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河北省衡水中学2016届高三（上）六调数学试卷（理科）（解析版）
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这是一份河北省衡水中学2016届高三（上）六调数学试卷（理科）（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．已知集合A={x||x+1|≤2，x∈z}，B={y|y=x2，﹣1≤x≤1}，则A∩B=（ ）
A．（﹣∞，1] B．[﹣1，1] C．{0，1} D．{﹣1，0，1}
2．若z是复数，且（3+z）i=1（i为虚数单位），则z的值为（ ）
A．﹣3+i B．﹣3﹣i C．3+i D．3﹣i
3．已知甲、乙两名篮球运动员某十场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人在这十场比赛中得分的平均数与方差的大小关系为（ ）
A．＜，S2甲＜S2乙 B．＜，S2甲＞S2乙
C．＞，S2甲＞S2乙 D．＞，S2甲＜S2乙
4．设x，y满足，若目标函数z=ax+y（a＞0）最大值为14，则a为（ ）
A． B．23 C．2 D．1
5．设Sn是等比数列{an}的前n项的和，Sm﹣1=45，Sm=93，则Sm+1=189，则m=（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．在△ABC中，点D满足，点E是线段AD上的一个动点，若，则t=（λ﹣1）2+μ2的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）
A．50种 B．49种 C．48种 D．47种
8．设集合A={1，2}，B={1，2，3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P（a，b），记“点P（a，b）落在直线x+y=n上”为事件Cn（2≤n≤5，n∈N），若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为（ ）
A．3 B．4 C．2和5 D．3和4
9．已知函数f（x）=，若存在x1，x2，当0≤x1＜4≤x2≤6时，f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围是（ ）
A．[0，1） B．[1，4] C．[1，6] D．[0，1]∪[3，8]
10．某几何体的三视图如图所示，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为（ ）
A．10+6+4π（cm2） B．16+6+4π（cm2） C．12+4π（cm2） D．22+4π（cm2）
11．已知抛物线C1：y=x2（p＞0）的焦点与双曲线C2：﹣y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（ ）
A． B． C． D．
12．关于曲线C：，给出下列四个命题：
A．曲线C关于原点对称 B．曲线C有且只有两条对称轴
C．曲线C的周长l满足 D．曲线C上的点到原点的距离的最小值为
上述命题中，真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分）
13．为了测量一古塔的高度，某人在塔的正西方向的A地测得塔尖的仰角为45°，沿着A向北偏东30°前进100米到达B地（假设A和B在海拔相同的地面上），在B地测得塔尖的仰角为30°，则塔高为 米．
14．在（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）9的展开式中，x2项的系数是 （用数字作答）
15．已知抛物线y2=4x的准线与双曲线=1（a＞0，b＞0）交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 ．
16．半径为1的球的内部有4个大小相同的半径为r的小球，则小球半径r可能的最大值为 ．
三、解答题（本大题共六小题共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知函数
（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在[﹣π，0]上的值域．
18．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥面ABCD．AD=1，，BC=4．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）求直线AB与平面PDC所成角；
（3）设点E在棱PC、上，，若DE∥面PAB，求λ的值．
19．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名．其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如表：
微信控
非微信控
合计
男性
26
24
50
女性
30
20
50
合计
56
44
100
（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？
（2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；
（3）从（2）中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为X，试求X的分布列及数学期望．
参考公式：，其中n=a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.50
0.40
0.25
0.05
0.025
0.010
k0
0.455
0.708
1.323
3.841
5.024
6.635
20．已知椭圆的两个焦点分别为F1（﹣c，0）和F2（c，0）（c＞0），过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求直线AB的斜率；
（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF1C的外接圆上，求的值．
21．设函数．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）是否存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．
选修4一1：几何证明选讲
22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．
（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；
（Ⅱ）求BC的长．
选修4-4：坐标系与参数方程
23．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程是以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点M（﹣1，0），直线l与曲线C交于A，B两点．
（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；
（2）线段MA，MB长度分别记|MA|，|MB|，求|MA|•|MB|的值．
选修4一5不等式选讲
24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|
（1）求不等式f（x）≤3的解集；
（2）若不等式||a+b|﹣|a﹣b||≤|a|f（x）（a≠0，a∈R，b∈R）恒成立，求实数x的范围．
2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．已知集合A={x||x+1|≤2，x∈z}，B={y|y=x2，﹣1≤x≤1}，则A∩B=（ ）
A．（﹣∞，1] B．[﹣1，1] C．{0，1} D．{﹣1，0，1}
【考点】交集及其运算．
【分析】分别求出A和B，由此能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A={x||x+1|≤2，x∈z}
={x|﹣3≤x≤1，x∈Z}={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，
B={y|y=x2，﹣1≤x≤1}={y|0≤y≤1}，
∴A∩B={0，1}．
故选：C．
2．若z是复数，且（3+z）i=1（i为虚数单位），则z的值为（ ）
A．﹣3+i B．﹣3﹣i C．3+i D．3﹣i
【考点】复数代数形式的混合运算．
