2023年高考数学三模试题分项汇编（全国通用）专题11 计数原理（解析版）

这是一份2023年高考数学三模试题分项汇编（全国通用）专题11 计数原理（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
专题11 计数原理一、单选题1．（江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁）2023届高三三模数学试题）某人将斐波那契数列的前6项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有（    ）A．120种 B．240种 C．360种 D．480种【答案】A【分析】将两个1捆绑在一起，可以设置的不同数字密码有种，计算即可.【详解】将两个1捆绑在一起，则可以设置的不同数字密码有种.故选：A2．（2020年贵州省贵阳市高三8月月考数学（理）试题）二项式的展开式中的常数项为A．－15 B．20 C．15 D．－20【答案】C【分析】根据二项式定理写出二项展开式通项，令幂指数为零，可求得，代入展开式通项可求得常数项.【详解】二项式展开式通项为：令得：    常数项为：本题正确选项：【点睛】本题考查利用二项式定理求解指定项的系数的问题，关键是能够熟练掌握二项展开式的通项公式.3．（辽宁省部分重点中学协作体2023届高三下学期4月模拟数学试题）现有6个同学站成一排照相，如果甲､乙两人必须相邻，而丙､丁两人不能相邻，那么不同的站法共有（    ）种.A．144 B．72 C．36 D．24【答案】A【分析】甲､乙两人看作一个整体,采用捆绑法和其余2人全排列，再用插空法排列丙､丁，即得答案.【详解】由题意可将甲､乙两人看作一个整体，和除甲乙丙丁外的其余两人全排列，有种排法，再从这3人（甲乙看作一个人）排好后形成的4个空中选2个排丙､丁，故共有种站法，故选：A4．（重庆市2023届高三三模数学试题）二项式展开式的第r项系数与第r＋1项系数之比为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二项式展开式的通项公式可求得第r项系数与第r＋1项系数，从而可求解.【详解】因为展开式的通项公式为，则第r项系数为，第r＋1项系数为，所以.故选：B5．（浙江省金丽衢十二校、“七彩阳光”2023届高三下学期3月联考数学试题）的展开式中常数项为（    ）A．280 B． C．160 D．【答案】A【分析】根据二项式展开式的通项公式，结合两个二项式相乘的特点，求出k，即可求得答案.【详解】的展开式中通项为,所以要使展开式中出现常数项，需或，当时，；当时，（舍去），所以常数项为，故选：A．6．（福建省2022届高三毕业班4月百校联合测评数学试题）共有5名同学参加演讲比赛，在安排出场顺序时，甲､乙排在一起，且丙与甲､乙都不相邻的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】除甲、乙、丙余下的两个人全排列，把甲､乙捆绑在一起和丙一起作为两个人插空得符合条件的基本事件的个数，再求得5人的全排列数，由概率公式计算可得．【详解】除甲、乙、丙余下的两个人全排列，把甲､乙捆绑在一起和丙一起作为两个人插空，可得符合条件的基本事件的个数，所以所求概率为.故选：A．7．（河北省石家庄市部分学校2022届高三下学期5月模拟数学试题）西安是世界四大古都之一，历史上先后有十多个王朝在西安建都．图为唐长安（西安古称）城示意图，城中南北向共有9条街道，东西向有12条街道，被称为“九衢十二条”，整齐的街道把唐长安城划分成了108坊，各坊有坊墙包围．下列说法错误的是（    ）A．从延平门进城到安化门出城，最近的不同路线共有15条．B．甲乙二人从安化门、明德门、启夏门这三个城门中随机选一城门进城，若二人选择互不影响，则二人从同一城门进城的概率为．C．用四种不同的颜色给长乐、永福、大宁、兴宁四坊染色（街道忽略），要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，共有60种不同的染色方法．D．若将街道看成直线，则图中矩形区域中共有不同矩形150个．【答案】C【分析】A.由题意利用组合求解判断；B.利用古典概型的概率求解判断；C.如图，分四个位置颜色各不相同，1与4颜色相同，2与3颜色相同， 1与4颜色相同且2与3颜色相同求解判断； D.将街道看成直线，先在5条横线中任取两条，再在6条竖线中任取两条，由分步计数原理求解判断.【详解】A.如图所示：从延平门到安化门，最近路线是上图中从点M到点N，只能横向往右走纵向往下走，所以答案为，故A正确．B.甲乙二人从安化门、明德门、启夏门这三个城门中随机选一城门进城，因二人选择互不影响，所以两人进城共有9种不同情况，二人从相同城门进城有3种情况，所以二人从同一城门进城的概率为，故B正确．C.