2022-2023学年湖南省邵阳市高一下学期第一次联考数学试题（解析版）

2022-2023学年湖南省邵阳市高一下学期第一次联考数学试题

一、单选题

1．函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.

【详解】依题意，，解得且，

所以的定义域为.

故选：C

2．幂函数在区间上单调递增，则（    ）

A．27 B． C． D．

【答案】A

【分析】根据幂函数的概念及性质，求得实数的值，得到幂函数的解析式，即可求解.

【详解】由题意，令，即，解得或，

当时，可得函数，此时函数在上单调递增，符合题意；

当时，可得，此时函数在上单调递减，不符合题意，

即幂函数，则.

故选：A.

3．设，，若，则的最小值为（    ）

A． B．4 C．9 D．

【答案】D

【分析】利用基本不等式求得正确答案.

【详解】

，

当且仅当时等号成立.

故选：D

4．如图，给出奇函数的局部图象，则的值为（    ）

A． B．7 C．5 D．

【答案】A

【分析】结合函数的奇偶性以及图象求得正确答案.

【详解】依题意，是奇函数，

结合图象可知.

故选：A

5．若，，，则它们大小关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据指数函数、对数函数的知识求得正确答案.

【详解】，

，即，

，

所以.

故选：B

6．已知角终边经过点，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用三角函数的定义求得正确答案.

【详解】，

所以.

故选：D

7．已知函数，若有4个零点，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】画出的图象，根据与有个公共点求得的取值范围.

【详解】画出的图象如下图所示，

有4个零点，即与有个公共点，

所以的取值范围是.

故选：A

8．函数，若，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先化简函数为，再根据，得到，分别为的最大值和最小值求解.

【详解】解：函数，

，

，

因为，则

所以，

因为，

所以，一个为的最大值，一个为最小值，

则，或

解得，或

所以（i），或（ii）

对于（i），当时，的最小值是，

对于（ii），当时，的最小值是，

综上，的最小值是，

故选：D

二、多选题

9．下列命题是真命题的是（    ）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．若命题的否定是“，”，则命题可写为“，”

C．若“，”是假命题，则实数的范围为

D．若，，则对恒成立

【答案】ACD

【分析】根据充分、必要条件、全称量词命题的否定、存在量词命题的真假性，作差比较法判断

【详解】A选项，或，

所以“”是“”的充分不必要条件，A选项正确.

B选项，全称量词命题的否定是存在量词命题，注意到是否定结论而不是否定条件，所以B选项错误.

C选项，“，”是假命题，

所以“，”是真命题，

所以，函数在上递增，

最小值为，所以，所以C选项正确.

D选项，由于，

所以对恒成立，D选项正确.

故选：ACD

10．已知是上的减函数，那么的取值可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据函数的单调性列不等式，求得的取值范围，进而确定正确答案.

【详解】依题意，在上递减，

所以，解得.

所以AC选项符合，BD选项不符合.

故选：AC

11．已知函数的图象为，则下列结论中正确的是（    ）

A．图象关于直线对称

B．图象的所有对称中心都可以表示为（）

C．函数在上的最小值为

D．函数在区间上单调递减

【答案】ABC

【分析】化简的解析式，根据三角函数的对称性、最值、单调性等知识确定正确答案.

【详解】，

A选项，，所以图象关于直线对称，A选项正确.

B选项，由，解得，

所以图象的所有对称中心都可以表示为（），B选项正确.

C选项，，

所以当时，取得最小值，C选项正确.

D选项，，

所以函数在区间上单调递增，D选项错误.

故选：ABC

12．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．是奇函数

B．是偶函数

C．在区间上是增函数，在区间上是减函数

D．有最大值

【答案】BC

【分析】根据函数的奇偶性、单调性、最值等知识确定正确答案.

【详解】，

令，则，

所以是偶函数，A选项错误，B选项正确.

函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，

根据复合函数单调性同增异减可知：

在区间上是增函数，在区间上是减函数，C选项正确.

由于在区间上是增函数，在区间上是减函数，

但的定义域是，所以没有最大值，D选项错误.

故选：BC

三、填空题

13．已知，则的值是________.

【答案】

【分析】根据诱导公式可解得结果.

【详解】因为，

所以.