【分析】由（3+z）i=1，可得 z=，再利用两个复数代数形式的除法法则，运算求出z的值．
【解答】解：∵（3+z）i=1，∴z==﹣3﹣i，
故选B．
3．已知甲、乙两名篮球运动员某十场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人在这十场比赛中得分的平均数与方差的大小关系为（ ）
A．＜，S2甲＜S2乙 B．＜，S2甲＞S2乙
C．＞，S2甲＞S2乙 D．＞，S2甲＜S2乙
【考点】极差、方差与标准差；茎叶图．
【分析】由茎叶图，分别求出和，由茎叶图知：甲的数据较分散，乙的数所较集中，由此能求出结果．
【解答】解：由茎叶图，得：
=（15+24+23+31+36+37+39+49+44+50）=34.8，
=（18+16+14+13+28+26+23+51）=23.625，
∴＞，
又由茎叶图知：甲的数据较分散，乙的数所较集中，
∴＜，
故选：D．
4．设x，y满足，若目标函数z=ax+y（a＞0）最大值为14，则a为（ ）
A． B．23 C．2 D．1
【考点】简单线性规划．
【分析】由线性约束条件画出可行域，然后结合目标函数的最大值．求出a的值．
【解答】解：画出约束条件的可行域，如图：目标函数z=ax+y（a＞0）最大值为14，即目标函数z=ax+y（a＞0）在的交点M（4，6）处，目标函数z最大值为14，
所以4a+6=14，所以a=2．
故选C．
5．设Sn是等比数列{an}的前n项的和，Sm﹣1=45，Sm=93，则Sm+1=189，则m=（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】由题意得===2，再由Sm==93解得a1=3，从而求m．
【解答】解：∵===2，
∴Sm===93，
故a1=3，
故am=3•2m﹣1=48，
解得，m=5，
故选B．
6．在△ABC中，点D满足，点E是线段AD上的一个动点，若，则t=（λ﹣1）2+μ2的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】根据共线向量基本定理可得到存在实数k，，0≤k≤1，然后根据已知条件及向量的加法、减法的几何意义即可得到，从而得到．代入t，进行配方即可求出t的最小值．
【解答】解：如图，
E在线段AD上，所以存在实数k使得；
；
∴==；
∴；
∴=；
∴时，t取最小值．
故选：C．
7．设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）
A．50种 B．49种 C．48种 D．47种
【考点】组合及组合数公式．
【分析】解法一，根据题意，按A、B的元素数目不同，分9种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案；
解法二，根据题意，B中最小的数大于A中最大的数，则集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，按A、B中元素数目这和的情况，分4种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案．
【解答】解：
解法一，若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有C52=10种；
若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C53=10种；
若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C54=5种；
若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有C55=1种；
若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C53=10种；
若集合A中有两个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C54=5种；
若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C55=1种；
若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C54=5种；
若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C55=1种；
若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C55=1种；
总计有49种，选B．
解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，
从5个元素中选出2个元素，有C52=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；
从5个元素中选出3个元素，有C53=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法；
从5个元素中选出4个元素，有C54=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；
从5个元素中选出5个元素，有C55=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4×1=4种方法；
总计为10+20+15+4=49种方法．选B．
8．设集合A={1，2}，B={1，2，3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P（a，b），记“点P（a，b）落在直线x+y=n上”为事件Cn（2≤n≤5，n∈N），若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为（ ）
A．3 B．4 C．2和5 D．3和4
【考点】概率的意义；集合的含义．
【分析】分别从集合A和B中随机取一个数a和b，组成一个有序数对，共有2×3中方法，要计算事件Cn的概率最大时n的所有可能值，要把题目中所有的情况进行分析求解，比较出n的所有可能值．
【解答】解：事件Cn的总事件数为6．只要求出当n=2，3，4，5时的基本事件个数即可．
当n=2时，落在直线x+y=2上的点为（1，1）；
当n=3时，落在直线x+y=3上的点为（1，2）、（2，1）；
当n=4时，落在直线x+y=4上的点为（1，3）、（2，2）；
当n=5时，落在直线x+y=5上的点为（2，3）；
显然当n=3，4时，事件Cn的概率最大为，
故选D
9．已知函数f（x）=，若存在x1，x2，当0≤x1＜4≤x2≤6时，f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围是（ ）
A．[0，1） B．[1，4] C．[1，6] D．[0，1]∪[3，8]
【考点】分段函数的应用．
【分析】根据已知将x1•f（x2）转化为x1f（x1），再根据函数y=xf（x）的性质求解．
【解答】解：当0≤x1＜4≤x2≤6时，因为f（x1）=f（x2），由f（x1）=f（x2）=1或f（x1）=f（x2）=2，得到x1的取值范围是[1，3]，
所以x1•f（x2）=x1•f（x1）=x1（1﹣|x1|﹣2）=，即x1f（x2）的范围是[1，4]．
故选B．
10．某几何体的三视图如图所示，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为（ ）
A．10+6+4π（cm2） B．16+6+4π（cm2） C．12+4π（cm2） D．22+4π（cm2）
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，三棱柱的是一个底面是腰长为2的等腰直角三角形，高是3，圆柱的底面半径是1，高是3，写出表面积．
【解答】解：由三视图知，几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，
三棱柱的是一个底面是腰为2的等腰直角三角形，高是3，
半圆柱的底面半径是1，高是3，
∴组合体的表面积是2×2+2×3+2×3+π+π×1×32=10+6+4π．
故选：A．
11．已知抛物线C1：y=x2（p＞0）的焦点与双曲线C2：﹣y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（ ）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数y=x2（p＞0）在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．
【解答】解：由抛物线C1：y=x2（p＞0）得x2=2py（p＞0），
所以抛物线的焦点坐标为F（0，）．
