2022-2023学年广东省东莞市第四高级中学高一下学期2月模拟数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省东莞市第四高级中学高一下学期2月模拟数学试题

一、单选题

1．已知集合, 则=（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】解不等式后由补集与并集的概念求解

【详解】由题意得，，则

故选：B

2．已知命题，都有；命题，使得，则下列命题中为真命题的是（    ）

A．p且q B．且q C．p且 D．且

【答案】B

【分析】可以通过举例来说明命题为假命题，命题为真命题，所以为真命题，为假命题，从而可以判断选项的真假.

【详解】因为当时，，所以命题，都有为假命题；

因为当时，，满足，所以命题，使得是真命题，

所以为真命题，为假命题，

所以p且q为假命题，且q为真命题，p且为假命题，且为假命题.

故选：B.

3．“m=-2”是“直线l1: mx+4y+4=0与直线l2: x+my+1=0平行”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】因为m=-2，所以直线l1: x-2y-2=0，直线l2: x-2y+1=0平行，故充分；

当直线l1: mx+4y+4=0与直线l2: x+my+1=0平行时，，

解得或，

当时，直线l1: x+2y+2=0与直线l2: x+2y+1=0平行，

当时，直线l1: x-2y-2=0，直线l2: x-2y+1=0平行，故不必要，

故选：A

4．已知函数满足，且当时，，设，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，由可得函数为偶函数，则，

据此结合函数的解析式分析可得在上为增函数，结合函数的单调性可得

，然后即可得出答案

【详解】根据题意，函数满足，即函数为偶函数，

故,

当时，, 分析易得为减函数，

则在上为增函数，

又由，

则有，

故选：B

【点睛】本题考查比较大小问题，难点在于利用偶函数的性质判断出在上为增函数，然后利用函数的单调性进行判断即可

5．函数（且）的图象恒过点，则下列函数中图象不经过点的是(  )

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先求出函数所过定点，然后分别代入选项检验得到答案.

【详解】函数（且）中，当时，，所以它的图象恒过点,

A. 将点代入,成立;

B. 代入点不成立;

C. ,代入点成立;

D. 代入点成立.

故选：B．

6．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在年约为万吨，年的年增长率为，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从（    ）年开始，快递业产生的包装垃圾超过万吨.（参考数据：，）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】表示从年开始增加的年份的数量，由题意可得，解出满足该不等式的最小正整数的值，即可得出结果.

【详解】设快递行业产生的包装垃圾为万吨，表示从年开始增加的年份的数量，

由题意可得，

由于第年快递行业产生的包装垃圾超过万吨，即，，

两边取对数得，即，

因此，从年开始，快递行业产生的包装垃圾超过万吨，

故选：B．

【点睛】本题考查了指数函数模型在实际生活中的应用，列出不等式是解题的关键，考查运算求解能力，属于中档题．

7．已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】推导出函数是周期函数，且周期为，以及函数在区间上为增函数，利用函数的周期性和单调性可得出、、的大小关系.

【详解】由题意可知，故函数是周期函数，且周期为，

则，，，

因为奇函数在区间上是增函数，则该函数在区间上也为增函数，

故函数在区间上为增函数，所以，即.

故选：D.

8．已知函数与函数的交点个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【解析】根据函数解析式，先求得当时的导函数，利用导函数判断函数在时单调区间，并求得极小值；再根据函数性质可得为偶函数.在平面直角坐标系中画出与的图象，即可由函数图象判断两个函数交点个数.

【详解】当时，，则，

令可得(舍去)或；

当时，，

当时，，

故在(0，1)上单调递减，在上单调递增，且.

当时，则，且，故的图象关于y轴对称.

因此，在同一坐标系中画出函数与曲线的图象如图所示：

由图可知，它们有5个交点.

故选:D

【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调区间及求极值，分段函数奇偶性的判定，由数形结合法求两个函数交点个数，属于中档题.

二、多选题

9．下列函数在定义域内既是奇函数又是减函数的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据基本初等函数函数的单调性与奇偶性判断可得；

【详解】解：对于A：定义域为的奇函数，函数在和上单调递减，故A错误；

对于B：定义域为，且，即为奇函数，又函数与在定义域上单调递减，所以在定义域上单调递减的奇函数，故B正确；

对于C：定义域为为，且，故函数为奇函数，又单调递减，故C正确；

对于D：定义域为为，，故函数为奇函数，又，函数在定义域上单调递增，函数在上单调递增，所以在定义域上单调递增，故D错误；

故选：BC

10．已知，，，则下列说法正确的是（    ）

A． B． C．

D． E．

【答案】AC

【解析】根据题意，得到，两式分别平方相加，根据两角差的余弦公式，得到，可判断AB；根据，结合题意，得到，求出，即可判断出结果.

