2023届山东省烟台市中英文高级中学高考模拟预测数学试题

这是一份2023届山东省烟台市中英文高级中学高考模拟预测数学试题，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
新高考冲刺最后一考试题数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.. 若复数z满足，则复数z的虚部为（    ）A. I       B.  C. 1      D. 2. 某组样本数据的频率分布直方图如图所示，设该组样本数据的众数、平均数、第一四分位数分别为，，，则，，的大小关系是（注：同一组中数据用该组区间中点值近似代替）（    ）A.  B.  C.  D. 3. 设等差数列的前n项和为，已知是方程的两根，则能使成立的n的最大值为（    ）A. 15 B. 16 C. 17 D. 184. 在梯形中，则的余弦值为（    ）A.  B.  C.  D. 5. 某正四棱台形状的模型，其上下底面的面积分别为，，若该模型的体积为，则该模型的外接球的表面积为（    ）A.  B.  C.  D. 6. 设椭圆的焦点为，点P是C与圆的交点，的平分线交于Q，若，则椭圆C的离心率为（    ）A.  B.  C.  D. 7. 已知函数满足，若，且，则的值为（    ）A.  B.  C.  D. 8. 已知函数（且）有一个极大值点和一个极小值点，且，则a的取值范围为 （    ）A.       B.        C.      D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”．从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有（    ）A. 该平台女性主播占比的估计值为0.4B. 从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7C. 按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名D. 从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是女性的概率为0.610. 已知，且，则下列结论中正确的是（    ）A.         B.       C.            D. 11. 已知函数，满足，则下列结论正确的是（    ）A. 的值域为 B. 的最小值为2C. 的图象关于直线对称 D. 是偶函数12. 函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且满足，函数的图象关于点对称，则（    ）A. 的图象关于点对称 B. 8是的一个周期C. 一定存在零点 D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知二项式的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为________．（用数字作答）14. 一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中2个白球，3个黑球，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记2分，取到黑球记0分，记4次取球的总分数为，则的方差________．15. 圆锥曲线的光学性质被人们广泛地应用于各种设计中，例如从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点．如图，从双曲线的右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知入射光线的斜率为，且和反射光线互相垂直（其中为入射点），则双曲线的渐近线方程为________．16. 已知数列的前项和为，且，，，则________；若数列的前项和为，且，，则________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式;（2）若，求数列的前项和．   18. 已知的三个角，，的对边分别为，，，且．（1）若，求；（2）求的值． 19. 某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8000名学生进行针对性检测(检测分为初试和复试)，并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．（1）根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值;（2）若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数;（3）复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖;答对两道题获得二等奖;答对一道题获得三等奖;全部答错不获奖．已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为，第三道题答对的概率为．若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值．附：若随机变昰服从正态分布，则，   20. 如图，圆柱的轴截面是边长为6的正方形，下底面圆的一条弦交于点，其中．（1）证明：平面平面;（2）判断上底面圆周上是否存在点，使得二面角的余弦值为．若存在，求的长;若不存在，请说明理由．    21. 已知双曲线的离心率为的右焦点到其渐近线的距离为．（1）求该双曲线的方程；（2）若直线与双曲线在第一象限交于两点，直线交线段于点，且，证明：直线过定点.       22. 已知函数，设m，n为两个不相等的正数，且.（1）求实数a的取值范围；（2）证明：.          