2022北京东直门中学初三一模数学（教师版）

这是一份2022北京东直门中学初三一模数学（教师版），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022北京东直门中学初三一模
数 学
一、选择题（每题只有一个正确答案，共8道小题，每小题2分，共16分）
1. 在疫情防控的特殊时期，为了满足初三高三学生的复习备考需求，北京市教委联合北京卫视共同推出电视课堂节目《老师请回答特别节目“空中课堂”》，在节目播出期间．全市约有200000名师生收看了节目．将200000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
2. 如图是某个几何体的平面展开图，该几何体是( )

A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是（　　）
A. B. C. D.
4. 下列各组图形中，能将其中一个图形经过平移变换得到另一个图形的是（ ）
A B.
C. D.
5. 如图，实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )

A. B. C. D.
6. 如果那么代数式的值是（ ）
A. B. C. D.
7. 在平面直角坐标系中，点的图象如图所示，则的值可以为（ ）

A. B. C. D.
8. 改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变，近年来，移动支付已成为主要的支付方式之一，为了解某校学生上个月两种移动支付方式的使用情况，从全校名学生中随机抽取了人，发现样本中两种支付方式都不使用的有人，样本中仅使用种支付方式和仅使用种支付方式的学生的支付金额(元)的分布情况如下：
支付金额（元）
支付方式



仅使用
人
人
人
仅使用
人
人
人
下面有四个推断：
①从样本中使用移动支付的学生中随机抽取一名学生，该生使用A支付方式的概率大于他使用B支付方式的概率；
②根据样本数据估计，全校1000名学生中．同时使用A、B两种支付方式的大约有400人；
③样本中仅使用A种支付方式的同学，上个月的支付金额的中位数一定不超过1000元；
④样本中仅使用B种支付方式的同学，上个月的支付金额的平均数一定不低于1000元．其中合理的是（ ）
A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④
二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）
9. 如果二次根式有意义，那么实数a的取值范围是______．
10. 因式分解：________．
11. 若某个正多边形的一个内角为，则这个正多边形的内角和为_________．
12. 如图，双曲线与直线y＝mx交于A，B两点，若点A的坐标为（2，3），则点B的坐标为_______．

13. 某班甲、乙、丙三名同学20天的体温数据记录如下表：
甲的体温
乙的体温
丙的体温
温度（℃）
36.1
36.4
36.5
36.8
温度（℃）
36.1
36.4
36.5
36.8
温度（℃）
36.1
36.4
36.5
36.8
频数
5
5
5
5
频数
6
4
4
6
频数
4
6
6
4
则在这20天中，甲、乙、丙三名同学的体温情况最稳定的是________．
14. 如图将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD翻折，点C的对应点为C′，AD与BC′交于点E，若∠ABE＝30°，BC＝3，则DE的长度为_____．

15. 为了做到合理用药，使药物在人体内发挥疗效作用，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间．某成人患者在单次口服1单位某药后，体内血药浓度及相关信息如图：

根据图中提供的信息，下列关于成人患者使用该药物的说法中：
①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥疗效作用；
②每间隔4小时服用该药物1单位，可以使药物持续发挥治疗作用；
③每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2.5小时，不会发生药物中毒．
所有正确的说法是_____．
16. 一个袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中．
（1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是_____．
（2）若乙盒中最终有5个红球，则袋中原来最少有______个球．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，第小题5分；第23-26题，第小题6分；第27-28题，每小题7分）
17. 计算：.
18. 解方程：．
19. 下面是小方设计的“作一个30°角”的尺规作图过程．
已知：直线AB及直线AB外一点P．
求作：直线AB上一点C，使得∠PCB＝30°．
作法：
①在直线AB上取一点M；
②以点P为圆心，PM为半径画弧，与直线AB交于点M、N；
③分别以M、N圆心，PM为半径画弧，在直线AB下方两弧交于点Q．
④连接PQ，交AB于点O．
⑤以点P为圆心，PQ为半径画弧，交直线AB于点C且点C在点O的左侧．则∠PCB就是所求作的角．
根据小方设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵PM＝PN＝QM＝QN，
∴四边形PMQN是　 　．
∴PQ⊥MN，PQ＝2PO（　 　）．（填写推理依据）
∵在Rt△POC中，sin∠PCB＝＝　 　（填写数值）
∴∠PCB＝30°．

20. 关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
21. 如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，且AO＝BO．

（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）∠ADB的角平分线DE交AB于点E，当AD＝3，tan∠CAB＝时，求AE的长．
22. 某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生理指标，，于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取20人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图如下：

