数学高二下期末复习-随机变量及其分布（含解析）

随机变量及其分布

知识体系：

2022-2023年度七校联考范围：

知识清单：

一、随机事件的概率

1.互斥事件：不可能同时发生的两个事件.

如果事件，其中任何两个都是互斥事件，则说事件彼此互斥.

当是互斥事件时，那么事件发生（即中有一个发生）的概率，等于事件分别发生的概率的和，即.

2.对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件.事件的对立事件通常记着.

对立事件的概率和等于1. .

特别提醒：“互斥事件”与“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件，因此，对立事件必然是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件.

3.相互独立事件：事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率没有影响，（即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响）.这样的两个事件叫做相互独立事件.

当是相互独立事件时，那么事件发生（即同时发生）的概率，等于事件分别发生的概率的积.即

   .

注：若两事件相互独立，则与、与、与也都是相互独立的.

4.条件概率：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率，记作P(B|A)，读作A发生的条件下B发生的概率.

公式：

乘法公式：

5.全概率公式：设是一组两两互斥的事件，且，则对任意的事件，有

二、离散型随机变量及其分布

1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用字母等表示.

对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量；对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.

2.离散型随机变量的分布列

⑴分布列

设离散型随机变量可能取的不同值为，…，，…，，

的每一个值（）的概率，则称表

为随机变量的概率分布，简称的分布列.

性质：①    ②

⑵两点分布

如果随机变量的分布列为：

则称服从两点分布，并称为成功概率.

三、离散型随机变量的均值与方差

1.离散型随机变量的均值

一般地，若离散型随机变量的分布列为

则称：

为离散型随机变量的均值或数学期望（简称期望）.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

性质：

①

②若服从两点分布，则

③若，则

④若，则

2.离散型随机变量的方差

为离散型随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差.它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.

注：方差越小，的稳定性越高，波动越小，取值越集中；方差越大，的稳定性越差，波动越大，取值越分散.

性质：

①

②若服从两点分布，则

③若，则

④若，则

四、二项分布与超几何分布

1.二项分布

如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是

其中，我们称这样的随机变量服从二项分布，记作，并称p为成功概率.

判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点：

①对立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一；

②重复性：即试验是独立重复地进行了次;

③等概率性：在每次试验中事件发生的概率均相等.

注：⑴二项分布的模型是有放回抽样；

⑵二项分布中的参数是

2.超几何分布

一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品．从件产品中随机抽取件(不放回），用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为

，

其中，，，，，，，则称随机变量服从超几何分布．

公式 中个字母的含义

—总体中的个体总数

—总体中的特殊个体总数(如次品总数)

—样本容量

—样本中的特殊个体数(如次品数)

注意：

(1)“由较明显的两部分组成”:如“男生、女生”，“正品、次品”；

(2)超几何分布的模型是不放回抽样；

(3)注意分布列的表达式中，各个字母的含义及随机变量的取值范围。

五、正态分布

1.正态分布的概念

若随机变量的概率分布密度函数为对任意的,,它的图象在轴的上方.可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线.

若随机变量的概率分布密度函数为,则称随机变量服从正态分布,记为.特别地,当时,称随机变量服从标准正态分布，即.

由的密度函数及图象可以发现，正态曲线有以下特点：

①曲线在轴的上方，与轴不相交。

②曲线是单峰的，它关于直线对称.

③曲线在处达到峰值(最高点)

④当无限增大时，曲线无限接近轴.

⑤轴与正态曲线所夹面积恒等于1 .

