河南省开封市等2地学校2022-2023学年高三下学期普高联考测评（六）理科数学试题（含解析）

这是一份河南省开封市等2地学校2022-2023学年高三下学期普高联考测评（六）理科数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
河南省开封市等2地学校2022-2023学年高三下学期普高联考测评（六）理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合，则（    ）A． B． C． D．2．已知复数，其中为实数，且满足，则的虚部为（    ）A． B． C． D．23．体育强国的建设是2035年我国发展的总体目标之一.某学校安排每天一小时课外活动时间，现统计得小明同学10周的课外体育运动时间（单位：小时）：6.5，6.3，7.8，9.2，5.7，7.9，8.1，7.2，5.8，8.3，则下列说法不正确的是（    ）A．小明同学10周的课外体育运动时间平均每天不少于1小时B．小明同学10周的课外体育运动时间的中位数为6.8C．以这10周数据估计小明同学一周课外体育运动时间大于8小时的概率为0.3D．若这组数据同时增加，则增加后的个数据的极差､标准差与原数据的极差､标准差相比均无变化4．在一间长、宽、高分别为7米、5米、4米的长方体形房间内，距离角落的八个顶点一米范围内的区域为“危险区域”，房间内其他区域为“安全区域”，一只苍蝇在房间内飞行到任意位置是随机的，则某时刻这只苍蝇位于“危险区域”的概率为（    ）A． B． C． D．5．已知数列是等差数列，其前项和为，则等于（    ）A．63 B． C．45 D．6．已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则7．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，由八卦模型图可抽象得到正八边形，从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形，其中梯形的个数为（    ）A．8 B．16 C．24 D．328．已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的离心率是（    ）A． B． C． D．9．数列是首项和公比均为2的等比数列，为数列的前项和，则使不等式成立的最小正整数的值是（    ）A．8 B．9 C．10 D．1110．为定义在上的偶函数，对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．11．已知函数是偶函数，且在上单调，则的最大值为（    ）A．1 B．3 C．5 D．12．已知函数的定义域为 为函数的导函数，当时， ，且，则下列说法一定正确的是（    ）A．  B． C．  D．  二、填空题13．向量的夹角为，定义运算“”：，若，则的值为___________.14．已知实数满足，则的最大值为___________.15．在棱长为2的正方体中，为的中点，过点的平面截正方体的外接球的截面面积的最小值为______.16．已知抛物线的准线与轴的交点为，过焦点的直线分别与抛物线交于两点（点在第一象限），，直线的倾斜角为锐角，且满足，则___________. 三、解答题17．在中，角的对边分别为，.(1)若，求；(2)若，点在边上，且平分，求的面积.18．某车间购置了三台机器，这种机器每年需要一定次数的维修，现统计了100台这种机器一年内维修的次数，其中每年维修2次的有40台，每年维修3次的有60台，用代表这三台机器每年共需要维修的次数.(1)以频率估计概率，求的分布列与数学期望；(2)维修厂家有两家，假设每次仅维修一台机器，其中厂家单次维修费用是550元，厂家对同一车间的维修情况进行记录，前5次维修费用是每次600元，后续维修费用每次递减100元，从每年的维修费用的期望角度来看，选择哪家厂家维修更加节省？19．如图，在矩形中，点在边上，且满足，将沿向上翻折，使点到点的位置，构成四棱锥.(1)若点在线段上，且平面，试确定点的位置；(2)若，求锐二面角的大小.20．已知双曲线的一条渐近线方程为，且双曲线经过点.(1)求双曲线的方程；(2)过点且斜率不为0的直线与交于两点（与点不重合），直线分别与直线交于点，求的值.21．已知函数，.(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个零点，，证明：．22．在直角坐标系中，圆是以为圆心，为半径的圆，直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出圆的极坐标方程；(2)已知直线与圆相交于两点，且，求角.23．已知.(1)若，求不等式的解集；(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的最大值.