由﹣y2=1得a=，b=1，c=2．
所以双曲线的右焦点为（2，0）．
则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，
即①．
设该直线交抛物线于M（），则C1在点M处的切线的斜率为．
由题意可知=，得x0=，代入M点得M（，）
把M点代入①得：．
解得p=．
故选：D．
12．关于曲线C：，给出下列四个命题：
A．曲线C关于原点对称 B．曲线C有且只有两条对称轴
C．曲线C的周长l满足 D．曲线C上的点到原点的距离的最小值为
上述命题中，真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】曲线与方程．
【分析】利用曲线方程的特点结合曲线的图象分别进行判断即可．
【解答】解：把曲线C中的（x，y ）同时换成（﹣x，﹣y ），方程不变，∴曲线C关于原点对称，即A正确；
曲线方程为，交换x，y的位置后曲线方程不变，∴曲线C关于直线y=x对称，同理，y=﹣x，x，y轴是曲线的对称轴，即B不正确；
在第一象限内，因为点（，）在曲线上，由图象可知曲线在直线y=﹣x+1的下方，且为凹函数如图：
由以上分析可知曲线C的周长l满足，正确．
曲线C上的点到原点的距离的最小值为（，）到原点的距离，为，即D正确．
真命题有3个，故选：C．
二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分）
13．为了测量一古塔的高度，某人在塔的正西方向的A地测得塔尖的仰角为45°，沿着A向北偏东30°前进100米到达B地（假设A和B在海拔相同的地面上），在B地测得塔尖的仰角为30°，则塔高为 50 米．
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】理解方位角、仰角的含义，画出图形，确定△ABD中的边与角，利用余弦定理，即可求得结论．
【解答】解：如图，CD为古塔的高度，设为hm，由题意，CD⊥平面ABD，AB=100米，∠BAD=60°，∠CAD=45°，∠CBD=30°
在△CBD中，BD=hm，在△CAD中，AD=hm，
在△ABD中，BD=hm，AD=hm，AB=100m，∠BAD=60°，
∴3h2=10000+h2﹣2×100hcos60°
∴（h﹣50）（h+100）=0
∴h=50或h=﹣100（舍去）
故答案为：50
14．在（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）9的展开式中，x2项的系数是 120 （用数字作答）
【考点】二项式系数的性质．
【分析】在（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）9的展开式中，x2项的系数是C22+C32+…+C92，然后利用组合数公式的性质求解．
【解答】解：在（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）9的展开式中，x2项的系数是C22+C32+…+C92=C103=120．
故答案为：120．
15．已知抛物线y2=4x的准线与双曲线=1（a＞0，b＞0）交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用三角形是直角三角形求出顶点坐标，代入双曲线方程，利用双曲线的几何量之间的关系，求出离心率的表达式，然后求解即可．
【解答】解：抛物线焦点F（1，0），由题意0＜a＜1，且∠AFB=90°并被x轴平分，
所以点（﹣1，2）在双曲线上，得，即，
即，所以，
∵0＜a＜1，∴e2＞5，
故．
故答案为：．
16．半径为1的球的内部有4个大小相同的半径为r的小球，则小球半径r可能的最大值为 ﹣2 ．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，求出正四面体的外接球半径，即可求得结论．
【解答】解：由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大．
以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，
该正四面体的高为=r，
设正四面体的外接球半径为x，则x2=（r﹣x）2+（r）2，
∴x=r，
∴1=r+r，
∴r==﹣2．
故答案为：﹣2．
三、解答题（本大题共六小题共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知函数
（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在[﹣π，0]上的值域．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式，结合辅助角公式进行化简，即可求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）根据三角函数的图象变换，进行化简求解即可．
【解答】解：（Ⅰ） ==，
由，k∈Z，
得，k∈Z，
所以f（x）的单调递减区间为，k∈Z．
（Ⅱ）将的图象向左平移个单位，得到=，
再将图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到．
∵x∈[﹣π，0]，∴．∴，
∴．
∴函数y=g（x）在[﹣π，0]上的值域为．
18．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥面ABCD．AD=1，，BC=4．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）求直线AB与平面PDC所成角；
（3）设点E在棱PC、上，，若DE∥面PAB，求λ的值．
【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的性质；与二面角有关的立体几何综合题．
【分析】（1）根据余弦定理求出DC的长，而BC2=DB2+DC2，根据勾股定理可得BD⊥DC，而PD⊥面ABCD，则BD⊥PD，PD∩CD=D，根据线面垂直判定定理可知BD⊥面PDC，而PC在面PDC内，根据线面垂直的性质可知BD⊥PC；
（2）在底面ABCD内过D作直线DF∥AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP为x、y、z轴建立空间坐标系，根据（1）知BD⊥面PDC，则就是面PDC的法向量，设AB与面PDC所成角大小为θ，利用向量的夹角公式求出θ即可．
（3）先求出向量，，，，，设=（x，y，z）为面PAB的法向量，根据•=0， •=0，求出，再根据DE∥面PAB，则•=0求出λ即可．
【解答】解：（1）∵∠DAB=90°，AD=1，AB=，∴BD=2，∠ABD=30°，
∵BC∥AD∴∠DBC=60°，BC=4，由余弦定理得DC=2，
BC2=DB2+DC2，∴BD⊥DC，
∵PD⊥面ABCD，∴BD⊥PD，PD∩CD=D，∴BD⊥面PDC，
∵PC在面PDC内，∴BD⊥PC
（2）在底面ABCD内过D作直线DF∥AB，交BC于F，
分别以DA、DF、DP为x、y、z轴建立如图空间坐标系，
由（1）知BD⊥面PDC，∴就是面PDC的法向量，
A（1，0，0），B（1，，0），P（0，0，a）=（0，，0），=（1，，0），
设AB与面PDC所成角大小为θ，cosθ==，
∵θ∈（0°，90°）∴θ=30°
（3）在（2）中的空间坐标系中A、（1，0，0），B、（1，，0），P（0，0，a）C、（﹣3，，0），
=（﹣3，，﹣a），=（﹣3λ，λ，﹣aλ），
=+=（0，0，a）+（﹣3λ，λ，﹣aλ）=（﹣3λ，λ，a﹣aλ）
=（0，，0），=（1，0，﹣a），
设=（x，y，z）为面PAB的法向量，
由•=0，
得y=0，由•=0，得x﹣az=0，取x=a，z=1， =（a，0，1），
由D、E∥面PAB得：⊥，∴•=0，﹣3aλ+a﹣aλ=0，∴λ=
19．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名．其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如表：
微信控
非微信控
合计
男性
26
24
50
女性
30
20
50
合计
56
44
100
（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？
（2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；
（3）从（2）中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为X，试求X的分布列及数学期望．
