.已知，则________.
15.为了解某大学射击社团的射击水平，分析组用分层抽样的方法抽取了6名老学员和2名新学员的某次射击成绩进行分析，经测算，6名老学员的射击成绩样本均值为8（单位：环），方差为（单位：环2）；2名新学员的射击成绩分别为3环和5环，则抽取的这8名学员的射击成绩的方差为______环2.
16．已知菱形的边长为2，.将沿折起，使得点至点的位置，得到四面体.当二面角的大小为120°时，四面体的体积为___________；当四面体的体积为1时，以为球心，的长为半径的球面被平面所截得的曲线在内部的长为_______________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知四边形的顶点坐标为，，，且（）.
（1）若点在第一象限，求实数的取值范围；
（2）若点为直线外一点，且，问实数为何值时，点恰为四边形对角线的交点.
18．已知
（1）求的值；
（2）求的值.
19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为线段上的动点，为线段的中点.
（1）若为线段中点，证明：平面平面；
（2）若平面，试确定点的位置，并说明理由.
20．北京时间2022年6月5日，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F遥十四运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，约577秒后，神舟十四号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将陈冬、刘洋、蔡旭哲3名航天员送入太空，顺利进入天和核心舱．为激发广大学生努力学习科学文化知识的热情，某校团委举行了一场名为”学习航天精神，致航空英雄”的航天航空科普知识竞赛，满分100分，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40，90]之间，其得分的频率分布直方图如图所示．
（1）根据频率分布直方图，求这100名同学得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）用分层抽样的方法从得分在[60，70），[70，80），[80，90]这三组中选6名学生，再从这6名学生中随机选取2名作为代表参加团委座谈会，求这2名学生的得分不在同一组的概率．
21．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知______.
（1）求角C的大小；
（2）若点D在AB边上，且，，求的值.
22．刍（chú）甍（méng）是几何体中的一种特殊的五面体.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.求积术日：倍下表，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶”现有一个刍甍如图所示，四边形为长方形，平面，和是全等的等边三角形.
（1）求证：；
（2）若已知，
①求二面角的余弦值；
②求该五面体的体积.
2022-2023学年高一数学下学期期末考试全真模拟试卷02
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在锐角三角形中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在锐角三角形中，，由正弦定理得，
又，所以，且，故.
故选：A.
2．设复平面上表示和的点分别为点A和点B，则表示向量的复数在复平面上所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】复平面上表示和的点分别为点A和点B，
则，所以，
所以向量的复数在复平面上所对应的点位于第一象限.
故选：A.
3．如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（ ）
A. 8B. 10C. 12D.
【答案】B
【解析】由题设知：原四边形中且，
所以原四边形为平行四边形，
而，则原四边形中，故，
综上，四边形的周长为.
故选：B
4．魔方又叫鲁比克方块（Rubk's Cube），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克·艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议．三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边缘方块的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】沿等分线把正方体切开得到同样大小的小正方体共有27个，
其中有3个面涂色的小正方体共有8个，
只有2个面涂色的小正方体共有12个，
只有1个面涂色的小正方体共有6个，
所以恰好抽到只有2个面有色的小正方体的概率为．
故选：C．
5．已知向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得：，整理得，即
∴
故选：C．
6．如图，已知直四棱柱的底面ABCD为直角梯形，，，且，，P，O，E分别为，AD，PC的中点，为正三角形，则三棱锥E-POB的体积为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】因为P，O分别为，AD的中点，
所以由直棱柱的性质知平面ABCD，
又为正三角形，，
所以．
连接CO，如图，
在直角梯形ABCD中，易知．
因为E为PC的中点，
所以，
故选：C
7．已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若，则的最大值为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】由圆O是△ABC的外接圆，且，故，
所以，则，
所以，故反向共线时最大，
所以.
