2021-2022学年福建省南安市第六中学高一下学期4月阶段考试数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年福建省南安市第六中学高一下学期4月阶段考试数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年福建省南安市第六中学高一下学期4月阶段考试数学试题 一、单选题1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sinA：sinB＝（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由条件利用正弦定理可得 ＝，运算求得结果.【详解】在△ABC中，a＝5，b＝3，则由正弦定理可得 ＝＝，故选：A.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于简单题.2．在中，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理求解即可.【详解】因为，所以由余弦定理得，又，则．故选：B.3．已知复平面内向量（O为坐标原点）的坐标为（-2，1），则向量对应的复数为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】复数对应的点为（-2，1），即得解.【详解】解：复数对应的点为（-2，1），又向量（O为坐标原点）的坐标为（-2，1），故选：.4．利用斜二测画法画一个水平放置的平面四边形的直观图，得到的直观图是一个边长为1的正方形（如图所示），则原图形的形状是（　　）A． B． C． D．【答案】A【详解】设直观图中的正方形为，则有，则对应在原图形中有且，故选A5．在中，，，，则的面积为（    ）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】直接利用三角形面积公式进行计算.【详解】的面积为.故选：C【点睛】本题考查三角形面积公式，属于基础题.6．如图所示，三棱台截去三棱锥后，剩余部分几何体是（    ）A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．不规则几何体【答案】C【分析】根据图形特点进行判断.【详解】根据图形可见，底面四条边，所以为四棱锥.故选：C.7．复数的共轭复数是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用复数的乘除运算求出，结合共轭复数的概念求出它的共轭复数即可.【详解】由题意知，令，所以复数的共轭复数为，故选：C8．在中，角所对的边分别为，若，则三角形一定是（　　）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等边三角形【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知的式子统一成角的形式，再利用三角函数恒等变换公式化简变形即可判断三角形的形状【详解】因为，所以由正弦定理得,所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以为等腰三角形，故选：C 二、多选题9．在中，若，则为（    ）A．60° B．150° C．120° D．30°【答案】AC【分析】由大边对大角可知，从而得，由正弦定理可得，根据特殊三角函数值即可得答案.【详解】解：因为，所以(大边对大角)，由正弦定理可知，∴，又因为，∴或．故选:．10．下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（    ）A． B．C．的共轭复数为 D．的虚部为【答案】ABD【分析】根据复数的运算法则，化简复数为，结合复数的基本概念，逐项判定，即可求解.【详解】由复数，则，所以A正确；因为，所以B正确；根据共轭复数的概念，可得复数的共轭复数为，所以C不正确；根据复数的基本概念可得，复数的虚部为，所以D正确.故选：ABD.11．下列说法正确的是（    ）A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱B．棱锥的侧面一定都是三角形C．棱台各侧棱所在直线必交于一点D．有两个面为矩形且相互平行，其余四个面均为等腰梯形的几何体一定是四棱台【答案】BC【分析】对A，根据棱柱的定义即可判断；对B，根据棱锥的定义即可判断；对C，根据棱台的定义即可判断；对D，根据棱台的定义即可判断.【详解】解：对A，如图所示：将两个平行六面体合在一起，但不是棱柱，故A错误；对B，根据棱锥的定义可知：棱锥的侧面一定都是三角形，故B正确；对C，根据棱台的定义可知：棱台各侧棱所在直线必交于一点，故C正确；对D，如图所示：该几何体的上下底面是两个全等的矩形，两矩形平行，且上面矩形的长与下面矩形的宽对应平行，则四个侧面均为等腰梯形，但四条侧棱并不交于同一点，故不是四棱台，故D错误.故 选：BC.12．在南方不少地区，经常看到人们头戴一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为了一种时尚旅游产品.有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽厘米，关于此斗笠，下面说法正确的是（    ）A．若每100平方厘米的斗笠面需要价值1元的材料，此斗笠的制作费为元B．用此斗笠盛水，则需要立方厘米的水才能将斗笠装满C．斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为D．过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为平方厘米【答案】ABC【分析】根据圆锥的母线长为20，底面半径为，分别求圆锥的侧面积，体积和轴截面判断.