参考公式：，其中n=a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.50
0.40
0.25
0.05
0.025
0.010
k0
0.455
0.708
1.323
3.841
5.024
6.635
【考点】独立性检验的应用．
【分析】（1）计算K2的值，与临界值比较，可得结论；
（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，选出5人赠送营养面膜1份，可得结论．
（3）X的取值为1，2，3，再求出X取每一个值的概率，即可求得X的分布列和数学期望．
【解答】解：（1）由题意，K2=≈0.65＜0.708，
∴没有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关；
（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，选出5人赠送营养面膜1份，所抽取的5人中“微信控”有3人，“非微信控”的人数有2人；
（3）X=1，2，3，则
P（X=1）==0.3，P（X=2）==0.6，P（X=3）==0.1．
X的分布列为：
X
1
2
3
P
0.3
0.6
0.1
X的数学期望为EX=1×0.3+2×0.6+3×0.1=1.8．
20．已知椭圆的两个焦点分别为F1（﹣c，0）和F2（c，0）（c＞0），过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求直线AB的斜率；
（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF1C的外接圆上，求的值．
【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|，得，从而，由此可以求出椭圆的离心率．
（2）由题意知椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2，设直线AB的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则它们的坐标满足方程组，整理，得（2+3k2）x2﹣18k2cx+27k2c2﹣6c2=0．再由根的判别式和根与系数的关系求解．
（III）解法一：当时，得，．线段AF1的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是△AF1C外接圆的圆心，因此外接圆的方程为．由此可以推导出的值．
解法二：由椭圆的对称性可知B，F2，C三点共线，由已知条件能够导出四边形AF1CH为等腰梯形．由此入手可以推导出的值．
【解答】（1）解：由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|，
得，从而
整理，得a2=3c2，故离心率
（2）解：由（I）得b2=a2﹣c2=2c2，
所以椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2
设直线AB的方程为，即y=k（x﹣3c）．
由已知设A（x1，y1），B（x2，y2），
则它们的坐标满足方程组
消去y整理，得（2+3k2）x2﹣18k2cx+27k2c2﹣6c2=0．
依题意，
而①
②
由题设知，点B为线段AE的中点，所以x1+3c=2x2③
联立①③解得，
将x1，x2代入②中，解得．
（III）解法一：由（II）可知
当时，得，由已知得．
线段AF1的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是△AF1C外接圆的圆心，
因此外接圆的方程为．
直线F2B的方程为，
于是点H（m，n）的坐标满足方程组，
由m≠0，解得故
当时，同理可得．
解法二：由（II）可知
当时，得，由已知得
由椭圆的对称性可知B，F2，C三点共线，
因为点H（m，n）在△AF1C的外接圆上，
且F1A∥F2B，所以四边形AF1CH为等腰梯形．
由直线F2B的方程为，
知点H的坐标为．
因为|AH|=|CF1|，所以，解得m=c（舍），或．
则，所以．当时同理可得
21．设函数．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）是否存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；不等式的证明．
【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间，讨论满足fˊ（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，求出极值．
（2）对a进行讨论，当a≤0时，f（x）＞0恒成立，关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）符合题意．当a＞0时，关于x的不等式f（x）≥a的解集不是（0，+∞）．
【解答】解：（Ⅰ）．
故当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．
由此知f（x）在（0，+∞）的极大值为f（1）=ln2，没有极小值．
（Ⅱ）（ⅰ）当a≤0时，
由于，
故关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）．
（ⅱ）当a＞0时，由知，其中n为正整数，
且有ln（1+）＜⇔＜﹣1⇔n＞﹣log2（﹣1）．
又n≥2时，．
且．
取整数n0满足，，且n0≥2，
则，
即当a＞0时，关于x的不等式f（x）≥a的解集不是（0，+∞）；
综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在a，使得关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞），且a的取值范围为（﹣∞，0]．
选修4一1：几何证明选讲
22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．
（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；
（Ⅱ）求BC的长．
【考点】圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定．
【分析】（Ⅰ）连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，再证明OC∥AD，即可证得AC平分∠BAD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而BC=CE，利用ABCE四点共圆，可得∠B=∠CED，从而有，故可求BC的长．
【解答】（Ⅰ）证明：连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，
因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，
又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，
所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴BC=CE，
连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED，
所以，所以BC=2．
选修4-4：坐标系与参数方程
23．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程是以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点M（﹣1，0），直线l与曲线C交于A，B两点．
（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；
（2）线段MA，MB长度分别记|MA|，|MB|，求|MA|•|MB|的值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．
【分析】（1）将直线l的参数方程消去参数t得直线的普通方程，再化成直线l的极坐标方程，曲线C的极坐标方程化成：ρsinθ=ρ2cos2θ，最后再化成普通方程即可；
（2）将直线的参数方程代入y=x2得关于t的一元二次方程，再结合根与系数的关系即得|MA|•|MB|=|t1t2|=2．
【解答】解（1）将直线l的参数方程消去参数t得：x=﹣1+y，
∴直线l的极坐标方程，
曲线C的极坐标方程化成：ρsinθ=ρ2cos2θ，
其普通方程是：y=x2
（2）将代入y=x2
得，3分
∵点M（﹣1，0）在直线上，
∴|MA|•|MB|=|t1t2|=2．
选修4一5不等式选讲