参考答案：1．D【分析】化简集合，结合交集的定义即可求解【详解】由可得，所以，由可得，所以，所以故选：D2．D【分析】利用复数的乘法计算，再借助复数相等求出即可判断作答.【详解】依题意，，而为实数，则，解得，所以复数的虚部为2.故选：D3．B【分析】根据平均数、中位数及方差的定义判断A、B、D，利用频率判断C .【详解】这周数据的平均值为，平均每天4小时，故A正确；将10个数据从小到大排列为5.7，5.8，6.3，6.5，7.2，7.8，7.9，8.1，8.3，9.2，中位数为，故B错误；这个数据中大于8的有3个，估计小明同学一周课外体育运动时间大于8小时的概率为，故C正确；若这组数据同时增加，则增加后的个数据的极差､标准差与原数据的极差､标准差相比均无变化，故D正确.故选：B.4．C【分析】根据几何概型的体积型问题计算即可得答案.【详解】房间的体积是140立方米，八个“危险区域”所占空间是半径为1米的球的体积，即立方米，则某时刻这只苍蝇位于“危险区域”的概率为.故选：C.5．D【分析】根据题意结合等差数列性质分析运算.【详解】因为数列是等差数列，则，可得，且，可得，所以.故选：D.6．D【分析】根据线面位置关系及面面位置关系逐项判断即可.【详解】对于A，可能会出现，或与相交但不垂直的情况，所以A不正确；对于B，可能平行、可能异面，所以B不正确；对于C，若，仍然满足且，所以C不正确；对于D，，则，再由，可得,可知D正确.故选：D.7．C【分析】利用分类加法原理即可求解.【详解】梯形的上、下底平行且不相等，如图，若以为底边，则可构成2个梯形，根据对称性可知此类梯形有16个，若以为底边，则可构成1个梯形，此类梯形共有8个，所以梯形的个数是16+8=24，故选：C.8．A【分析】根据给定条件，利用中点弦问题求出，再求出椭圆的离心率作答.【详解】依题意，直线的斜率为，设，则，且，由两式相减得：，于是，解得，此时椭圆，显然点在椭圆内，符合要求，所以椭圆的离心率.故选：A9．B【分析】根据等比数列得，利用裂项求和可得，结合不等式的性质代入求解即可得答案.【详解】因为数列是首项和公比均为2的等比数列，所以，则，所以，则，不等式整理得，当时，左边，右边，显然不满足不等式；当时，左边，右边，显然满足不等式；且当时，左边，右边，则不等式恒成立；故当不等式成立时的最小值为9.故选：B.10．A【分析】由题可得函数在上单调递增，且为偶函数，进而可得，即得.【详解】对任意的，都有，则，令，则在上单调递增，因为为定义在上的偶函数，所以，即为偶函数，又，由，可得，即，所以，所以的解集为，故选：A.11．C【分析】由、是偶函数得到，再由在上单调可得可得答案.【详解】因为，所以，则①.，因为是偶函数，所以直线是图象的对称轴，所以②.由①②可得，，又，所以，则，因为在上单调，的最小正周期为，所以，解得，故的最大值为5，经检验，在上单调.故选：C.12．B【分析】构造函数，根据的单调性和奇偶性求解.【详解】令，则，因为当时， ，所以 ，所以在上单调递增，又，所以，即为奇函数，在上单调递增，所以对于A，，即，，A错误； 对于B， ，即 ；，B正确；对于C，，即，C错误；对于D，，D错误；故选：B.13．【分析】根据新定义结合向量的夹角公式即得.【详解】因为，所以，则，所以.故答案为：.14．5【分析】先作出可行域，令，根据截距的变化可得目标函数的最大值.【详解】不等式组表示的可行域如图所示，为及其内部的阴影区域，且，  令，则，当直线经过点时，取得最大值5.故答案为：515．【分析】根据正方体的性质求出外切球的球心及半径，结合球的性质即可求解截面面积的最小值.【详解】正方体的外接球球心为体对角线的中点，连接，，  过点且与垂直的平面截得外接球的小圆面积是最小的，因为，，所以，且两点都在外接球的表面上，根据球的性质知，最小的截面面积是以为直径的圆的面积，此时圆的面积为.故答案为：.16．12【分析】过点作轴于点，由抛物线的定义可知点到准线的距离得，，利用求出，再由可得 可得答案.【详解】如图，过点作轴于点，由抛物线的定义可知点到准线的距离，故，同理，则，故，，则，可得，则，所以.故答案为：12.    17．(1)(2) 【分析】（1）利用两角和、差的余弦公式求出，由诱导公式求出，即可求出，最后由计算可得；（2）利用二倍角公式求出，再由求出，最后由面积公式计算可得.【详解】（1）因为，则，，又，，则，又，所以，则.（2）由（1）知，则，由得，即，则，即，解得，所以的面积.18．