2023高考数学二轮复习专项训练《对数函数》

这是一份2023高考数学二轮复习专项训练《对数函数》，共11页。试卷主要包含了、单选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。


一 、单选题（本大题共13小题，共65分）
1.（5分）下列各式中错误的是( )
A. 0.83>0.73
B. lg1.6>lg1.4
C. lg0.50.4>lg0.50.6
D. 0.75-0.1<0.750.1
2.（5分）已知奇函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x)，若当x∈(-1,1)时，f(x)=≶1+x1-x，且f(2018-a)=1，则实数a的值可以是( )
A. 911B. 119C. -911D. -119
3.（5分）设函数f(x)=lg12(3-x),(x⩽0)f(x-3)+1,(x>0)，则f(20)=( )
A. 3B. 4C. 5D. lg1217
4.（5分）射线测厚技术原理公式为I=I0e-ρμt，其中I0，I分别为射线穿过被测物前后的强度，e是自然对数的底数，t为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241(241Am)低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为 ( )
(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln2≈0.6931，结果精确到0.001)
A. 0.110B. 0.112C. 0.114D. 0.116
5.（5分）已知函数f(x)=lg3(3-x),x<12x+1,x⩾1，则f(-6)+f(lg26)=( )
A. 6B. 8C. 9D. 10
6.（5分）已知a，b为正数，ln(b3a) > 8a-2b，则下列不等式一定成立的是( )
A. 3a bB. b 3aC. a3 bD. b a3
7.（5分）三个数a=0.22，b=lg20.2，c=20.2之间的大小关系是( )
A. a8.（5分）已知函数y=fx与y=ex互为反函数，函数y=gx的图象与y=fx的图象关于x轴对称，若ga=1，则实数a的值为( )
A. 1eB. -1eC. eD. -e
9.（5分）设集合A=，，则A∩B=( )
A. (-2,3) B. (-2,2) C. (0,3) D. (0,2)
10.（5分）已知f(x)=xlg23,(x⩽5)f(x-2),(x>5)，则f(2012)=( )
A. 81B. 9C. 3D. 3
11.（5分）设函数f(x)=≶(4-x)在区间[-1,2]上的最大值和最小值分别为M，m，则M+m=( )
A. lg7B. -1C. 0D. 1
12.（5分）f(x)=-3x+4的反函数是( )
A. f-1(x)=4-x3B. f-1(x)=x-43
C. f-1(x)=x+43D. f-1(x)=x-34
13.（5分）对于a>0，a≠1，下列结论正确的是( )
A. 若M=N，则lgaM=lgaNB. 若lgaM=lgaN，则M=N
C. 若lgaM2=lgaN2，则M=ND. 若M=N，则lgaM2=lgaN2
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知a=lg20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是____________.
15.（5分）已知≶x+≶y=1，则2x+5y的最小值为 ______ ．
16.（5分）lg62+（lg62）（lg63）+（lg63）2=____________．
17.（5分）alg34=3，则4-a=______.
18.（5分）已知n∈N，若n＜lg31024＜n+1，则n=____．
三 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）计算下列各式的值：
(1)(338)-23+(0.002)-12-10(5-2)-1+20(2-3)0 ；
(2)lg327+lg25+lg4+7lg72+lg51.
20.（12分）已知单位向量e1→、e2→夹角为60°，向量a→=xe1→+e2→，b→=23e1→+23e2→，函数g(x)=a→.b→，函数f(x)=lg2g(x)-lg2g(-x)．
(1)求出g(x)并解方程f(x)=1；
(2)设x∈(-1,1)，a∈(1,+∞)，证明ax-1a-x∈(-1,1)，求出f(ax-1a-x)-f(x)；
(3)设数列{an}中，a1∈(-1,1)，an+1=(-1)n+13an-13-an，n∈N*，求a1的取值范围，使a3⩾an对任意n∈N*成立．
21.（12分）已知lgax+3lgxa-lgxy=3(a>1)，若设x=at，试用a，t表示y.
22.（12分）计算：
(1)12-1-350+94-0.5+[4](2-e)4；
(2)lg 500+lg85-12lg 64+50×(lg 2+lg 5)2.
23.（12分）已知函数f(x)=x24+x2+lg2x.
(1)求f(x)+f(4x)的值；
(2)求f(12)+f(1)+f(4)+f(8)+f(2020)+f(1505)的值．
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】解：根据幂函数的单调性可知0.83>0.73正确；根据对数函数的单调性可知lg1.6>lg1.4和lg0.50.4>lg0.50.6都正确；
根据指数函数的单调性可知0.75-0.1>0.750.1．
故选：D．
根据幂函数、指数函数和对数函数的单调性对每个选项的式子进行判断即可．
考查幂函数、指数函数和对数函数的单调性，以及增函数、减函数的定义．
2.【答案】A;
【解析】
解：根据题意，奇函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x)，则f(x)=f(2-x)，
则f(-x)=f(2+x)=-f(x)，
则f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，故函数f(x)是周期为4的周期函数，
则f(2018-a)=f(2-a)，
又由f(x)=f(2-x)，则f(2018-a)=f(2-a)=f(a)，
当x∈(-1,1)时，f(x)=≶1+x1-x，若f(x)=1，即1+x1-x=10，
解可得：x=911，
∴a的值可以为911，
故选：A．

