安徽省示范高中皖北协作区2023届高三下学期3月联考（第25届）数学试题

这是一份安徽省示范高中皖北协作区2023届高三下学期3月联考（第25届）数学试题，共20页。试卷主要包含了 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
2023年“安徽省示范高中皖北协作区”第25届高三联考数学注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知复数满足，则(    )A.  B.  C.  D. 3.  已知抛物线的焦点为，是抛物线上的一点，且，则点到坐标原点的距离是(    )A.  B.  C.  D. 4.  宿州市三角洲生态公园是多功能的综合性公园，具标志性雕丝“生命乙源”为水滴形状，寓意水是生命之源，此雕塑顶部可视为一个圆锥已知此圆锥的高为，其母线与底面所成的角为，则此圆锥的侧面展开图的面积为(    )
 A.  B.  C.  D.
5.  函数的部分图象大致是(    )A.  B.
C.  D. 6.  公元前世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作圆锥曲线论，在此著作第七卷平面轨迹中，有众多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值不为的动点轨迹为圆后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆已知平面内有两点和，且该平面内的点满足，若点的轨迹关于直线对称，则的最小值是(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知，，其中是自然对数的底数，则下列大小关系正确的是(    )A.  B.  C.  D. 8.  许多建筑物的地板是用正多边形的地砖铺设而成的可以使用多种正多边形的地砖用正多边形地砖可以铺出很多精美的图案，如图若用边长相等的正多边形地砖铺满地面，且保持每块地砖完整不受损坏，则至少使拼接在同一顶点处的所有正多边形地砖的内角和恰为现用正多边形地砖给一个地面面积较大的客厅铺设地板所有类型地砖边长均相等，要求每块地砖完整不受损坏，铺设地砖后无空余地面不考虑客厅墙角和周边地带，每个顶点周围只有块正多边形地砖拼接在一起，则在某一顶点处的拼法不考虑排列顺序最多有(    )
 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）9.  下列说法正确的是(    )A. 数据，，，，，，的中位数为
B. 一组数据，，，，，，，，，的第百分位数为
C. 从，，，，中任取个不同的数，则这个数能构成直角三角形三边长的概率为
D. 设随机事件和，已知，，，则10.  设数列的前项和为，，，则下列结论正确的是(    )A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则11.  已知函数，则下列结论正确的是(    )A. 的图象关于点对称 B. 在区间上单调递增
C. 在区间内有个零点 D. 的最大值为12.  定义在上的函数满足，，若 ，则(    )A. 是周期函数 B.
C. 的图象关于对称 D. 第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.  已知向量与的夹角为，且，，则在上的投影向量的坐标为          ．14.  的展开式中的系数为          用数字作答15.  已知正四棱台内接于半径为的球，且球心是四边形的中心，若该棱台的侧棱与底面所成的角是，则该棱台的体积为          ．16.  已知为双曲线的一个焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为          四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分已知数列各项都为正数，且，．求的通项公式若，数列的前项和为，证明：．18.  (本小题12分)为贯彻落实《健康中国行动(2019-2030年)》《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》等文件精神,确保2030年学生体质达到规定要求,各地将认真做好学生的体制健康监测.某市决定对某中学学生的身体健康状况进行调查,现从该校抽取200名学生测量他们的体重,得到如下样本数据的频率分布直方图.(1)求这200名学生体重的平均数和方差(同一组数据用该区间的中点值作代表).(2)由频率分布直方图可知,该校学生的体重Z服从正态分布N(,),其中近似为平均数,近似为方差.利用该正态分布,求P(50.73< Z69.27);若从该校随机抽取50名学生,记X表示这50名学生的体重位于区间(50.73,69.27]内的人数,利用的结果,求E(X).参考数据:9.27.若Z~N(,),则P(-< Z+)0.6826,
P(-2< Z+2)0.9544,P(-3< Z+3)0.9974.​​​​​​​ 19.  本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且，．求角若为锐角三角形，为边的中点，求线段长的取值范围．20.  本小题分如图，在四棱锥中，所有棱长都相等，，，分别是棱，的中点，是棱上的动点，且．若，证明：平面．求平面与平面夹角余弦值的最大值．