【详解】由已知，得.

两式分别平方相加，得.

∴，∴，∴A正确；B错误.

∵，∴，∴，∴C正确，D、E错误，

故选：AC.

【点睛】本题主要考查三角恒等变换的应用，给值求值的问题，以及给值求角的问题，熟记同角三角函数基本关系，以及两角差的余弦公式即可，属于常考题型.

11．已知，则下列式子一定成立的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】根据基本不等式，逐一分析各个选项，即可得答案.

【详解】对于A：因为，所以，

所以，当且仅当时等号成立，故A正确；

对于B：，

因为，所以，当且仅当时等号成立，

所以，，

所以，故B错误；

对于C：，当且仅当时等号成立，

，当且仅当时等号成立，

所以，故C错误；

对于D：，

因为，所以，当且仅当时等号成立，

所以，所以，

所以，故D正确，

故选：AD

12．已知函数函数，则（    ）

A．函数的值域为

B．存在实数，使得

C．若恒成立，则实数的取值范围为

D．若函数恰好有5个零点，则函数的5个零点之积的取值范围是

【答案】BD

【分析】根据分段函数的图象性质逐项判断即可.

【详解】解：对于A选项，画出函数的大致图象，如图所示，

可知函数的值域为，其中，故选项A错误；

对于B选项，若时，若，有，函数和的图象有交点，如图：

故选项B正确；

对于C选项，令，由，设，

①当时，，舍去；

②当时，，，可得，故选项C错误；

对于D选项，∵函数恰好有5个不同的零点，∴方程有5个根，可得，有或，不妨设，如图：

可知，可得，故，故选项D正确.

故选：BD．

三、填空题

13．如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”. 试写出的一个“同域函数”的解析式为____________.

【答案】，（答案不唯一）

【解析】由解析式可求得函数定义域；根据函数单调性确定函数的值域；根据“同域函数”的定义写出一个符合题意的函数即可.

【详解】由得：    的定义域为

又为定义域内的增函数    值域为

的一个“同域函数”为，

故答案为：，（答案不唯一）

【点睛】本题考查函数新定义的问题，关键是能够明确新定义的含义实际是确定定义域和值域相同的函数，通过求解函数的定义域和值域得到所求函数.

14．的值是________．

【答案】

【分析】根据三角函数的诱导公式，准确运算，即可求解.

【详解】由三角函数的诱导公式，可得

.

故答案为：.

15．=_____________.

【答案】12

【分析】根据指数幂与对数的运算性质，即可化简，得到答案.

【详解】由题意，根据指数幂与对数的运算性质，可得

.

【点睛】本题主要考查了根据指数幂与对数的运算性质的化简求值，其中解答中熟记指数幂与对数的运算性质，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

16．已知函数，若函数的图像在区间上恰有2个零点，则实数的取值范围为__________.

【答案】

【分析】根据辅助角公式求解，然后结合正弦函数性质求解即可.

【详解】，

由，得，

要使函数的图像在区间上恰有2个零点，则，

所以

故答案为：

四、解答题

17．计算：

（1）

（2）

【答案】（1）2；（2）.

【分析】（1）直接根据对数的运算性质计算即可得结果；

（2）直接根据指数的运算性质计算即可得结果.

【详解】（1）原式.

（2）原式

.

【点睛】本题主要考查了指数与对数的计算，熟练掌握运算性质是解题的关键，属于基础题.

18．已知集合==,全集.

(1)当时,求;

(2)若,求实数的取值范围.

【答案】(1);(2).

【分析】（1）分别求出集合，根据集合运算的定义解答;

(2)①当即时,A=Ø,符合Ø;

②,即时,要使得，应有⇒.据此解答.

【详解】首先==,

(1)当时,,

于是,

,

(2)①当即时,A=Ø,符合;

②,即时,

要使得,应有⇒,

又,所以.

综上,若,的取值范围为

【点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.

(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.