故选：C
8．泰州基督教堂，始建于清光绪二十八年，位于泰州市区迎春东路185号，市人民医院北院对面，总建筑面积2500多平方米.2017年被认定为省四星级宗教活动场所.小明同学为了估算泰州基督教堂的高度，在人民医院北院内找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算泰州基督教堂的高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在中，，
，
所以，
在中，，，
，
由正弦定理可得即，
所以，
中，，
所以估算泰州基督教堂的高度为，
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．某校组织全体学生参加了“喜迎二十大，结合中华传统文化与楚文化的创新突破”的剧本创作大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（ ）

A. 在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有160人
B. 图中x的值为0.020
C. 估计全校学生成绩的平均分约为83
D. 估计全校学生成绩的80%分位数为95
【答案】AD
【解析】由所给频率分布直方图可知，
抽取的学生成绩在区间内的频率为，
∴成绩在区间内的学生有人，故A正确；
由，得，故B错误；
抽取的学生的平均分为，
估计全校的平均分为84，故C错误；
设抽取学生成绩分位数为m，则，解得，
估计全校学生成绩的分位数为95，故D正确．
故选:AD．
10．已知向量，满足，，则与的夹角可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】因为，则，且，则，
所以，即，则，又因为，
即，设与的夹角为，则，即，
且，则，所以，则与的夹角可以为，.
故选：AB
11．的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则是直角三角形
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，则是等腰三角形
D. 若，则是直角三角形
【答案】AD
【解析】对于A，由正弦定理及得：，而，即，则，
又，解得，是直角三角形，A正确；
对于B，取，a，b，c能围成三角形，且，而，
即角A钝角，是钝角三角形，B不正确；
对于C，在中，取，满足，不是等腰三角形，C不正确；
对于D，由射影定理及已知得：，即，而，解得，是直角三角形，D正确.
故选：AD
12．如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为，直线与圆的另一个交点为，且点满足.记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，则下列说法不一定正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
如图所示，连接EF、BE、BF，过B作BD∥AC，交圆于D点，
∵E、F分别为PA、PC的中点，∴EF∥AC∥BD，BD即面EFB与面ABC的交线l，
由题意易知：BC⊥BD，PC⊥BD，面PBC，则BD⊥面PBC，而面PBC，则BD⊥BF，即二面角的大小，
∴；
由Q满足，过D作DQ∥PC，使DQ=CF即可，则DQ⊥面ABC，
结合题意此时四边形CDQF为矩形，则直线与平面所成的角，
即；
过Q作QG∥BD，且QG=BD，连接BG、FG、PG，显然EF∥QG，此时四边形BFPG为平行四边形，PG=FB，
则异面直线与所成的角，结合上面说明得QG⊥面PBC，
而面PBC，则QG⊥PG，即.
∴，即A正确；
及，即B、C错误；
即D错误；
故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，复数满足，则______
【答案】
【解析】，
则，故.
故答案为：
14.已知，则________.
【答案】##
【解析】因为，
则.
故答案为：.
15.为了解某大学射击社团的射击水平，分析组用分层抽样的方法抽取了6名老学员和2名新学员的某次射击成绩进行分析，经测算，6名老学员的射击成绩样本均值为8（单位：环），方差为（单位：环2）；2名新学员的射击成绩分别为3环和5环，则抽取的这8名学员的射击成绩的方差为______环2.
【答案】##
【解析】记6名老学员射击环数分别为，8名学员的射击成绩的平均数和方差分别为.
由题可知，
则
所以
故答案为：
16．已知菱形的边长为2，.将沿折起，使得点至点的位置，得到四面体.当二面角的大小为120°时，四面体的体积为___________；当四面体的体积为1时，以为球心，的长为半径的球面被平面所截得的曲线在内部的长为_______________.
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
如图1，过点P作PF⊥CO交CO的延长线于点F，则∠POF=60°，
因为菱形的边长为2，，
所以，，
故四面体的体积为；
当四面体的体积为1时，此时，
解得：，，即O，F两点重合，
即PO⊥底面BCD，如图2，
以为球心，的长为半径的球面被平面所截得的曲线为以O为圆心，半径为的圆，
落在内部的长为圆周长的一半，所以长度为.