24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|
（1）求不等式f（x）≤3的解集；
（2）若不等式||a+b|﹣|a﹣b||≤|a|f（x）（a≠0，a∈R，b∈R）恒成立，求实数x的范围．
【考点】绝对值不等式；函数恒成立问题．
【分析】（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|中的绝对值符号，画出函数函数f（x）的图象，根据图象求解不等式f（x）≤3，
（2）由||a+b|﹣|a﹣b||≤2|a|，得2|a|≤|a|f（x），由a≠0，得2≤f（x），从而解得实数x的范围．
【解答】解：（1），… 所以解集[0，3]…
（2）由||a+b|﹣|a﹣b||≤2|a|，…
得2|a|≤|a|f（x），由a≠0，得2≤f（x），…
解得x或x …
2016年11月8日
2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．已知集合A={x||x+1|≤2，x∈z}，B={y|y=x2，﹣1≤x≤1}，则A∩B=（ ）
A．（﹣∞，1] B．[﹣1，1] C．{0，1} D．{﹣1，0，1}
2．若z是复数，且（3+z）i=1（i为虚数单位），则z的值为（ ）
A．﹣3+i B．﹣3﹣i C．3+i D．3﹣i
3．已知甲、乙两名篮球运动员某十场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人在这十场比赛中得分的平均数与方差的大小关系为（ ）
A．＜，S2甲＜S2乙 B．＜，S2甲＞S2乙
C．＞，S2甲＞S2乙 D．＞，S2甲＜S2乙
4．设x，y满足，若目标函数z=ax+y（a＞0）最大值为14，则a为（ ）
A． B．23 C．2 D．1
5．设Sn是等比数列{an}的前n项的和，Sm﹣1=45，Sm=93，则Sm+1=189，则m=（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．在△ABC中，点D满足，点E是线段AD上的一个动点，若，则t=（λ﹣1）2+μ2的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）
A．50种 B．49种 C．48种 D．47种
8．设集合A={1，2}，B={1，2，3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P（a，b），记“点P（a，b）落在直线x+y=n上”为事件Cn（2≤n≤5，n∈N），若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为（ ）
A．3 B．4 C．2和5 D．3和4
9．已知函数f（x）=，若存在x1，x2，当0≤x1＜4≤x2≤6时，f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围是（ ）
A．[0，1） B．[1，4] C．[1，6] D．[0，1]∪[3，8]
10．某几何体的三视图如图所示，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为（ ）
A．10+6+4π（cm2） B．16+6+4π（cm2） C．12+4π（cm2） D．22+4π（cm2）
11．已知抛物线C1：y=x2（p＞0）的焦点与双曲线C2：﹣y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（ ）
A． B． C． D．
12．关于曲线C：，给出下列四个命题：
A．曲线C关于原点对称 B．曲线C有且只有两条对称轴
C．曲线C的周长l满足 D．曲线C上的点到原点的距离的最小值为
上述命题中，真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分）
13．为了测量一古塔的高度，某人在塔的正西方向的A地测得塔尖的仰角为45°，沿着A向北偏东30°前进100米到达B地（假设A和B在海拔相同的地面上），在B地测得塔尖的仰角为30°，则塔高为 米．
14．在（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）9的展开式中，x2项的系数是 （用数字作答）
15．已知抛物线y2=4x的准线与双曲线=1（a＞0，b＞0）交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 ．
16．半径为1的球的内部有4个大小相同的半径为r的小球，则小球半径r可能的最大值为 ．
三、解答题（本大题共六小题共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知函数
（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在[﹣π，0]上的值域．
18．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥面ABCD．AD=1，，BC=4．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）求直线AB与平面PDC所成角；
（3）设点E在棱PC、上，，若DE∥面PAB，求λ的值．
19．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名．其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如表：
微信控
非微信控
合计
男性
26
24
50
女性
30
20
50
合计
56
44
100
（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？
（2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；
（3）从（2）中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为X，试求X的分布列及数学期望．
参考公式：，其中n=a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.50
0.40
0.25
0.05
0.025
0.010
k0
0.455
0.708
1.323
3.841
5.024
6.635
20．已知椭圆的两个焦点分别为F1（﹣c，0）和F2（c，0）（c＞0），过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求直线AB的斜率；
（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF1C的外接圆上，求的值．
21．设函数．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）是否存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．
选修4一1：几何证明选讲
22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．
（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；
（Ⅱ）求BC的长．
选修4-4：坐标系与参数方程
23．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程是以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点M（﹣1，0），直线l与曲线C交于A，B两点．
（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；
（2）线段MA，MB长度分别记|MA|，|MB|，求|MA|•|MB|的值．
选修4一5不等式选讲
24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|
（1）求不等式f（x）≤3的解集；
（2）若不等式||a+b|﹣|a﹣b||≤|a|f（x）（a≠0，a∈R，b∈R）恒成立，求实数x的范围．
2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．已知集合A={x||x+1|≤2，x∈z}，B={y|y=x2，﹣1≤x≤1}，则A∩B=（ ）
A．（﹣∞，1] B．[﹣1，1] C．{0，1} D．{﹣1，0，1}
【考点】交集及其运算．
【分析】分别求出A和B，由此能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A={x||x+1|≤2，x∈z}