 21.  本小题分已知，分别是椭圆的左、右顶点，若椭圆的短轴长等于焦距，且该椭圆经过点．求椭圆的标准方程过椭圆的右焦点作一条直线交椭圆于，异于，两点两点，连接，并延长，分别交直线于不同的两点，证明：直线与直线相交于点．22.  本小题分已知函数，其中，是自然对数的底数．若，证明：当时，当时，．设函数，若是的极大值点，求实数的取值范围．参考数据：，参考答案1.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题。【解答】解：由题意可得，，则  2.【答案】 【解析】【分析】本题考查了复数的模及复数的运算，属基础题．【解答】解：设，则，整理得，
从而解得，，故．  3.【答案】 【解析】【分析】本题考查抛物线性质，两点间距离公式，属于基础题．
设，由题意可得，求出，再求，进而求解即可．【解答】解：设，由题意可得，解得，则，故点到坐标原点的距离是．  4.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图，属于基础题。【解答】解：设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，
由题意可得，则，
从而，圆锥的侧面展开图的面积．  5.【答案】 【解析】【分析】本题考查了函数图象的识别，涉及判断函数的奇偶性及诱导公式，属基础题．【解答】解：因为，且定义域为，所以，
所以是奇函数，则的图象关于原点对称，排除，．
当时，，排除．  6.【答案】 【解析】【分析】本题考查轨迹方程，圆的性质，基本不等式求最值，属于中档题．【解答】解：设点的坐标为，因为，
所以点的轨迹方程为，
因为点的轨迹关于直线对称，
所以圆心在此直线上，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．  7.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查构造导数，利用单调性比大小，属于难题。【解答】解：由题意可得，，．
设，则，
当时，，
所以在上单调递增，则，
从而，即，故，即．
设，则，
当时，，
所以在上单调递减，则，即，即，
从而，即，故，即．
设，则，
当时，，所以在上单调递增，
则，即，
从而，即，故，即．  8.【答案】 【解析】【分析】本题考查了推理案例，以及利用不等式的性质求取值范围等，属困难题．【解答】解：一个正边形各内角的和是，则每个内角为
设在顶点处有块砖拼凑在一起，它们的边数分别为，，，，，
则有，
即，所以，由式可得
当时，，设式的一组解为，首先求出式的全部整数解．当时，由式可解得．这组解给出的正多边形可以铺设地板，如图所示故这时只有一种拼法．当，，中恰有两个相等，不妨设，由式得，即，易知式的全部解为，，，，，，，，．依题设可知用正五边形和正十边形铺设地面，一定会出现两个正十边形有一条边重合的情况，这时，要铺满地面，另一个角是，而正五边形的个内角是，则，，不合要求而对于解，，，，，给出的拼接方法符合要求，且，，对应同一拼法，，，对应同一拼法，如图和图故这时有两种拼法．当，，两两不相等，不妨设，由式得，即类似对于解不能铺设地面的讨论可知，必须是偶数，同理可得，都是偶数．由知，，代人式得，，则，解得故可推出，则．从而，，，两两不相等的全部解为，，，，，，这些给出的正多边形都能铺设地面，它们对应同一拼法，如图．综上，满足条件的拼法最多有种．  9.【答案】 【解析】【分析】本题考查中位数、百分位数、古典概型概率、组合数、全概率公式，属于中档题．【解答】选项中的数据按从小到大顺序，排出中位数为，故A错误．
选项中的数据共有个数，，即第个数与第个数的平均数为，则这组数据的第百分位数是，故B正确．
对于选项，只有，，这三个数符合，则，故C正确．
对于选项，由全概率公式，故D正确．  10.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查等差数列，等比数列的求和公式及性质，周期数列的性质，属于中档题。【解答】解：当，时，，所以．
因为，所以是首项为，公比为的等比数列，则，故A正确．当，时，，即因为，所以，则，故B错误．
当，时，，因为，所以，，
所以是周期为的周期数列，则，故C错误．
当，时，，则，即．
因为，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，即，故D正确．  11.【答案】 【解析】【分析】本题考查了函数的对称性、求函数的零点、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值，以及三角函数的图象和性质，属较难题．【解答】解：由题意可得，则，，
不满足对任意都有的条件，故A错误．
因为，所以当时，，故B正确．
由得，，，，，则在内共有个零点，故C错误．
由题意可得，令，则，从而，故在上单调递减在上单调递增在上单调递减．
因为，，所以的最大值为，故D正确．  12.【答案】 【解析】【分析】本题考查抽象函数周期性、对称性，属于中档题．【解答】解：因为，，
所以，
所以，即，
所以是周期为的周期函数，则A正确．