根据题意，由函数的奇偶性以及f(x+1)=f(1-x)分析可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，故函数f(x)是周期为4的周期函数，据此可得f(2018-a)=f(2-a)=f(a)，结合函数的解析式求出当x∈(-1,1)时，f(x)=1的解，据此分析可得答案．
此题主要考查函数的奇偶性与周期性的应用，属于一般题．
3.【答案】C;
【解析】
此题主要考查分段函数求函数值，注意自变量的范围，属于简单题．
根据函数的解析式将f(20)逐步化为：f(-1)+7后，代入解析式由对数的运算性质求值．
解：∵函数f(x)=lg12(3-x),(x⩽0)f(x-3)+1,(x>0)，
∴f(20)=f(17)+1=f(14)+2
=f(11)+3=…=f(2)+6
=f(-1)+7=lg124+7=5，
故选：C.
4.【答案】C;
【解析】
此题主要考查了函数模型的应用及对数运算，属于基础题.
根据I=I0e-ρμt计算出各值代入计算即可.

解：由题意这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，故t=0.8，
已知ρ=7.6，
则I=I0e-ρμt =I0×e-7.6×μ×0.8，
而半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，
得I=12I0，
故得μ≈0.114.
故选C.
5.【答案】C;
【解析】解：根据题意，函数f(x)=lg3(3-x),x<12x+1,x⩾1，
则f(-6)=lg3[3-(-6)]=lg39=2，
f(lg26)=2lg26+1=7，
则f(-6)+f(lg26)=2+7=9；
故选：C．
根据题意，由函数的解析式求出f(-6)与f(lg26)的值，相加即可得答案．
该题考查分段函数函数值的计算，注意分段函数解析式的形式，属于基础题．
6.【答案】A;
【解析】
此题主要考查指数函数及对数函数的性质，考查推理能力，属于中档题.
由已知可得lnb+2b>ln(3a)+23a，则令f(x)=lnx+2x，可得f(x)在(0,+∞)上单调递增，由此分析得结论.
解：由题意不等式ln(b3a)>8a-2b等价于
lnb+2b>ln(3a)+23a，
令f(x)=lnx+2x，
根据指数函数与对数函数的性质可知函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，
又f(b)>f(3a)，
则b>3a.
故选A.
7.【答案】C;
【解析】解：∵0<0.22<1，lg20.2<0，20.2>1，
∴01．
故b故选：C．
根据指数函数，对数函数和幂函数的性质求出a，b，c的取值范围即可比较大小．
这道题主要考查函数值的大小比较，利用指数函数，对数函数和幂函数的性质确定a，b，c的取值范围是解决本题的关键．
8.【答案】A;
【解析】
此题主要考查反函数的知识，是基础题．
根据反函数的定义，求出函数y=f(x)，利用函数y=g(x)的图象与y=f(x)图象关于x轴对称，求出a的值．

解：据题意可得f(x)=lnx，
由于f(x)=lnx和y=g(x)的图象关于x轴对称，
故g(x)=-lnx，
由g(a)=-lna=1⇒a=1e，
故选A.

