四川省成都市石室中学2023届高考适应性考试（二）理科数学试题

成都石室中学高2023届高考适应性考试（二）

理科数学

（全卷满分150分，考试时间120分钟）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在本试卷和答题卡相应位置上.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.

4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.

1.集合的真子集的个数为（    ）

A.3    B.7    C.15    D.16

2.有下列四个命题，其中是真命题的是（    ）

A.“全等三角形的面积相等”的否命题

B.在中，“”是“”的充分不必要条件

C.命题“，”的否定是“，”

D.已知，其在复平面上对应的点落在第四象限

3.某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前､后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图.下列结论正确的是（    ）

A.招商引资后，工资净收入较前一年减少

B.招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍

C.招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的

D.招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍

4.幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（    ）

A.    B.是减函数

C.是奇函数    D.是偶函数

5.函数图象的对称轴可以是（    ）

A.直线    B.直线

C.直线    D.直线

6.已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）

A.若，，则

B.若，，，则

C.若，，则，则

D.若，，则

7.2023年1月底，人工智能研究公司OpenAI发布的名为“ChatGTP”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为12，且当训练迭代轮数为12时，学习率衰减为0.5.则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：）

A.36    B.37    C.38    D.39

8.已知双曲线的右顶点为A，左､右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为M，且，则该双曲线的离心率为（    ）

A.    B.    C.    D.

9.设为等差数列的前n项和，且，都有，若，则（    ）

A.的最小值是    B.的最小值是

C.的最大值是    D.的最大值是

10.安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲､乙到同一家企业实习的概率为（    ）

A.    B.    C.    D.

11.已知平面上两定点，则所有满足且的点的轨迹是一个圆心在直线上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知棱长为6的正方体表面上的动点满足，则点的轨迹长度为（    ）

A.    B.    C.    D.

12.若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若x，y满足约束条件，则的最大值为______.

14.已知数列满足，，若，，则的值为______.

15.已知函数若函数有且只有三个零点，则实数m的取值范围是______.

16.已知为抛物线上两点，以为切点的抛物线的两条切线交于点，设以为切点的抛物线的切线斜率为，过点的直线斜率为，则以下结论正确的有__________.（填序号）

①成等差数列；②若点的横坐标为，则；③若点在抛物线的准线上，则是钝角三角形；④若点在直线上，则直线恒过定点.

三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22､23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题，共60分.

17.（本小题满分12分）某企业为了了解年广告费x（单位：万元）对年销售额y（单位：万元）的影响，统计了近7年的年广告费和年销售额的数据，得到下面的表格：

由表中数据，可判定变量x，y的线性相关关系较强.

（1）建立y关于x的线性回归方程；

（2）已知该企业的年利润z与x，y的关系为，根据（1）的结果，年广告费x约为何值时（小数点后保留一位），年利润的预报值最大？

附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；参考数据：，.

18.（本小题满分12分）如图，四边形为菱形，平面.

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

19.（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，且，边上有一动点.

（1）当为边中点时，若，求的长度；

（2）当为的平分线时，若，求的最大值.

20.（本小题满分12分）已知点，动点满足直线与的斜率之积为.记动点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程，并说明是什么曲线；

（2）设为曲线上的两动点，直线的斜率为，直线的斜率为，且.

①求证：直线恒过一定点；

②设的面积为，求的最大值.

21.（本小题满分12分）已知函数.

（1）若，求实数的值；

（2）已知且，求证：.

（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.

22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），直线l的方程为.

（1）当时，求曲线的直角坐标方程；

（2）当时，已知点，直线l与曲线交于A，B两点，线段AB的中点为M，求的长.

23.[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）设函数的最小值为m，正数a，b，c满足，求证：.

成都石室中学高2023届高考适应性考试（二）

理科数学参考答案

答案及解析

1.C  【解析】因为，所以集合A的真子集的个数为.故选C.

2.D  【解析】对于A，“全等三角形的面积相等”的否命题是“不全等三角形的面积不相等”，这显然是假命题，故A错误；对于B，在中，，由，得，所以“”是“”的必要不充分条件，故B错误；对于C，命题“，”的否定是“，”，故C错误；对于D，，所以其对应的点为，在第四象限，故D正确.故选D.

3.D  【解析】设招商引资前经济收入为M，则招商引资后经济收入为2M.对于A，招商引资前工资净收入为，招商引资后的工资净收入为，所以招商引资后，工资净收入增加了，故A错误；对于B，招商引资前转移净收入为，招商引资后转移净收入为，所以招商引资后，转移净收入是前一年的2.5倍，故B错误；对于C，招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和为，所以招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和低于该年经济收入的，故C错误；对于D，招商引资前经营净收入为，招商引资后经营净收入为，所以招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D正确.故选D.

4.C  【解析】函数为幂函数，则，解得或.当时，在区间上单调递增，不满足条件，排除A.当时，在区间上单调递减，满足题意.函数在和上单调递减，但不是减函数，排除B.函数的图象关于原点对称，是奇函数.故选C.

5.A  【解析】，则，所以的对称轴为直线，当时，.故选A.

6.B  【解析】对于A，若，，则或，故A错误；对于B，若，，过m作平面与，分别交于直线a，b，由线面平行的性质得，，所以，又，，所以，又，，所以，所以，故B正确；对于C，由面面垂直的性质定理可得，当时，，否则可能不成立，故C错误；对于D，若，，则或，故D错误.故选B.

7.A  【解析】由已知，得，所以，则有，即，即，即，因此G至少为36.故选A.