(1)分布列答案见解析，数学期望：(2)选择厂家更加节省 【分析】（1）设为这三台机器每年单个需要维修三次的台数，由题意可得则，且，结合二项分布求得分布列与期望即可；（2）分别计算两种方案下维修费用的数学期望，比较即可得结论.【详解】（1）以频率估计概率，一台机器每年需要维修2次的概率为，需要维修3次的概率为，设为这三台机器每年单个需要维修三次的台数，则，且，所以，.所以的分布列为6789 则.（2）选择厂家每年维修费用的期望为（元），选择厂家每年维修费用的期望为（元），因为，所以选择厂家更加节省.19．(1)点为线段上靠近点的三等分点(2) 【分析】（1）在取点使，根据线面平行的判定定理、面面平行的判定及性质定理即得；（2）取的中点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解锐二面角的大小.【详解】（1）点为线段上靠近点的三等分点，证明如下：如图，在取点，连接，,使得，又，所以四边形为平行四边形，所以，又平面平面，所以平面.又平面，，平面，所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以，所以在中，，所以，所以点为线段上靠近点的三等分点.（2）如图，取的中点，以O为原点OE为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，又，则，由题意，点P在过点O且垂直AE的平面上，故设，则，因为，所以，解得，故，则，设平面的法向量为，则，不妨取，则，设平面的一个法向量为，则，记锐二面角的平面角为，所以，又，则，所以锐二面角的大小为.20．(1)；(2). 【分析】（1）由题得，进而即得；（2）设直线的方程为，联立双曲线方程，根据直线，的方程表示出结合韦达定理即得.【详解】（1）由题意可知，解得，所以双曲线的方程为.（2）设直线的方程为，代入中，可得，设，则.  直线的方程为，令，得点的纵坐标为，直线的方程为，令，得点的纵坐标为，因为，所以，即.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.21．(1)答案见解析(2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，再分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（2）根据的单调性，令，依题意可得，即可得到，即证，即证，令，则原式化为，再令，利用导数说明函数的单调性，即可得证；【详解】（1）解：因为，的定义域为，，当时，在上单调递增；当时，若，则，在上单调递增；若，则，在区间上单调递减；综上：时，在上单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减；（2）方法一：证明：，令，则，且为单调递增函数，显然，即时，，令，若函数有两个零点、，则，即，，，要证，只要证，即．只要证，即证，令，即证，即证，令，，所以在上单调递增，所以，即（其中）成立，故原不等式成立．方法二：证明：：，令，则，且为单调递增函数，显然，即时，，令，若函数有两个零点，则，即：，，由（1）问可知：，要证，只要证，即．只需证：；由在区间上单调递减，所以只需证：，因为即证，令，，下证:，，所以单调递增，所以，得证.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．22．(1)(2)或 【分析】（1）先求圆的直角坐标方程，然后直接化为极坐标方程即可；（2）先把直线方程化为极坐标方程，然后联立直线的极坐标方程和圆的极坐标方程，利用的几何意义即可解答.【详解】（1）由题意知圆的方程为，即，将代入得圆的极坐标方程为.（2）由题知直线的极坐标方程为，设，联立可得，且，即，由韦达定理得，则，所以，又，所以，则或，所以或.23．(1)；(2)1. 【分析】（1）分类讨论解绝对值不等式即得；（2）根据参变分离可得恒成立，然后构造函数利用绝对值三角不等式结合条件即得,【详解】（1）若，则不等式可化为.当时，，即，所以；当时，，即，所以；当时，，即，所以.综上所述，原不等式的解集为.（2）由题知在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，当时，，即无论取何值，不等式恒成立，当时，，则恒成立，设，又，当且仅当，即时取等号，所以，则，所以实数的最大值为1.