如图所示：用四种不同的颜色给长乐、永福、大宁、兴宁四坊染色，若四个位置颜色各不相同有种染色方法，若1与4颜色相同有种染色方法，若2与3颜色相同有种染色方法，若1与4颜色相同且2与3颜色相同有种染色方法，综上共有84种．故C错误．D.若将街道看成直线，则在矩形区域网格的5条横线中任取两条，6条竖线中任取两条，即可围出一个矩形，所以共有矩形个不同的矩形．故D正确．故选：C8．（湘豫名校联考2023届高三5月三模理科数学试题）的展开式中的系数为（    ）A．18 B．135 C．540 D．1215【答案】C【分析】根据二项式展开式的通项即可求解.【详解】，的展开式的通项为.因为的展开式中没有项，的展开式中项为，所以的展开式中的系数为540.故选：C.9．（湘豫名校联考2023届高三5月三模理科数学试题）近年来，电动自行车以其快捷､轻便､经济等优点成为老百姓的代步工具，但随之出现了一系列问题，如违规停放､私拉电线充电､占用安全通道等，给人民安全带来隐患.为进一步规范电动自行车管理，某社区持续开展了两轮电动车安全检查和宣传教育，为了解工作效果，该社区将四名工作人员随机分派到三个小区进行抽查，每人被分派到哪个小区互不影响，则三个小区中恰有一个小区未分配到任何工作人员的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分组分配法求出分配方案数后，由古典概型概率公式计算出概率．【详解】依题意，可得三个小区中恰有一个小区末分配到任何工作人员的概率为.故选：B.10．（江西省重点中学盟校2022届高三第一次联考数学（理）试题）某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（    ）A．48 B．54 C．60 D．72【答案】C【分析】先分组，再考虑甲的特殊情况.【详解】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有 种方法；由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由 种方法；按照分步乘法原理，共有 种方法；故选：C.11．（浙江省金丽衢十二校、“七彩阳光”2023届高三下学期3月联考数学试题）“省刻度尺”问题由英国数学游戏大师杜登尼提出：一根长的尺子，要能够量出长度为到且边长为整数的物体，至少需要6个刻度（尺子头尾不用刻）．现有一根的尺子，要能够一次量出长度为到且边长为整数的物体，尺子上至少需要有（    ）个刻度A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】将问题转化为组合抽样思维，设为长度，为刻度，为刻度对应的数量，则当尺子有4个刻度时满足条件，其中证明验证求解.【详解】若有一根的尺子，量出长度为到且为整数的物体，则当尺子有4个刻度时满足条件设为长度，为刻度，为刻度对应的数量，则有且，其中，当时，下证，当尺子有3个刻度时不能量出的物体长度设且，其中，所以当中有1个0，x的取值至多有3个当中有2个0时，或，x的取值至多有2个当中没有0时，x的取值有1个所以x取值至多有6个，即当尺子有3个刻度时不能量出的物体长度．故选:B二、多选题12．（天一大联考皖豫名校联盟2023届高三第三次考试数学试题）若在中，，则（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】分别令，验证选项AB，通过二项式系数公式即可验证选项C，D.【详解】令，则，故A错误；令，则，故B正确；由题可得，故C错误；由题，故D正确．故选：BD.13．（辽宁省部分重点中学协作体2023届高三下学期4月模拟数学试题）若随机变量，下列说法中正确的是（    ）A． B．期望C．期望 D．方差【答案】BCD【分析】根据二项分布有关知识，，，可得.【详解】A选项：因，所以，故A错误.B选项：，故B正确.C选项：，故C正确.D选项：，，故D正确.故选：BCD.三、填空题14．（上海市浦东新区2023届高三三模数学试题）的二项展开式中项的系数为__________．【答案】210【分析】利用二项式定理得展开式进行运算，得到项的系数.【详解】二项式定理得展开式可得，，令，即，项的系数为，故答案为：210.15．（河北省唐山市2023届高三三模数学试题）数字波是由0和1组成的脉冲信号序列，某类信号序列包含有个数字0和个数字1，且每个数字0之前1的个数多于0的个数.当等于3时，这样的信号序列有__________种；当等于5时，这样的信号序列有__________种.【答案】     5     42【分析】利用计数原理、插空法和列举法即可得出答案.【详解】当时，只有：一种；当时，有、两种；当时，说明有个、个，且最后一位只能是，即_ _ _ _ _，可得、、、、五种；当时，根据卡特兰数的模型可得，总排法为，不符合题意的排法为，符合题意的排法，所以时，共有种.故答案为：5；4216．（2023届河南省开封市杞县高中高三理科数学第一次摸底试题）展开式中的常数项为______（用数字作答）．