复习一部数学试题答案1.C【详解】由得，故复数z的虚部为1故选：C2.A【详解】由频率分布直方图可知众数为，即，平均数，显然第一四分位数位于之间，则，解得，所以.3.A【详解】因为 是方程 的根， ，又 ，公差 ，由等差中项知：  ，  ， ， ，即使得 的成立的最大 ；4.D【详解】依题意做上图， ， ，故选：D.5.A【详解】设正四棱台形状的高为，故，解得，取正方形的中心为，正方形的中心为，则，故该模型的外接球的球心在上，设为点，连接，设上底面正方形的边长为，，则，解得，，故，设，则，由勾股定理得，，故，解得，故外接球半径为，该模型的外接球的表面积为.故选：A6.D【详解】依题意作上图，因为 是 的角平分线，  ，  ，又P点在圆 的圆周上， ， 是直角三角形，根据椭圆的定义有 ，由勾股定理得： ，整理得： ，即 解得 或 （舍）；故选：D.7.D【详解】因为满足，所以，所以，，又，所以，得，因为，，所以，所以，，，因为，所以.故选：D.8.B【详解】由题意知，时，，又，当时，时，，所以，矛盾，故，由有两不同实数根可知，有两个不同交点，设过原点与相切的直线为，切点为，因为，所以，解得，即，如图，所以与有两个不同交点则需，解得，又，所以，此时满足极大值点为，极小值点为，且. 故选：B9.AC【详解】A选项，由图1可以看出选取300人中其他人群人数为，青年人人数为，中年人人数为，由图2可以看出青年人中女性人数为，中年人中女性人数为，其他人群中，女性人数为，故该平台女性主播占比的估计值为，A正确；B选项，中年人中男性人数为，故从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为，B错误；C选项，三个年龄段人数比例为青年主播，中年主播和其他人群主播比例为，故用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取名，C正确；D选项，从所调查主播中，随机选取一位做为幸运主播，设幸运主播是青年人为事件，随机选取一位做为幸运主播，设幸运主播是女性主播为事件，则，，，D错误.10.AC.【详解】因为，，， ，所以，当且仅当等号成立，故A正确，当,,则,故B错误；因为，所以，故C正确;当时,则，故D错误；11.AC.【详解】依题意，，所以的值域为，故A正确；因为，所以，即,解得，又，所以当时，的最小值为，故B错误；由，得的图象关于直线对称，故C正确；，，所以，所以是奇函数，故D错误.12.：ACD【详解】对于A,由于的图象关于点对称，所以，故，所以的图象关于点对称，故A正确，由得，令所以，故为偶函数，又的图象关于点对称，所以，又，从而，所以的图象关于对称，对于C,在中,令，所以，由于在区间上的图象是一条连续不断的曲线，由零点存在性定理可得在有零点，故C正确对于D,由于的图象关于对称以及得，又，所以，所以是周期为8的周期函数，，故D正确，对于B，，所以8不是的周期，13.【详解】因为二项式的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，所以，则展开式的通项为，令，解得，所以展开式中常数项为.故答案为：14.【详解】由题意得从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球的概率为,记4次取到白球的个数为，则，则,故,则,故答案为：15.【详解】设双曲线的方程为，设，，故，由此所以,将其代入双曲线方程中得，结合，，所以，解得或（舍去），因此，所以渐近线方程为：和.故答案：和16.【详解】因为，，所以，解得，当时，由，得，所以，即，所以，即，又因为，所以所以数列是以首项为，公比为的等比数列，所以.所以，因为，所以，解得当时，，当时，，当时，，所以，，所以故答案为：；.17.【小问1详解】由，得所以数列为等差数列．所以，得．所以公差．所以．【小问2详解】当为奇数时，．当为偶数时．所以18.【小问1详解】若，则．因为，所以，，整理得．解得（舍），，因为，所以．【小问2详解】因为．所以，整理得由正弦定理得，由余弦定理得，即，所以．19.【小问1详解】设样本平均数的估计值为则．解得．所以样本平均数的估计值为62．【小问2详解】因为学生的初试成绩近似服从正态分布，其中．所以．所以．所以估计能参加复试的人数为．【小问3详解】由该学生获一等奖的概率为可知：．则．令．．当时，;当时，．所以在区间上是减函数，在区间上是增函数．所以．所以的最小值为．20.【小问1详解】证明：由题意可知：在下底面圆中，为直径．因为所以为弦的中点，且．因为平面．所以平面．因为平面．所以平面平面．【小问2详解】设平面交圆柱上底面于，交于点．则二面角的大小就是二面角的大小．分别以下底面垂直于的直线、为轴建立空间直角坐标系如图所示．因为，底面圆半径为3，所以．则，设．所以，．设平面的一个法向量为．由得：即：令则．设平面的一个法向量为．由得：即：令可得所以化简得，解得：或(舍)．即：．又因为平面平面，平面平面所以，且为的中点．所以．所以存在点，使得二面角的余弦值为的长为．21.【小问1详解】因为双曲线的渐近线为，又因为双曲线的右焦点到其渐近线的距离为，所以，又，，联立解得，所以双曲线的方程为.【小问2详解】由已知有，双曲线的右焦点为，直线过双曲线的右焦点．则直线与直线的倾斜角互补，．显然直线的斜率存在，设直线的方程为．联立得，所以，因为，所以．所以，所以，整理得．所以，化简得，即，所以直线的方程为，恒过点．所以直线过定点．22.【小问1详解】由题意，有两个不相等正根，所以有两个不相等正根，即有两个不相等正根，记函数，则，令，得，令，得，令，得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，令得，且，x无限趋近于0时，函数值无限趋向于0，作出函数的图象，如图要使有两个不相等正根，则函数与函数有两个交点，由图知，故实数a的取值范围.【小问2详解】函数定义域为，当时，，在上单调递增，不符合题意；当时，若时，，在上单调递减，若时，，在上单调递增，由题意，不妨设，先证明.      要证，即证；因为，且在上单调递增，故只需证明，令，则，所以在上单调递增，所以当时，，则有，因为，所以，则，故；再证，即证.因为，且在上单调递增，只需证明，即证，因为，所以，所以只需证明，令，则．令，当时，，所以在上单调递增，当时，，于是，从而可得在上单调递减，故，所以成立，故.综上，.