(3)防范空集.在解决有关等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑Ø是否成立，以防漏解.

19．已知函数，.

(1)求的最小正周期和最大值；

(2)设，求函数的单调区间.

【答案】(1)最小正周期为，最大值.

(2)单调减区间为，单调增区间为

【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，利用正弦型函数的周期公式以及正弦函数的有界性可求得结果；

（2）求得，利用余弦型函数的基本性质可求得函数的增区间和减区间.

【详解】（1）解：.

所以，的最小正周期.

当时，取得最大值．

（2）解：由（1）知，

又，

由，解得，

所以，函数的单调增区间为.

由，解得.

所以，函数的单调减区间为.

20．某公司的新能源产品上市后在国内外同时销售，已知第一批产品上市销售40天内全部售完，该公司对这批产品上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，如图所示，其中图①中的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图②中的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；下表表示的是产品广告费用、产品成本、产品销售价格与上市时间的关系．

图①           图②

(1)分别写出国外市场的日销售量、国内市场的日销售量与产品上市时间t的函数关系式；

(2)产品上市后的哪几天，这家公司的日销售利润超过260万元?

(日销售利润=(单件产品销售价－单件产品成本)×日销售量－当天广告费用，)

【答案】（1），，，；（2）在第，共天，这家公司的日销售利润超过万元.

【分析】（1）根据两个图像分别求出（分段函数）、（二次函数）的解析式.

（2）根据（1）得到分段函数，再根据表格中的成本和销售价格得到日销售利润的分段函数，解不等式可得的取值范围.

【详解】（1）由图①的折线图可得：

，

同理图②表示的是二次函数一部分，可得：

，，.

（2）设这家公司的日销售利润为，则国内外日销售总量为

由表可知：

，

当时，，

故在上单调递增，且，；

当时，令，无解；

当时，.

答：新能源产品上市后，在第16,17,18,19,20，共5天，这家公司的日销售利润超过260万元.

【点睛】本题为函数的应用，要求根据实际问题构建分段函数模型并利用模型解决实际问题，数学模型构建时要根据已有的计算公式进行计算，要根据函数的单调性、函数的值域等选择合理方法解不等式.

21．某公司带来了高端智能家居产品参展，供购商洽谈采购，并决定大量投放中国市场.已知该产品年固定研发成本30万元，每生产一台需另投入90元.设该公司一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，.

(1)求年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入一成本）；

(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润.

【答案】(1)

(2)当年产量为29万台时，该公司在该产品中获得的利润最大，最大利润为2380万元.

【分析】(1)根据题意，每万台的销售收入是一个分段函数，根据生产产品的数量求出对应的解析式即可求解；

(2)分段讨论函数的最值，最后比较大小得出结果.

【详解】（1）当时，；

当时，，

所以函数解析式为.

（2）当时，因为，

又因为函数在上单调递增，

所以当时，取最大值，；

当时，

(当且仅当，即时等号成立)

因为，所以时，的最大值为万元.

22．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”.

（1）二次函数（且）.

①若，有恒成立，求的取值范围；

②判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；

（2）若为上的“局部奇函数”，求实数的取值范围.

【答案】（1）①；②不是“局部奇函数”，答案见解析；（2）.

【解析】（1）①由可得；由且结合参变量分离法可得出，利用基本不等式求得的最大值，由此可得出实数的取值范围；

②利用“局部奇函数”的定义得出，判断该方程是否有解即可得出结论；

（2）利用“局部奇函数”的定义可得出，换元，求得函数在区间上的值域，由此可解得实数的取值范围.

【详解】（1）①由题意可得，解得；

当时，由，可得，则，

由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，.

综上所述，实数的取值范围是；

②若函数为局部奇函数，则存在使得，

即，可得出，

，，则等式不成立.

因此，函数不是“局部奇函数”；

（2）为“局部奇函数”，

则存在使得，即，

可得，可得出，

，

令，当且仅当时，等号成立，

则，，

由于函数和在上都为增函数，

所以，函数在上为增函数，，

，解得.

因此，实数的取值范围是.

【点睛】求解二次方程在区间上有解的问题，一般利用分类讨论法与参变量分离法求解，利用分类讨论法求解时要分析二次函数的对称轴与定义域的位置关系，结合端点函数值符号以及判别式求解，本题利用参变量分离法得出的取值范围即为函数在区间上值域问题，极大地简化了分析步骤.