2.正态分布的原则

期末押题：

一．选择题（共3小题）

1．已知随机变量的分布列服从，记，，在，上的最大值为，若正整数，满足，则（a）和（b）的大小关系是　　

A．（a）（b）B．（a）（b） C．（a）（b） D．无法确定

2．重庆，我国四大直辖市之一，在四大直辖市中，级旅游点最多，资源最为丰富，不仅有山水自然风光，还有人文历史景观．现有甲、乙两位游客慕名来到重庆旅游，分别准备从武隆喀斯特旅游区、巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源5个国家级旅游景区中随机选择其中一个景区游玩．记事件：甲和乙至少一人选择巫山小三峡，事件：甲和乙选择的景区不同，则条件概率　　

A． B． C． D．

3．设，，则（B）　　

A． B． C． D．

二．多选题（共4小题）

4．甲箱中有3个红球，2个白球和2个黑球，乙箱中有2个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示从甲箱中取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以表示从乙箱中取出的球是红球的事件，则　　

A． B． 

C．（B） D．

5．已知随机变量服从二项分布，随机变量，则下列说法正确的是　　

A．随机变量的数学期望 

B． 

C．随机变量的方差 

D．随机变量的方差

三．解答题（共3小题）

6．投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏，投壶礼来源于射礼．投壶的横截面是三个圆形，投掷者站在距离投壶一定距离的远处将箭羽投向三个圆形的壶口，若箭羽投进三个圆形壶口之一就算投中．为弘扬中华传统文化，某次文化活动进行了投壶比赛，比赛规定投进中间较大圆形壶口得3分，投进左右两个小圆形壶口得1分，没有投进壶口不得分．甲乙两人进行投壶比赛，比赛分为若干轮，每轮每人投一支箭羽，最后将各轮所得分数相加即为该人的比赛得分，比赛得分高的人获胜．已知甲每轮投一支箭羽进入中间大壶口的概率为，投进入左右两个小壶口的概率都是，乙每轮投一支箭羽进入中间大壶口的概率为，投进入左右两个小壶口的概率分别是和，甲乙两人每轮是否投中相互独立，且两人各轮之间是否投中也互相独立．若在最后一轮比赛前，甲的总分落后乙1分，设甲最后一轮比赛的得分为，乙最后一轮比赛的得分为．

（1）求甲最后一轮结束后赢得比赛的概率；

（2）求的数学期望．

7．2023年3月的体坛属于“冰上运动”，速滑世锦赛、短道速滑世锦赛、花滑世锦赛将在荷兰、韩国、日本相继举行．中国队的“冰上飞将”们将在北京冬奥会后再度出击，向奖牌和金牌发起冲击．据了解，甲、乙、丙三支队伍将会参加2023年3月10日日在首尔举行的短道速滑世锦赛5000米短道速滑男子5000米接力的角逐．接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，其中．

（1）甲、乙、丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；

（2）若甲、乙、丙三队中恰有两对进入决赛的概率为，求的值；

（3）在（2）的条件下，设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列

参考答案与试题解析

一．选择题（共3小题）

1．【解答】解：，

，，

设，，，，

当时，，故（1），

当时，，，，故，

所以在，上递增，所以，在定义域内单调递减，所以，

因为，所以（a）（b）．

故选：．

2．【解答】解：由题意可知，事件发生的个数（A），

事件，同时发生的个数，

故．

故选：．

3．【解答】解：由可得，

所以，

所以．

故选：．

二．多选题（共4小题）

4．【解答】解：因为，，，

若发生，则乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，，故正确；

若发生，则乙箱中有2个红球，4个白球和3个黑球，，

若发生，则乙箱中有2个红球，3个白球和4个黑球，，

（B）

，故正确；

，

（B），故错误；

，故正确．

故选：．

5．【解答】解：因为服从二项分布，

故，，故正确；

又，则，故错误，

，故错误．

故选：．

三．解答题（共3小题）

6．【解答】解：（1）设甲一轮的得分为，

则，，；

设乙一轮的得分为，

则，，；

则甲最后一轮反败为胜的概率，，．

（2）由题意知：所有可能的取值为0，1，2，3，

，，，，

，，，

，，，

，，，

的数学期望．

7．【解答】解：（1）甲队进入决赛的概率为，

乙队进入决赛的概率为，

丙队进入决赛的概率为，因为，

所以，显然乙队进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性最大．

（2）因为甲、乙、丙三队中恰有两对进入决赛的概率为，

所以有，

解得，或，因为，所以．

（3）由题意可知：甲、乙、丙三队进入决赛的概率分别为、、，

的可能取值为0、1、2、3，

，

，，

，

所以的分布列为：

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