9.【答案】D;
【解析】
此题主要考查集合的交集运算，考查不等式求解，考查学生计算能力，属于基础题.
解一元二次不等式以及对数不等式，得到集合A，B再利用交集运算求出结果.

解：因为x2-4<0，所以-2因为lg3x<1，所以0所以A∩B=(0,2)；
故选D.
10.【答案】B;
【解析】解：∵x>5时，f(x)=f(x-2)，
∴f(2012)=f(2×1003+6)=f(2×1003+6-2)=f(4)，
∵4<5，∴f(4)=4lg23=22lg23=32．
∴f(2012)=9．
故选B．
利用分段函数在不同区间内的解析式不同即可计算出函数值．
正确理解分段函数的意义是解答该题的关键．
11.【答案】D;
【解析】解：函数f(x)在[-1,2]递减，
故f(x)的最大值是f(-1)=lg5=M，
f(x)的最小值是f(2)=lg2=m，
故M+m=lg5+lg2=lg10=1，
故选：D．
根据函数的单调性求出函数的最值，求和即可．
该题考查了对数函数的性质，考查对数的运算，是一道常规题．
12.【答案】A;
【解析】略
13.【答案】B;
【解析】解：A、当M=N⩽0时，对数无意义，故A不对；
B、因为对数的底数和真数分别相等，所以对应的对数相等，故B正确；
C、比如当M2=22，N2=(-2)2时，有lgaM2=lgaN2，但是M≠N，故C不对；
D、当M=N=0时，对数无意义，故D不对．
故选：B.
根据对数的底数和真数分别相等时对应的对数相等，利用真数大于零举反例进行说明．
此题主要考查了对数相等的判断方法，即底数和真数都相等，注意真数的取值范围的利用．
14.【答案】a【解析】此题主要考查了比较大小，以及根据函数的单调性进行判定，属于基础题．利用对数函数的单调性将a与零进行比较，利用指数函数的单调性将b、c与1进行比较即可．解：∵a=lg20.3b=20.1>20=1
0故答案为a