故答案为：

14．函数的单调递增区间是____________．

【答案】##

【分析】由出定义域，然后由复合函数的单调性得结论．

【详解】，或，

是增函数，在上递减，在上递增，

所以的增区间是．

故答案为：．

15．已知函数（，，）的部分图象如图，则______．

【答案】

【分析】根据图象求得的解析式，然后求得.

【详解】由图可知，，，

，

由于，所以，

所以，.

故答案为：

四、双空题

16．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急．约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即．现已知，，则______，______．

【答案】     2     3

【分析】利用对数运算求得正确答案.

【详解】，

所以.

，

所以.

故答案为：；

五、解答题

17．已知．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用两角和的正切公式求得.

（2）结合同角三角函数的基本关系式、诱导公式、二倍角公式求得正确答案.

【详解】（1），

解得．

（2）

.

18．已知全集，集合，______．

在下面三个条件中任选一个，补充在上面的已知条件中并作答：

①

②

③

(1)当时，求；

(2)当时，“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．

【答案】(1)条件选择见解析，

(2)

【分析】（1）解不等式求得集合，选择条件后求得集合，由此求得.

（2）根据充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围.

【详解】（1）当时，，或．

选①，，解得，

∴，∴．

选②，,解得，

，∴．

选③，，，

，∴．

（2）当时，，

∵“”是“的充分不必要条件，∴，

解得．

故的范围为．

19．函数的图象如图所示，该图象由幂函数与对数函数“拼接”而成．

(1)求的解析式；

(2)若，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据列方程组来求得的值，进而求得.

（2）根据幂函数的单调性、定义域列不等式，由此求得的取值范围.

【详解】（1）依题意得，解得，

所以．

（2）由得，

解得，∴取值范围为．

20．某药品企业经过市场调研，生产某种药品需投入月固定成本3万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，在月产量不足7万件时，；在月产量不小于7万件时，，每件药品售价6元，通过市场分析该企业的药品能当月全部售完．

(1)写出月利润（万元）关于月产量（万件）的函数解析式（注：月利润＝月销售收入－固定成本－流动成本）；

(2)月产量为多少万件时，该企业在这一药品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)

(2)当月产量为12万件时，该企业所获利润最大值为10万元

【分析】（1）根据已知条件求得分段函数的解析式.

（2）根据二次函数的性质、基本不等式求得最大利润，以及此时的月产量.

【详解】（1）由题意得，当时，，

当时，，

故.

（2）当时，，当时，最大值为5万元．

当时，，

当且仅当，即时等号成立，即最大值为10万元．

∵，∴当月产量为12万件时，该企业所获利润最大值为10万元．

21．设函数．

(1)求使不等式成立的的取值范围；

(2)先将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再向右平移个单位；最后向下平移个单位得到函数的图象，若不等式0在上恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）化简的解析式，根据三角不等式的解法求得正确答案.

（2）先求得的解析式，然后利用换元法，结合二次函数的性质求得的取值范围.

【详解】（1），

得，∴．

则的取值集合为．

（2）将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得，

再向右平移个单位得函数，最后向下平移个单位得到，

∴

令，由得，

设，在上递增，在上递减，

要使不等式恒成立，只需恒成立即可，

∴，故为所求．

22．某中学高一学生组建了数学研究性学习小组．在一次研究活动中，他们定义了一种新运算“”：（为自然对数的底数，），，．进一步研究，发现该运算有许多奇妙的性质，如：，等等．

(1)对任意实数，，，请判断是否成立？若成立请证明；若不成立，请举反例说明．

(2)若（），，，．定义闭区间（）的长度为，若对任意长度为1的区间，存在，，，求正数的最小值．

【答案】(1)成立，证明见解析

(2)4

【分析】（1）根据新定义以及对数运算证得成立.

（2）先求得的解析式，结合差比较法列不等式，由此求得的取值范围，进而求得正数的最小值.

【详解】（1）由定义得：，

∴．

∵．

∴．

（2）

，

∴（）．

∴开口向上，对称轴为：．

∵，根据二次函数的对称性不妨设，

当时，在内单调递增，

则，即，可得．

当，即时，在内单调递减，内单调递增．

，

由，则，即，故．

∴，，

∴正数的最小值为4．

【点睛】关键点点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及运算，利用化归与转化的数学思想方法，将不熟悉的问题，转化为熟悉的问题来进行求解.如本题中的新定义运算，涉及的是对数运算以及指数运算.