={x|﹣3≤x≤1，x∈Z}={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，
B={y|y=x2，﹣1≤x≤1}={y|0≤y≤1}，
∴A∩B={0，1}．
故选：C．
2．若z是复数，且（3+z）i=1（i为虚数单位），则z的值为（ ）
A．﹣3+i B．﹣3﹣i C．3+i D．3﹣i
【考点】复数代数形式的混合运算．
【分析】由（3+z）i=1，可得 z=，再利用两个复数代数形式的除法法则，运算求出z的值．
【解答】解：∵（3+z）i=1，∴z==﹣3﹣i，
故选B．
3．已知甲、乙两名篮球运动员某十场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人在这十场比赛中得分的平均数与方差的大小关系为（ ）
A．＜，S2甲＜S2乙 B．＜，S2甲＞S2乙
C．＞，S2甲＞S2乙 D．＞，S2甲＜S2乙
【考点】极差、方差与标准差；茎叶图．
【分析】由茎叶图，分别求出和，由茎叶图知：甲的数据较分散，乙的数所较集中，由此能求出结果．
【解答】解：由茎叶图，得：
=（15+24+23+31+36+37+39+49+44+50）=34.8，
=（18+16+14+13+28+26+23+51）=23.625，
∴＞，
又由茎叶图知：甲的数据较分散，乙的数所较集中，
∴＜，
故选：D．
4．设x，y满足，若目标函数z=ax+y（a＞0）最大值为14，则a为（ ）
A． B．23 C．2 D．1
【考点】简单线性规划．
【分析】由线性约束条件画出可行域，然后结合目标函数的最大值．求出a的值．
【解答】解：画出约束条件的可行域，如图：目标函数z=ax+y（a＞0）最大值为14，即目标函数z=ax+y（a＞0）在的交点M（4，6）处，目标函数z最大值为14，
所以4a+6=14，所以a=2．
故选C．
5．设Sn是等比数列{an}的前n项的和，Sm﹣1=45，Sm=93，则Sm+1=189，则m=（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】由题意得===2，再由Sm==93解得a1=3，从而求m．
【解答】解：∵===2，
∴Sm===93，
故a1=3，
故am=3•2m﹣1=48，
解得，m=5，
故选B．
6．在△ABC中，点D满足，点E是线段AD上的一个动点，若，则t=（λ﹣1）2+μ2的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】根据共线向量基本定理可得到存在实数k，，0≤k≤1，然后根据已知条件及向量的加法、减法的几何意义即可得到，从而得到．代入t，进行配方即可求出t的最小值．
【解答】解：如图，
E在线段AD上，所以存在实数k使得；
；
∴==；
∴；
∴=；
∴时，t取最小值．
故选：C．
7．设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）
A．50种 B．49种 C．48种 D．47种
【考点】组合及组合数公式．
【分析】解法一，根据题意，按A、B的元素数目不同，分9种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案；
解法二，根据题意，B中最小的数大于A中最大的数，则集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，按A、B中元素数目这和的情况，分4种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案．
【解答】解：
解法一，若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有C52=10种；
若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C53=10种；
若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C54=5种；
若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有C55=1种；
若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C53=10种；
若集合A中有两个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C54=5种；
若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C55=1种；
若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C54=5种；
若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C55=1种；
若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C55=1种；
总计有49种，选B．
解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，
从5个元素中选出2个元素，有C52=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；
从5个元素中选出3个元素，有C53=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法；
从5个元素中选出4个元素，有C54=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；
从5个元素中选出5个元素，有C55=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4×1=4种方法；
总计为10+20+15+4=49种方法．选B．
8．设集合A={1，2}，B={1，2，3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P（a，b），记“点P（a，b）落在直线x+y=n上”为事件Cn（2≤n≤5，n∈N），若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为（ ）
A．3 B．4 C．2和5 D．3和4
【考点】概率的意义；集合的含义．
【分析】分别从集合A和B中随机取一个数a和b，组成一个有序数对，共有2×3中方法，要计算事件Cn的概率最大时n的所有可能值，要把题目中所有的情况进行分析求解，比较出n的所有可能值．
【解答】解：事件Cn的总事件数为6．只要求出当n=2，3，4，5时的基本事件个数即可．
当n=2时，落在直线x+y=2上的点为（1，1）；
当n=3时，落在直线x+y=3上的点为（1，2）、（2，1）；
当n=4时，落在直线x+y=4上的点为（1，3）、（2，2）；
当n=5时，落在直线x+y=5上的点为（2，3）；
显然当n=3，4时，事件Cn的概率最大为，
故选D
9．已知函数f（x）=，若存在x1，x2，当0≤x1＜4≤x2≤6时，f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围是（ ）
A．[0，1） B．[1，4] C．[1，6] D．[0，1]∪[3，8]
【考点】分段函数的应用．
【分析】根据已知将x1•f（x2）转化为x1f（x1），再根据函数y=xf（x）的性质求解．
【解答】解：当0≤x1＜4≤x2≤6时，因为f（x1）=f（x2），由f（x1）=f（x2）=1或f（x1）=f（x2）=2，得到x1的取值范围是[1，3]，
所以x1•f（x2）=x1•f（x1）=x1（1﹣|x1|﹣2）=，即x1f（x2）的范围是[1，4]．
故选B．
10．某几何体的三视图如图所示，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为（ ）
A．10+6+4π（cm2） B．16+6+4π（cm2） C．12+4π（cm2） D．22+4π（cm2）
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，三棱柱的是一个底面是腰长为2的等腰直角三角形，高是3，圆柱的底面半径是1，高是3，写出表面积．
【解答】解：由三视图知，几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，
三棱柱的是一个底面是腰为2的等腰直角三角形，高是3，
半圆柱的底面半径是1，高是3，
∴组合体的表面积是2×2+2×3+2×3+π+π×1×32=10+6+4π．
故选：A．