8.B  【解析】设双曲线C的半焦距为c.如图，由题意可得，直线OM的方程为，有，即有.又，解得.在中，由余弦定理，得，因此，即有.又，则，.又，于是，所以，即，化简得，即，解得（舍去）或，所以该双曲线的离心率.故选B.

9.A  【解析】由，得，即，所以数列为递增的等差数列.因为，所以，即，则，，所以当且时，；当且时，.因此，有最小值，且最小值为.故选A.

10.D  【解析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为人或人.当分为人时，有种实习方案；当分为人时，有种实习方案.因此，共有种实习方案，其中大学生甲､乙到同一家企业实习的情况有种，故大学生甲､乙到同一家企业实习的概率为.故选D.

11.C  【解析】在图1中，以为原点建立平面直角坐标系如图2所示，设阿氏圆圆心为，半径为.因为，所以，所以.设圆与交于点.由阿氏圆性质，知.又，所以.又，所以，解得，所以，所以点在空间内的轨迹为以为球心，半径为4的球.

①当点在面内部时，如图2所示，截面圆与分别交于点，所以点在面内的轨迹为.因为在Rt中，，所以，所以，所以点在面内部的轨迹长为.

②同理，点在面内部的轨迹长为.

③当点在面内部时，如图3所示，因为平面，所以平面截球所得小圆是以为圆心，以长为半径的圆，截面圆与分别交于点，且，所以点在面内的轨迹为，且.

综上，点的轨迹长度为.故选C.

12.B  【解析】由有意义可知，.由，得.令，即有.因为，所以.令，问题转化为存在，使得.因为，令，即，解得；令，即，解得，所以在上单调递增，在上单调递减.又，所以当时，.因为存在，使得成立，所以只需且，解得.故选.

13.2  【解析】作约束条件的可行域，如图所示.由解得令.将目标函数变形为.根据其几何意义可得，当直线经过点时，其纵截距最小，即目标函数z取到最大值，则的最大值为2.

14.或  【解析】因为，，所以数列为等比数列，设其公比为q.由，，得，，所以.当时，，则；当时，，则.综上，的值为或.

15.  【解析】当时，，，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且，；当时，，，所以在上单调递减，在上单调递增，且当时，，.作出函数的示意图（略）可知，有且只有三个零点，需满足.

16.①②④  【解析】设.由，得，故，所以切线的方程为，即.同理可得，切线的方程为.设点的坐标为，所以，所以为方程的两根，故，则，所以直线的方程为.

因为，所以，所以成等差数列，故①正确；若，则，故②正确；

若点在抛物线的准线上，则，所以，故两切线垂直，所以为直角三角形，故③错误；

若点在直线上，则.由直线的方程，得.又，故直线的方程为，即，所以直线恒过定点，故④正确.

17.解：（1）由表格数据，得，，.

由公式，得，

，

故y关于x的线性回归方程为.

（2）由（1）可得，.

设，则，

所以，

故当时，z取得最大值，

此时，

即年广告费约为9.2万元时，年利润的预报值最大.

18.（1）证明：因为四边形为菱形，所以.

因为平面平面，所以.

又平面，

所以平面.

又平面，

所以平面平面.

（2）解：如图，设交于点，以为轴，为轴，过点且平行于的方向为轴建立空间直角坐标系.

设，则.

因为，

所以是正三角形，则.

由上述可知，，

设平面的法向量为，

则得取，得.

同理可得，平面的一个法向量为，

所以.

又二面角为钝角，

故二面角的余弦值为.

19.解：因为，

所以，即.

由正弦定理，得.

因为，所以.

因为，所以.

又因为，所以，所以.

（1）因为为边中点，所以，则.

又，

所以，即，即，

所以.

（2）在中，由余弦定理，得.

又，所以，

所以，当且仅当时取等号，

所以，

所以.

因为平分，

所以，

所以，

所以.

令，则.

因为在上单调递增，

所以当即时，取得最大值为，

所以的最大值为.

20.（1）解：由题意，得，

化简得，

所以曲线为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左､右顶点.

（2）①证明：设.

因为若直线的斜率为0，则点关于轴对称，必有，不合题意，

所以直线的斜率必不为0.

设直线的方程为.

由得，

所以，且

因为点是曲线上一点，

所以由题意可知，

所以，即

因为

所以，此时，

故直线恒过轴上一定点.

②解：由①可得，，

所以

当且仅当即时等号成立，

所以的最大值为.

21.（1）解：由，得.

令，则.

注意到，所以是函数的极小值点，则，

所以，得.

当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，满足条件，故.

（2）证明：由（1）可得，.

令，则，

所以，即.

令，则，且不恒为零，

所以函数在上单调递增，

故，则，

所以，

所以.证毕.

22.解：（1）当时，曲线的参数方程为（t为参数）.

因为，且，

所以曲线的直角坐标方程为.

（2）当时，曲线的参数方程为（t为参数）

.因为，，

所以曲线的直角坐标方程为.

设直线l的参数方程为（t为参数）.

将直线l的参数方程代入，得.

设点A，B，M对应的参数分别为，，.

由韦达定理，得.

又线段AB的中点为M，所以，

所以.

23.（1）解：当时，，所以，解得；

当时，，所以的解集为；

当时，，所以，解得.

综上，的解集为.

（2）证明：由（1）可知，

当时，，所以.

由柯西不等式可得，，

所以，当且仅当，，时等号成立，原命题得证.