注“●”表示患者，“▲”表示非患者．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这40名被调查者中，
①指标低于0．4的有　　人；
②将20名患者的指标的平均数记作，方差记作，20名非患者的指标的平均数记作，方差记作，则 ， (填“>”，“=”或“0)与x轴、y轴分别交于点F，G．若线段FG与⊙O满足限距关系，求b的取值范围；
(3)⊙O的半径为r(r>0)，点H，K是⊙O上的两个点，分别以H，K为圆心，1为半径作圆得到⊙H和¤K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r的取值范围．

参考答案
一、选择题（每题只有一个正确答案，共8道小题，每小题2分，共16分）
1. 在疫情防控的特殊时期，为了满足初三高三学生的复习备考需求，北京市教委联合北京卫视共同推出电视课堂节目《老师请回答特别节目“空中课堂”》，在节目播出期间．全市约有200000名师生收看了节目．将200000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式．其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】将200000用科学记数法表示应为2×105，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
2. 如图是某个几何体的平面展开图，该几何体是( )

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征作答．
【详解】由侧面是3个矩形，上下为2个三角形，可得该几何体为三棱柱
故选：D．
【点睛】此题主要考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的平面展开图的特征是解决此类问题的关键．
3. 下列运算正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂乘除法的运算法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则即可求解；
【详解】解：，A准确；
，B错误；
，C错误；
，D错误；
故选A．
【点睛】本题考查实数和整式的运算；熟练掌握同底数幂乘除法的运算法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则是解题的关键．
4. 下列各组图形中，能将其中一个图形经过平移变换得到另一个图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移的性质，再结合图形逐项排查即可解答．
【详解】解：A、图形的大小发生变化，不符合平移的性质，不属于平移得到，不符合题意；
B、图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到，符合题意；
C、图形的方向发生变化，不符合平移的性质，不属于平移得到，不符合题意；
D、图形由轴对称得到，不属于平移得到，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，掌握平移的性质是解题的关键．
5. 如图，实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】观察数轴得到实数a，b，c的取值范围，根据实数的运算法则进行判断即可.
【详解】∵−3＜a＜−2，∴2＜|a|＜3，故A选项错误；
∵1＜b＜2，∴﹣2＜﹣b＜﹣1，故B选项正确；
∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a＜﹣b，故Ｃ选项正确；a＋b＜0，故D选项错误．
故选C.
【点睛】本题主要考查数轴、绝对值以及实数及其运算，学会观察数轴是解题的关键.
6. 如果那么代数式的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出a2＋a＝1，整体代入计算可得．
【详解】原式＝
=
=，
∵a2＋a−1＝0，
∴a2＋a＝1，
则原式＝＝3，
故选：A．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
7. 在平面直角坐标系中，点的图象如图所示，则的值可以为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别将，两点的横坐标代入，由图像知，时的函数值，当时，的函数值，列出不等式组，即可求解．
【详解】解：将代入中时，得：，将代入中时，得：，
根据图像可知，时的函数值，当时，的函数值，
则有： ，解得：，
故选B．
【点睛】本题考查二次函数，难度一般，熟练掌握二次函数的图像性质即可顺利解题．
8. 改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变，近年来，移动支付已成为主要的支付方式之一，为了解某校学生上个月两种移动支付方式的使用情况，从全校名学生中随机抽取了人，发现样本中两种支付方式都不使用的有人，样本中仅使用种支付方式和仅使用种支付方式的学生的支付金额(元)的分布情况如下：
支付金额（元）
支付方式



仅使用
人
人
人
仅使用
人
人
人
下面有四个推断：
①从样本中使用移动支付的学生中随机抽取一名学生，该生使用A支付方式的概率大于他使用B支付方式的概率；
②根据样本数据估计，全校1000名学生中．同时使用A、B两种支付方式的大约有400人；
③样本中仅使用A种支付方式的同学，上个月的支付金额的中位数一定不超过1000元；
④样本中仅使用B种支付方式的同学，上个月的支付金额的平均数一定不低于1000元．其中合理的是（ ）
A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】由题意根据概率公式、样本估计总体思想的运用、中位数和平均数的定义逐一判断可得．
【详解】解：①从样本中使用移动支付的学生中随机抽取一名学生，该生使用A支付方式的概率为
，使用B支付方式的概率为，此推断合理；
②根据样本数据估计，全校1000名学生中，同时使用A，B两种支付方式的大约有（人），此推断合理；
③样本中仅使用A种支付方式的同学，第15、16个数据均落在0＜a≤1000，所以上个月的支付金额的中位数一定不超过1000元，此推断合理；
④样本中仅使用B种支付方式的同学，上个月的支付金额的平均数无法估计，此推断不正确．
故推断正确的有①②③.
故选：C．
【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握熟练概率公式、样本估计总体思想的运用、中位数和平均数的定义．
二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）
9. 如果二次根式有意义，那么实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得，即可求得实数a的取值范围．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
10. 因式分解：________．
【答案】a(a+1)(a-1)
【解析】
【分析】先找出公因式，然后提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：