11．已知抛物线C1：y=x2（p＞0）的焦点与双曲线C2：﹣y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（ ）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数y=x2（p＞0）在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．
【解答】解：由抛物线C1：y=x2（p＞0）得x2=2py（p＞0），
所以抛物线的焦点坐标为F（0，）．
由﹣y2=1得a=，b=1，c=2．
所以双曲线的右焦点为（2，0）．
则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，
即①．
设该直线交抛物线于M（），则C1在点M处的切线的斜率为．
由题意可知=，得x0=，代入M点得M（，）
把M点代入①得：．
解得p=．
故选：D．
12．关于曲线C：，给出下列四个命题：
A．曲线C关于原点对称 B．曲线C有且只有两条对称轴
C．曲线C的周长l满足 D．曲线C上的点到原点的距离的最小值为
上述命题中，真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】曲线与方程．
【分析】利用曲线方程的特点结合曲线的图象分别进行判断即可．
【解答】解：把曲线C中的（x，y ）同时换成（﹣x，﹣y ），方程不变，∴曲线C关于原点对称，即A正确；
曲线方程为，交换x，y的位置后曲线方程不变，∴曲线C关于直线y=x对称，同理，y=﹣x，x，y轴是曲线的对称轴，即B不正确；
在第一象限内，因为点（，）在曲线上，由图象可知曲线在直线y=﹣x+1的下方，且为凹函数如图：
由以上分析可知曲线C的周长l满足，正确．
曲线C上的点到原点的距离的最小值为（，）到原点的距离，为，即D正确．
真命题有3个，故选：C．
二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分）
13．为了测量一古塔的高度，某人在塔的正西方向的A地测得塔尖的仰角为45°，沿着A向北偏东30°前进100米到达B地（假设A和B在海拔相同的地面上），在B地测得塔尖的仰角为30°，则塔高为 50 米．
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】理解方位角、仰角的含义，画出图形，确定△ABD中的边与角，利用余弦定理，即可求得结论．
【解答】解：如图，CD为古塔的高度，设为hm，由题意，CD⊥平面ABD，AB=100米，∠BAD=60°，∠CAD=45°，∠CBD=30°
在△CBD中，BD=hm，在△CAD中，AD=hm，
在△ABD中，BD=hm，AD=hm，AB=100m，∠BAD=60°，
∴3h2=10000+h2﹣2×100hcos60°
∴（h﹣50）（h+100）=0
∴h=50或h=﹣100（舍去）
故答案为：50
14．在（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）9的展开式中，x2项的系数是 120 （用数字作答）
【考点】二项式系数的性质．
【分析】在（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）9的展开式中，x2项的系数是C22+C32+…+C92，然后利用组合数公式的性质求解．
【解答】解：在（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）9的展开式中，x2项的系数是C22+C32+…+C92=C103=120．
故答案为：120．
15．已知抛物线y2=4x的准线与双曲线=1（a＞0，b＞0）交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用三角形是直角三角形求出顶点坐标，代入双曲线方程，利用双曲线的几何量之间的关系，求出离心率的表达式，然后求解即可．
【解答】解：抛物线焦点F（1，0），由题意0＜a＜1，且∠AFB=90°并被x轴平分，
所以点（﹣1，2）在双曲线上，得，即，
即，所以，
∵0＜a＜1，∴e2＞5，
故．
故答案为：．
16．半径为1的球的内部有4个大小相同的半径为r的小球，则小球半径r可能的最大值为 ﹣2 ．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，求出正四面体的外接球半径，即可求得结论．
【解答】解：由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大．
以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，
该正四面体的高为=r，
设正四面体的外接球半径为x，则x2=（r﹣x）2+（r）2，
∴x=r，
∴1=r+r，
∴r==﹣2．
故答案为：﹣2．
三、解答题（本大题共六小题共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知函数
（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在[﹣π，0]上的值域．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式，结合辅助角公式进行化简，即可求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）根据三角函数的图象变换，进行化简求解即可．
【解答】解：（Ⅰ） ==，
由，k∈Z，
得，k∈Z，
所以f（x）的单调递减区间为，k∈Z．
（Ⅱ）将的图象向左平移个单位，得到=，
再将图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到．
∵x∈[﹣π，0]，∴．∴，
∴．
∴函数y=g（x）在[﹣π，0]上的值域为．
18．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥面ABCD．AD=1，，BC=4．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）求直线AB与平面PDC所成角；
（3）设点E在棱PC、上，，若DE∥面PAB，求λ的值．
【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的性质；与二面角有关的立体几何综合题．
【分析】（1）根据余弦定理求出DC的长，而BC2=DB2+DC2，根据勾股定理可得BD⊥DC，而PD⊥面ABCD，则BD⊥PD，PD∩CD=D，根据线面垂直判定定理可知BD⊥面PDC，而PC在面PDC内，根据线面垂直的性质可知BD⊥PC；
（2）在底面ABCD内过D作直线DF∥AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP为x、y、z轴建立空间坐标系，根据（1）知BD⊥面PDC，则就是面PDC的法向量，设AB与面PDC所成角大小为θ，利用向量的夹角公式求出θ即可．
（3）先求出向量，，，，，设=（x，y，z）为面PAB的法向量，根据•=0， •=0，求出，再根据DE∥面PAB，则•=0求出λ即可．
【解答】解：（1）∵∠DAB=90°，AD=1，AB=，∴BD=2，∠ABD=30°，
∵BC∥AD∴∠DBC=60°，BC=4，由余弦定理得DC=2，
BC2=DB2+DC2，∴BD⊥DC，
∵PD⊥面ABCD，∴BD⊥PD，PD∩CD=D，∴BD⊥面PDC，
∵PC在面PDC内，∴BD⊥PC
（2）在底面ABCD内过D作直线DF∥AB，交BC于F，
分别以DA、DF、DP为x、y、z轴建立如图空间坐标系，
由（1）知BD⊥面PDC，∴就是面PDC的法向量，
A（1，0，0），B（1，，0），P（0，0，a）=（0，，0），=（1，，0），
设AB与面PDC所成角大小为θ，cosθ==，
∵θ∈（0°，90°）∴θ=30°
（3）在（2）中的空间坐标系中A、（1，0，0），B、（1，，0），P（0，0，a）C、（﹣3，，0），
=（﹣3，，﹣a），=（﹣3λ，λ，﹣aλ），
=+=（0，0，a）+（﹣3λ，λ，﹣aλ）=（﹣3λ，λ，a﹣aλ）
=（0，，0），=（1，0，﹣a），
设=（x，y，z）为面PAB的法向量，
由•=0，
得y=0，由•=0，得x﹣az=0，取x=a，z=1， =（a，0，1），
由D、E∥面PAB得：⊥，∴•=0，﹣3aλ+a﹣aλ=0，∴λ=
19．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名．其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如表：
微信控
非微信控
合计
男性
26
24
50
女性
30
20
50
合计
56
44
100