【答案】60【分析】根据二项式展开式的通项公式可求得结果.【详解】，令，得，故展开式中的常数项为．故答案为：60.17．（福建省泉州市2023届高三数学质量监测试题（三））已知，且则____________．【答案】0【分析】利用二项式定理求特定项的系数即可.【详解】由题意，可得，.， .故答案为：0.18．（福建省漳州市2023届高三毕业班第三次质量检测数学试题）的展开式中项的系数为_________.【答案】240【分析】利用二项式定理的展开原理，写出通项，利用方程，可得答案.【详解】由，则其展开式的通项，化简可得，令，则，即.故答案为：240.19．（江苏省淮安市2022届高三下学期5月模拟数学试题）的展开式的常数项是___________．【答案】70【分析】利用通项公式求解，常数项由三种情况合并而成，分别求解即可.【详解】的通项公式为；当时，中的常数项为；当时，中的常数项为；当时，；所以的展开式的常数项为；故答案为：70.20．（辽宁省沈阳市第二中学2022-2023学年高三第三次模拟考试数学试题）在的展开式中x的系数为______．【答案】【分析】利用二项式通项公式写出展开式中的项，即可得解．【详解】的展开式中x的项为，所以展开式中的系数为．故答案为：.21．（福建省龙岩市2022-2023学年高二上学期期末教学质量检查数学试题）在的展开式中，前三项的系数成等差数列，则展开式中含x项的系数为________．【答案】【分析】先写出的展开式的通项，然后利用前三项的系数成等差数列来列方程求得，再令通项中的的次数为1可求得，进而可求出展开式中含x项的系数.【详解】的展开式通项为，根据前三项的系数成等差数列得，解得或（舍去）令，得，展开式中含x项的系数.故答案为：.22．（同步君人教A版选修2-3第一章1.3二项式定理）若的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是_______．【答案】45【分析】展开式的通项为，由题意得，解得n＝10，再由，得，即可求得常数项．【详解】因为的展开式的通项为，所以展开式中第三项的系数为，第五项的系数为，由题意有，即，则，解得．由，得，所以展开式的常数项为．故答案为：45．23．（浙江省温州市2023届高三下学期5月第三次适应性考试（三模）数学试题）展开式的常数项为___________.（用最简分数表示）【答案】【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项公式，再求出常数项作答.【详解】展开式通项公式，令，解得，则，所以展开式的常数项是.故答案为：24．（吉林省长春市2023届高三三模数学试题）将圆分成个扇形，每个扇形用红、黄、蓝、橙四色之一涂色，要求相邻扇形不同色，设这n个扇形的涂色方法为种，则与的递推关系是______．【答案】（）【分析】假设第个扇形与第个扇形不相邻，对这两个扇形颜色相同和不同进行分类计算即可.【详解】如上图所示，由题意，将圆分成个扇形，涂色方法有种，若假设第个扇形与第个扇形不相邻，如下图所示：则为第个扇形涂色，有种方法，为第个扇形涂色，有种方法，为第个扇形涂色，有种方法，…，为第个扇形涂色，有种方法，故由分步乘法计数原理，涂色方法共有种，其中，包括了第个扇形与第个扇形颜色不同的方法种，与第个扇形与第个扇形颜色相同的方法种，即，而第个扇形与第个扇形颜色相同的涂色方法种，可以看作将第个扇形与第个扇形合并为一个扇形，如下图所示：即个扇形的涂色方法（为使满足题意，需使，即），综上所述，（），∴与的递推关系是（）.故答案为：（）.【点睛】本题解题的关键，是将环形涂色问题断开，转换为带形涂色问题进行解决.25．（山西省晋中市2023届高三三模数学试题（A卷））从0，1，2，⋯，9这10个数字中任取三个数，使这三个数的和是3的倍数，则不同的取法有_________种．（用数字作答）【答案】42【分析】根据被3除的余数分三组，则三个数的和为3的倍数的情况分四类，即可得解.【详解】将这些数字分组，记，，，从而和为3的倍数的情况共有种．故答案为：4226．（江苏省南通市2023届高三三模数学模拟试题）已知，则__________.【答案】【分析】先根据，得到，再由，令 ，两边相加求解.【详解】解： 因为，所以，令，得，又，即，令 ，两边相加得：，故答案为：27．（广西2023届高三毕业班高考模拟测试数学（理）试题）A，，，，共5名同学站成一排，则A，必须相邻，，不能相邻的概率为______.【答案】/.【分析】由题可得总情况数，后将A，看成整体，按A，所处位置分情况可得满足题意的排列数，即可得答案.【详解】所有可能性为，将A，看成整体，若A，在队首，则，只能排第2和第4，情况数为；若A，在队尾，则，只能排第1和第3，情况数为；若A，在第2，则，只能排第1和第4，或第1和第3，情况数为；若A，在第3，则，只能排第1和第4，或第2和第4，情况数为.综上，满足题意的排法情况数为：.则相应概率为：.故答案为：