【详解】如图所示：由题意知：，A. 圆锥的侧面积为：，所以若每100平方厘米的斗笠面需要价值1元的材料，此斗笠的制作费为元，故正确；B. ，圆锥的体积为，所以用此斗笠盛水，则需要立方厘米的水才能将斗笠装满，故正确；C. ，则，所以，所以斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为，故正确；D.由C知斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为，所以过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为平方厘米，故错误；故选：ABC 三、填空题13．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.【答案】0【分析】由余弦定理化简求值．【详解】∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos 120°＝a2＋c2＋ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝0.故答案为：014．已知是关于x的方程的一个根，则该方程的另一个根为________．【答案】【分析】由韦达定理可得两根之和为，计算可得所求另一根．【详解】解：是关于的方程的一个根，设该方程的另一个根为，可得，解得.故答案为：．15．如图，若斜边长为的等腰直角（与重合）是水平放置的的直观图，则的面积为________．【答案】【分析】还原原图，计算面积即可.【详解】在斜二测直观图中， 由为等腰直角三角形，，可得，．还原原图形如图： 则，则，故答案为：.16．如图所示，半径为R的半圆内（其中）的阴影部分以直径所在直线为轴，旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为______．【答案】【分析】要求旋转后阴影部分的体积即是球的体积减去两个圆锥的体积，根据，，可以求得，、的长，再根据圆锥的体积公式和球的体积公式进行计算．【详解】解：为直径，．，，又，，，，．，，故答案为： 四、解答题17．已知复数，.(1)求；(2)若满足为纯虚数，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据复数代数形式的运算法则即可求出；（2）根据纯虚数的概念即可求出参数，再根据复数模的计算公式即可求出．【详解】（1）．（2）因为为纯虚数，∴，∴.即，．18．的内角，，的对边分别为，，.已知，，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】由正弦定理求出，由余弦定理列出关于的方程，然后求出．【详解】解：（1）因为，，.由正弦定理，可得，所以；（2）由余弦定理，，，（舍），所以.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，在已知两边和一边对角时可用余弦定理列方程求出第三边．19．如图所示，正六棱锥的底面周长为24，H是的中点，O为底面中心，，(1)求出正六棱锥的高；斜高；侧棱长(2)求出六棱锥的表面和体积【答案】(1)高为6，斜高为，侧棱长为(2)表面积是，体积是 【分析】（1）由条件依次求得，，的长即可.（2）由棱锥表面积及体积的计算公式，求得表面积和体积.【详解】（1）因为正六棱锥的底面周长为24，所以正六棱锥的底面边长为4．在正六棱锥中，，H为中点，所以．因为O是正六边形的中心，所以为正六棱锥的高．，在中，，所以．在中，．在中，，，所以．故该正六棱锥的高为6，斜高为，侧棱长为．（2）的面积为，的面积为，所以正六棱锥的表面积为，体积为.20．已知复数．（Ⅰ）当取什么值时，复数是纯虚数？（Ⅱ）当时，求．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）20.【分析】（I）利用复数为纯虚数的充要条件即可得出；（II）利用复数的运算法则即可得出【详解】（Ⅰ）若为纯虚数，则，解得．故当时，复数是纯虚数．（Ⅱ）当时，，∵，∴．21．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求A；（2）若A为锐角，，的面积为，求的周长．【答案】（1）或； （2） .【分析】(1)由正弦定理将边化为对应角的正弦值，即可求出结果；(2)由余弦定理和三角形的面积公式联立，即可求出结果.【详解】（I） 由正弦定理得， ，即又， 或．（II），由余弦定理得，即 ，而的面积为 ． 的周长为5+．【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，属于基础题型.22．如图矩形是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中，．（1）画出平面四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC的面积；（2）若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．【答案】（1）平面图见解析，面积为；（2）体积为，表面积为.【分析】（1）根据斜二测画法所画的直观图与平面图的关系作出平面图形，然后根据面积公式求解出面积即可；（2）画出几何体的直观图，然后根据圆柱、圆锥的体积和表面积公式求解出旋转形成的几何体的体积及表面积.【详解】（1）平面四边形的平面图如下图所示：由直观图可知菱形的高为：，所以面积为；（2）旋转而成的几何体如下图所示：该几何体可以看成圆柱挖去一个同底的圆锥再加上一个同底的圆锥，由（1）可知圆柱的底面圆半径为，母线长为，所以体积；所以表面积.