故答案为：.
【点睛】本题考查了用提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键．
11. 若某个正多边形的一个内角为，则这个正多边形的内角和为_________．
【答案】540°
【解析】
【分析】通过内角求出外角，利用多边形外角和360度，用360°除以外角度数即可求出这个正多边形的边数即可解答．
【详解】解：∵正多边形的每个内角都相等，且为108°，
∴其一个外角度数为180°-108°=72°，
则这个正多边形的边数为360÷72=5，
∴这个正多边形的内角和为108°×5=540°．
故答案为：540°．
【点睛】本题主要考查了多边形内角与外角公式，求正多边形的边数时，内角转化为外角，利用外角和360°知识求解更简单．
12. 如图，双曲线与直线y＝mx交于A，B两点，若点A的坐标为（2，3），则点B的坐标为_______．

【答案】（-2，-3）
【解析】
【分析】根据反比例函数的中心对称性判断即可．
【详解】∵双曲线与直线y＝mx相交于、两点，直线y＝mx过原点，
∴A、B两点关于原点对称，
∴A点坐标为（2，3），
∴点B的坐标为：（）
故答案为：（）．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质·，熟练掌握反比例函数的中心对称性是解题关键．
13. 某班甲、乙、丙三名同学20天的体温数据记录如下表：
甲的体温
乙的体温
丙的体温
温度（℃）
36.1
36.4
36.5
36.8
温度（℃）
36.1
36.4
36.5
36.8
温度（℃）
36.1
36.4
36.5
36.8
频数
5
5
5
5
频数
6
4
4
6
频数
4
6
6
4
则在这20天中，甲、乙、丙三名同学的体温情况最稳定的是________．
【答案】丙
【解析】
【分析】分别计算平均数和方差后比较即可得到答案．
【详解】解：甲的平均数为：×(36.1×5+36.4×5+36.5×5+36.8×5)=36.45；
乙的平均数为：×(36.1×6+36.4×4+36.5×4+36.8×6)=36.45；
丙的平均数为：×(36.1×4+36.4×6+36.5×6+36.8×4)=36.45；
甲的方差为：
×[5×(36.1-36.45)2+5×(36.4-36.45)2+5×(36.5-36.45)2+5×(36.8-36.45)2]=0.0625；
乙的方差为：
×[6×(36.1-36.45)2+4×(36.4-36.45)2+4×(36.5-36.45)2+6×（36.8-36.45）2]=0.0745；
丙的方差为：
×[4×(36.1-36.45)2+6×(36.4-36.45)2+6×(36.5-36.45)2+4×(36.8-36.45)2]=0.0505；
∵0.0505＜0.0625＜0.0745，
∴在这20天中，甲、乙、丙三名同学的体温情况最稳定的是丙，
故答案：丙．
【点睛】本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14. 如图将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD翻折，点C的对应点为C′，AD与BC′交于点E，若∠ABE＝30°，BC＝3，则DE的长度为_____．

【答案】2．
【解析】
【分析】由∠ABE＝30°，可得∠CBD=∠C'BD=∠EDB=30°，证出BE=2AE，得出DE=BE=2AE，求出AE=1，得出DE=2即可．
【详解】解：∵四边形ABCD矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，AD＝BC＝3，AD∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
由折叠的性质得：∠CBD＝∠C'BD，
∵∠ABE＝30°，
∴BE＝2AE，∠CBD＝∠C'BD＝∠EDB＝30°，
∴DE＝BE＝2AE，
∵AD＝AE+DE＝3，
∴AE+2AE＝3，
∴AE＝1，
∴DE＝2；
故答案为：2．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握翻折变换的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
15. 为了做到合理用药，使药物在人体内发挥疗效作用，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间．某成人患者在单次口服1单位某药后，体内血药浓度及相关信息如图：