15.【答案】20;
【解析】解：≶x+≶y=1，可得，xy=10，x，y>0．
则2x+5y⩾210xy=20.当且仅当x=y=10时，函数取得最小值．
故答案为：20．
利用对数求出x，y的方程，然后利用基本不等式求解表达式的最小值即可．
该题考查基本不等式求解表达式的最值，对数的运算法则的应用，考查计算能力．
16.【答案】1;
【解析】解：lg62+（lg62）（lg63）+（lg63）2=lg62+（lg62+lg63）lg63=lg62+lg63=1
故答案为：1
17.【答案】;
【解析】解：∵alg34=3，∴a=3lg34=3lg43=lg427，
∴4-a=14a=14lg427=127，
故答案为：127.
利用对数的运算性质求解．
此题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
18.【答案】6;
【解析】解：∵lg31024＞lg336=6，lg31024＜lg337=7，
又n＜lg31024＜n+1，
∴n=6．
故答案为：6
19.【答案】解：(1)原式=278-23+1500-12-105-2+20
=23-3×-23+50012-105+2+20
=232+105-105-20+20
=49.
(2)原式=lg3332+lg 25× 4+2+0.
=32+2+2
=112.;
【解析】此题主要考查了指数与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
(1)根据指数幂的运算法则求解；
(2)根据对数运算法则求解.
20.【答案】解：(1)单位向量e1→、e2→夹角为60°，可得e1→⋅e2→=1×1×cs60°=12，
函数g(x)=a→.b→=(xe1→+e2→)⋅(23e1→+23e2→)=23xe12→+23e22→+(23x+23)e1→⋅e2→=23x+23+13x+13=x+1，
则f(x)=lg2g(x)-lg2g(-x)=lg2(x+1)-lg2(-x+1)=lg21+x1-x，
由f(x)=1，即lg21+x1-x=1，解得1+x1-x=2，解得x=13；
(2)证明：x∈(-1,1)，a∈(1,+∞)，即-11，即x2-1<0，a2-1>0，
由(ax-1a-x+1)(ax-1a-x-1)=(a-1)(x+1)(x-1)(a+1)(x-a)2=(a2-1)(x2-1)(a-x)2<0，
可得ax-1a-x∈(-1,1)，
f(ax-1a-x)-f(x)=lg21+ax-1a-x1-ax-1a-x-lg21+x1-x=lg2(a-1)(x+1)(a+1)(1-x)-lg21+x1-x=lg2a-1a+1；
(3)令t=a1∈(-1,1)，由an+1=(-1)n+13an-13-an，n∈N*，
可得a2=3t-13-t，a3=-3a2-13-a2=5t-33t-5，a4=3a3-13-a3=3t-1t-3，a5=-3a4-13-a4=t=a1，a6=a2，…，
即数列{an}为最小正周期为4的数列，
a3⩾an对任意n∈N*成立，可得a3⩾a1，即5t-33t-5⩾t，解得-1又a3⩾a4，即5t-33t-5⩾3t-1t-3，解得-1又a3⩾a2，即5t-33t-5⩾3t-13-t，当-10，3t-13-t⩽0，a3⩾a2成立．
综上可得，a1的取值范围为(-1,13]，使a3⩾an对任意n∈N*成立．;
【解析】该题考查函数的解析式的求法和性质，考查向量数量积的定义和性质，考查数列的周期性的判断和运用，以及数列不等式恒成立思想，考查运算能力和推理能力，属于难题．
(1)由向量的数量积的定义求得e1→⋅e2→=1×1×cs60°=12，结合向量数量积的性质，可得g(x)的解析式；运用对数的运算性质和对数方程解法可得所求解；
(2)运用不等式的性质，计算(ax-1a-x+1)(ax-1a-x-1)，判断符号，即可得证；由对数的运算性质可得f(ax-1a-x)-f(x)；
(3)令t=a1∈(-1,1)，由数列的递推式，计算判断数列{an}的周期性，可得最小正周期为4，考虑数列的前四项，结合恒成立思想，解不等式可得所求范围．
21.【答案】解：由换底公式，得lgax+3lgax-lgaylgax=3(a>1)，
所以lgay=(lgax)2-3lgax+3.
当x=at时，lgax=lgaat=t(t≠0)，
所以lgay=t2-3t+3.
所以y=at2-3t+3(t≠0).;
【解析】此题主要考查对数的运算问题，属于基础题.
首先对等式lgax+3lgxa-lgxy=3利用换底公式化简为(lgax)2-3lgax+3=lgay，然后由x=at，即t=lgax代入化简即可．
22.【答案】解：1 12-1-350+94-0.5+42-e4
=2+1-1+23+e-2=23+e.
(2)lg500+lg85-12lg64+50(lg2+lg5)2
=lg5+2+3lg2-lg5-3lg2+50(lg10)2
=lg5+2+3lg2-lg5-3lg2+50=52.;
【解析】此题主要考查对数运算法则的应用，有理数指数幂的运算法则的应用，考查计算能力，属基础题.
(1)直接利用有理数指数幂的运算法则化简求解即可．
(2)利用对数运算法则化简求解即可．
23.【答案】解：(1)因为f(x)=x24+x2+lg2x，
所以f(4x)=4x24+4x2+lg24x
=4x2+4+2-lg2x，
所以f(x)+f(4x)=1+2=3；
(2)f(12)+f(1)+f(4)+f(8)+f(2020)+f(1505)
=[f(12)+f(8)]+[f(1)+f(4)]+[f(2020)+f(1505)]
=3×3=9.;
【解析】此题主要考查对数的运算以及函数求值，属于基础题.
(1)直接代入解析式，结合对数的运算性质计算，即可得到f(x)+f(4x)的值；
(2)运用结合f(x)+f(4x)=3求解，即可得到答案.