在中，令，得，则．
因为，所以的图象关于直线对称，则C正确．

因为，所以，所以，则B错误．

由函数的对称性与周期性可得，，则

，则D正确．  13.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查投影向量的坐标运算，属于基础题。【解答】解：由题意可知与向量方向相同的单位向量为，
则向量在向量上的投影向量为     ， ，．  14.【答案】 【解析】【分析】本题考查了指定项的系数，涉及组合数公式，属基础题．【解答】解：的展开式中的系数为．  15.【答案】 【解析】【分析】本题考查球的性质，棱台的体积，属于基础题．【解答】解：由题意可知该棱台的侧棱长为，棱台的高为，上底面边长，下底面边长为，所以该棱台的体积是．  16.【答案】或 【解析】【分析】本题主要考查双曲线的渐近线和离心率的求法，属于中档题。【解答】当直线与双曲线的一支交于两点时，不妨设，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与另一条渐近线交于点，则，，因为，
所以，
设渐近线的倾斜角为，则，
解得或舍去，即，
故双曲线的离心率．
当直线与双曲线的两支各交于一点时，不妨设，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与另一条渐近线交于点，则，，因为，
所以．
设渐近线的倾斜角为，
则，
解得或舍去，即，
故双曲线的离心率．
综上，双曲线的离心率是或．  17.【答案】解：因为，
所以．因为，所以，即，因为，
所以，
即当，满足上式，
故证明：由可知，则，所以
 因为，
所以，即． 【解析】本题考查了根据数列的递推公式求通项公式、裂项相消法求和以及累乘法，属中档题．
先由递推关系得到，再用累乘法即可解答；
利用裂项相消法解答即可．
 18.【答案】解:(1)由题意可得=400.02+500.3+600.4+700.23+800.04+900.01=60;=4000.02+1000.3+00.4+1000.23+4000.04+9000.01=86.(2)由(1)可知=60,==9.27,则P(50.73< Z69.27)=P(60-9.27< Z60+9.27)=P(-< Z+)0.6826.由可知1名学生的体重位于(50.73,69.27]的概率为0.6826.因为X~B(50,0.6826),所以E(X)=500.6826=34.13. 【解析】本题考查平均数、方差、正态分布、随机变量期望，属于基础题.
 19.【答案】解：因为，
所以，即．因为，所以，所以，即．因为，所以．因为为边的中点，所以，所以．在中，由正弦定理，得因为为锐角三角形，且，所以，则，故．因为，所以，即线段长的取值范围为 【解析】本题主要考查利用正弦定理解三角形，两角和与差的正弦公式，利用向量解决三角形的范围问题，属于中档题。
 20.【答案】证明：连接，记，连接．由题意知四边形是正方形，所以是的中点，因为是的中点，所以．因为，分别是棱，的中点，所以，所以．因为平面，平面，所以平面．

 解：由题意易得，，两两垂直，故以为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，，，从而，，，因为，所以，则．设平面的法向量为，则令，得．设平面的法向量为，则
令，得．设平面与平面的夹角为，则．因为，所以，
所以，则当时，平面与平面夹角的余弦值取得最大值． 【解析】本题考查了平面与平面所成角的向量求法、线面平行的判定等知识，属中档题．
 21.【答案】解：由题意可得故所求椭圆的标准方程为．
证明：设直线的方程为，，，联立消元得．所以，，直线的方程为，与直线联立，可得点的纵坐标．直线的方程为与直线联立，可得点的纵坐标，则，   故
，把代入，可得，所以直线与轴相交于右顶点
 同理可得直线与轴相交于右顶点故直线与直线相交于点． 【解析】本题考查椭圆的标准方程、椭圆中的定点、定值、定直线问题，属于中档题．
直接由题得到关于，，的方程组，解出即可
设直线的方程为，，，联立直线与椭圆得到韦达定理式，写出直线，
的方程，得到点，的纵坐标，计算证明．
 22.【答案】证明：当时，，所以．令，则由，得，由，得，则在上单调递增，在上单调递减．因为，所以当时，，即，
则在上单调递减．因为，所以当时，，当时，．
解：由题意可得，则，且．令，则．令，则．当时，，，所以，即．所以在上是增函数，则．当，即时，在上恒成立，即在上是增函数．因为，所以，所以在上单调递增．
与是极大值点矛盾，即不符合题意．当，即时，因为在上是增函数，且，，所以，，则当时，，即在上是减函数，
从而，
故在上单调递减．当时，对，，，即，，所以，
则当时，．故G在上是增函数．因为，即当时，在上是减函数，所以，则在上单调递增，符合是极大值点．故所求实数的取值范围为 【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用函数的极值点求参数范围，属于较难题。