根据图中提供的信息，下列关于成人患者使用该药物的说法中：
①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥疗效作用；
②每间隔4小时服用该药物1单位，可以使药物持续发挥治疗作用；
③每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2.5小时，不会发生药物中毒．
所有正确的说法是_____．
【答案】① ②
【解析】
【分析】根据该药物的血药浓度应介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间时，药物在人体内发挥疗效作用，通过观察图象的变化情况即可判断① ②正确，③ 错误．
【详解】解：∵该药物的血药浓度应介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间时，
药物在人体内发挥疗效作用，
∴观察图象的变化情况可知：
① 首次服用该药物1单位约10分钟后，达到最低有效浓度，药物开始发挥疗效作用，
所以① 正确；
② 每间隔4小时服用该药物1单位，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间，可以使药物持续发挥治疗作用，
所以② 正确；
③ 每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2.5小时，会发生药物中毒，
所以③ 错误．
故答案为：① ②．
【点睛】本题考查了函数图象的应用，解决本题的关键是利用数形结合思想．
16. 一个袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中．
（1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是_____．
（2）若乙盒中最终有5个红球，则袋中原来最少有______个球．
【答案】 ①. 红 ②. 20
【解析】
【分析】（1）由题意可知若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的是红球，由此可得答案；
（2）根据题意列出所有取两个球往盒子中放入的情况，然后对每种情况分析即可．
【详解】解：（1）∵如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入丙盒．
∴若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的是红球，
故答案为：红；
（2）根据题意可知，取两个球往盒子中放入有以下4种情况：
①红＋红，则乙盒中红球数加1个；
②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1个；
③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1个；
④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1个；
∵红球和黑球的个数一样，
∴①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机；
∵乙盒中最终有5个红球，
∴①的情况有5次，
∴红球至少有10个，
∵红球、黑球各占一半，
∴黑球至少也有10个，
∴袋中原来最少有20个球，
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查了对立事件和互斥事件，属于基础题．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，第小题5分；第23-26题，第小题6分；第27-28题，每小题7分）
17. 计算：.
【答案】3
【解析】
【分析】根据零指数幂，特殊角三角函数，绝对值和负整数指数幂的运算法则求解即可．
【详解】解：


．
【点睛】本题主要考查了零指数幂，特殊角三角函数，绝对值和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题关键．
18. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】直接找出最简公分母进而去分母解方程求解，最后要检验．
【详解】解：方程两边同乘以3（x-1）得：3x+3（x-1）=2x，

解得
经检验，是原方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程，正确的计算是解题的关键．
19. 下面是小方设计的“作一个30°角”的尺规作图过程．
已知：直线AB及直线AB外一点P．
求作：直线AB上一点C，使得∠PCB＝30°．
作法：
①在直线AB上取一点M；
②以点P为圆心，PM为半径画弧，与直线AB交于点M、N；
③分别以M、N为圆心，PM为半径画弧，在直线AB下方两弧交于点Q．
④连接PQ，交AB于点O．
⑤以点P为圆心，PQ为半径画弧，交直线AB于点C且点C在点O的左侧．则∠PCB就是所求作的角．
根据小方设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵PM＝PN＝QM＝QN，
∴四边形PMQN是　 　．
∴PQ⊥MN，PQ＝2PO（　 　）．（填写推理依据）
∵在Rt△POC中，sin∠PCB＝＝　 　（填写数值）
∴∠PCB＝30°．

【答案】（1）见解析；（2）菱形，菱形对角线互相垂直平分，．
【解析】
【分析】（1）根据图中所给的作图步骤，补全图形，保留作图痕迹．
（2）根据菱形的判定与性质，即可推得四边形PMQN是菱形．菱形对角线互相垂直平分，可得PQ⊥MN，PQ＝2PO，利用正弦函数即可求得所作的叫是30°角．
【详解】（1）如图即为补全的图形；

（2）完成下面的证明．
∵PM＝PN＝QM＝QN，
∴四边形PMQN是菱形．
∴PQ⊥MN，PQ＝2PO（菱形对角线互相垂直平分）．
∵在Rt△POC中，sin∠PCB＝，
∴∠PCB＝30°．
故答案为：菱形，菱形对角线互相垂直平分，．
【点睛】本题考查了复杂作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．本题还考查了菱形的判定与性质，及其正弦函数的应用．
20. 关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
【答案】（1）m＜3；（2）取m＝0时，方程的两根为：x1＝0，x2＝4.
【解析】
【分析】(1)根据判别式的意义得到△＝(-4)2-4(2m-2)＞0，然后解不等式即可；
(2)在(1)中m的范围内取一个确定的值，然后解一元二次方程即可．
【详解】解：(1)根据题意得△＝(-4)2-4(2m-2)＞0，
解得m＜3
故答案为：m＜3.
(2)取m＝0，
此时方程为x2﹣4x＝0
即：x(x-4)=0
解得x1＝0，x2＝4．
取m＝0时，方程的两根为：x1＝0，x2＝4.
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
21. 如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，且AO＝BO．