故答案为：，
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知四边形的顶点坐标为，，，且（）.
（1）若点在第一象限，求实数的取值范围；
（2）若点为直线外一点，且，问实数为何值时，点恰为四边形对角线的交点.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）因为，，所以，
设点的坐标为，则，
而（），所以解得
因为点在第一象限，所以.
（2）由得，即，
若点恰为四边形对角线的交点且（），
根据三角形相似得到，所以.
18．已知
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为，所以，所以，
由，
所以，
所以
.
（2）
.
19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为线段上的动点，为线段的中点.
（1）若为线段中点，证明：平面平面；
（2）若平面，试确定点的位置，并说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）点为线段的三等分点，且靠近点处，理由见解析
【解析】（1）因为底面为正方形，，所以.
因为为线段中点，所以在平面中，.
因为底面底面，所以.
又平面平面，
所以平面.
因为平面，所以.
又平面平面，
所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）如图，连接，交于点，连接.
因为在正方形中，为线段中点，
，所以，即.
因为平面平面，平面平面，
所以，
所以，即，
所以点为线段的三等分点，且靠近点处.
20．北京时间2022年6月5日，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F遥十四运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，约577秒后，神舟十四号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将陈冬、刘洋、蔡旭哲3名航天员送入太空，顺利进入天和核心舱．为激发广大学生努力学习科学文化知识的热情，某校团委举行了一场名为”学习航天精神，致航空英雄”的航天航空科普知识竞赛，满分100分，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40，90]之间，其得分的频率分布直方图如图所示．
（1）根据频率分布直方图，求这100名同学得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）用分层抽样的方法从得分在[60，70），[70，80），[80，90]这三组中选6名学生，再从这6名学生中随机选取2名作为代表参加团委座谈会，求这2名学生的得分不在同一组的概率．
【答案】（1）64.5 （2）
【解析】（1）根据题意知，解得，
所以这100名同学得分的平均数是
答：平均数是64.5．
（2）由条件知从抽取3名，从中抽取2名，从抽取1名，分别记为，
因此样本空间可记为
用A表示“这2名同学的得分不在同一组”，则
A包含样本点的个数为11，
所以
答：这2名同学的成绩分别在各一名的概率是
21．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知______.
（1）求角C的大小；
（2）若点D在AB边上，且，，求的值.
【答案】（1）条件选择见解析， （2）
【解析】（1）选择①因为，结合余弦定理，
得，即，
据正弦定理可得，所以，
又，，
所以，即，
又，所以．
选择②．
因为，结合正弦定理可得，
即，
又，
所以，
即，
又，，故，即，
所以，，
因为，，所以，得．
（2）设，则．
因为，，故，
所以，
在中，据正弦定理可得，即，
在中，同理，
因为，
所以，即，整理得，
所以的值为．
22．刍（chú）甍（méng）是几何体中的一种特殊的五面体.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.求积术日：倍下表，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶”现有一个刍甍如图所示，四边形为长方形，平面，和是全等的等边三角形.
（1）求证：；
（2）若已知，
①求二面角的余弦值；
②求该五面体的体积.
【答案】（1）证明见解析； （2）①；②.
【解析】
（1）五面体中，因为平面，
平面，平面平面，
所以.
（2）过点作，作，垂足分别为，，
过点作，作，垂足分别为，，
连结，，如图，
①由（1）及四边形为长方形知，，
所以，，
所以即为二面角的平面角，
因为，且和是全等的等边三角形，
所以，，
因此，在中，，，
由余弦定理，
得，
故二面角的余弦值为.
②取中点，连结，由知，，
因为，，且，是平面内两相交直线，
所以平面，
因为平面，
所以，又，是平面内两相交直线，
所以平面，
在中，，，可得，
所以，四棱锥和的体积均为，
三棱柱的体积，
所以，该五面体的体积为.