（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）∠ADB的角平分线DE交AB于点E，当AD＝3，tan∠CAB＝时，求AE的长．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】(1)由平行四边形性质和已知条件得出AC＝BD，即可得出结论；
(2)过点E作EG⊥BD于点G，由角平分线的性质得出EG＝EA．由三角函数定义得出AB＝4，sin∠CAB＝sin∠ABD＝，设AE＝EG＝x，则BE＝4﹣x，在Rt△BEG中，由三角函数定义得出，即可得出答案．
【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，BD＝2BO．
∵AO＝BO，
∴AC＝BD．
∴平行四边形ABCD为矩形．
(2)过点E作EG⊥BD于点G，如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，
∴EA⊥AD，
∵DE为∠ADB的角平分线，
∴EG＝EA．
∵AO＝BO，
∴∠CAB＝∠ABD．
∵AD＝3，tan∠CAB＝，
∴tan∠CAB＝tan∠ABD＝＝．
∴AB＝4．
∴BD＝，sin∠CAB＝sin∠ABD＝．
设AE＝EG＝x，则BE＝4﹣x，
在△BEG中，∠BGE＝90°，
∴sin∠ABD＝．
解得：x＝，
∴AE＝．
故答案为：.
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和三角函数定义是解题的关键．
22. 某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生理指标，，于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取20人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图如下：

注“●”表示患者，“▲”表示非患者．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这40名被调查者中，
①指标低于0．4的有　　人；
②将20名患者的指标的平均数记作，方差记作，20名非患者的指标的平均数记作，方差记作，则 ， (填“>”，“=”或“0)，点H，K是⊙O上的两个点，分别以H，K为圆心，1为半径作圆得到⊙H和¤K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r的取值范围．
【答案】（1）①，，，②O；（2）；（3）0＜r≤3．
【解析】
【分析】（1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP，CP的最大值，最小值即可解决问题．②根据限距关系的定义判断即可．
（2）直线与x轴、y轴分别交于点F，G（0，b），分三种情形：①线段FG在⊙O内部，②线段FG与⊙O有交点，③线段FG 与⊙O没有交点，分别构建不等式求解即可．
（3）如图3中，不妨设⊙K，⊙H的圆心在x轴上位于y轴的两侧，根据⊙H和⊙K都满足限距关系，构建不等式求解即可．
【详解】（1）①如图1中，

∵D（-1，0），E(0，)，
∴OD=1，，
∴，
∴∠EDO=60°，
当OP⊥DE时，，此时OP的值最小，
当点P与E重合时，OP的值最大，最大值为，
当CP⊥DE时，CP的值最小，最小值，
当点P与D或E重合时，PC的值最大，最大值为2，
故答案为：，，.
②根据限距关系的定义可知，线段DE上存在两点M，N，满足OM=2ON，
故点O与线段DE满足限距关系．
故答案为O．
（2）直线与x轴、y轴分别交于点F，G（0，b），
当0＜b＜1时，线段FG在⊙O内部，与⊙O无公共点，
此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为1-b，最大距离为1+b，
∵线段FG与⊙O满足限距关系，
∴1+b≥2（1-b），
解得，
∴b的取值范围为．
当1≤b≤2时，线段FG与⊙O有公共点，线段FG与⊙O满足限距关系，
当b＞2时，线段FG在⊙O的外部，与⊙O没有公共点，
此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为，最大距离为b+1，
∵线段FG与⊙O满足限距关系，
∴，
而总成立，
∴b＞2时，线段FG 与⊙O满足限距关系，综上所述，b的取值范围为．
（3）如图3中，不妨设⊙K，⊙H的圆心在x轴上位于y轴的两侧，

两圆的距离的最小值为2r-2，最大值为2r+2，
∵⊙H和⊙K都满足限距关系，
∴2r+2≥2（2r-2），
解得r≤3，
故r的取值范围为0＜r≤3．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，垂线段最短，直线与圆的位置关系，限距关系的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建不等式解决问题，属于中考创新题型．