（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？
（2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；
（3）从（2）中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为X，试求X的分布列及数学期望．
参考公式：，其中n=a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.50
0.40
0.25
0.05
0.025
0.010
k0
0.455
0.708
1.323
3.841
5.024
6.635
【考点】独立性检验的应用．
【分析】（1）计算K2的值，与临界值比较，可得结论；
（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，选出5人赠送营养面膜1份，可得结论．
（3）X的取值为1，2，3，再求出X取每一个值的概率，即可求得X的分布列和数学期望．
【解答】解：（1）由题意，K2=≈0.65＜0.708，
∴没有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关；
（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，选出5人赠送营养面膜1份，所抽取的5人中“微信控”有3人，“非微信控”的人数有2人；
（3）X=1，2，3，则
P（X=1）==0.3，P（X=2）==0.6，P（X=3）==0.1．
X的分布列为：
X
1
2
3
P
0.3
0.6
0.1
X的数学期望为EX=1×0.3+2×0.6+3×0.1=1.8．
20．已知椭圆的两个焦点分别为F1（﹣c，0）和F2（c，0）（c＞0），过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求直线AB的斜率；
（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF1C的外接圆上，求的值．
【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|，得，从而，由此可以求出椭圆的离心率．
（2）由题意知椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2，设直线AB的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则它们的坐标满足方程组，整理，得（2+3k2）x2﹣18k2cx+27k2c2﹣6c2=0．再由根的判别式和根与系数的关系求解．
（III）解法一：当时，得，．线段AF1的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是△AF1C外接圆的圆心，因此外接圆的方程为．由此可以推导出的值．
解法二：由椭圆的对称性可知B，F2，C三点共线，由已知条件能够导出四边形AF1CH为等腰梯形．由此入手可以推导出的值．
【解答】（1）解：由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|，
得，从而
整理，得a2=3c2，故离心率
（2）解：由（I）得b2=a2﹣c2=2c2，
所以椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2
设直线AB的方程为，即y=k（x﹣3c）．
由已知设A（x1，y1），B（x2，y2），
则它们的坐标满足方程组
消去y整理，得（2+3k2）x2﹣18k2cx+27k2c2﹣6c2=0．
依题意，
而①
②
由题设知，点B为线段AE的中点，所以x1+3c=2x2③
联立①③解得，
将x1，x2代入②中，解得．
（III）解法一：由（II）可知
当时，得，由已知得．
线段AF1的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是△AF1C外接圆的圆心，
因此外接圆的方程为．
直线F2B的方程为，
于是点H（m，n）的坐标满足方程组，
由m≠0，解得故
当时，同理可得．
解法二：由（II）可知
当时，得，由已知得
由椭圆的对称性可知B，F2，C三点共线，
因为点H（m，n）在△AF1C的外接圆上，
且F1A∥F2B，所以四边形AF1CH为等腰梯形．
由直线F2B的方程为，
知点H的坐标为．
因为|AH|=|CF1|，所以，解得m=c（舍），或．
则，所以．当时同理可得
21．设函数．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）是否存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；不等式的证明．
【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间，讨论满足fˊ（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，求出极值．
（2）对a进行讨论，当a≤0时，f（x）＞0恒成立，关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）符合题意．当a＞0时，关于x的不等式f（x）≥a的解集不是（0，+∞）．
【解答】解：（Ⅰ）．
故当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．
由此知f（x）在（0，+∞）的极大值为f（1）=ln2，没有极小值．
（Ⅱ）（ⅰ）当a≤0时，
由于，
故关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）．
（ⅱ）当a＞0时，由知，其中n为正整数，
且有ln（1+）＜⇔＜﹣1⇔n＞﹣log2（﹣1）．
又n≥2时，．
且．
取整数n0满足，，且n0≥2，
则，
即当a＞0时，关于x的不等式f（x）≥a的解集不是（0，+∞）；
综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在a，使得关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞），且a的取值范围为（﹣∞，0]．
选修4一1：几何证明选讲
22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．
（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；
（Ⅱ）求BC的长．
【考点】圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定．
【分析】（Ⅰ）连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，再证明OC∥AD，即可证得AC平分∠BAD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而BC=CE，利用ABCE四点共圆，可得∠B=∠CED，从而有，故可求BC的长．
【解答】（Ⅰ）证明：连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，
因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，
又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，
所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴BC=CE，
连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED，
所以，所以BC=2．
选修4-4：坐标系与参数方程
23．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程是以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点M（﹣1，0），直线l与曲线C交于A，B两点．
（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；
（2）线段MA，MB长度分别记|MA|，|MB|，求|MA|•|MB|的值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．
【分析】（1）将直线l的参数方程消去参数t得直线的普通方程，再化成直线l的极坐标方程，曲线C的极坐标方程化成：ρsinθ=ρ2cos2θ，最后再化成普通方程即可；
（2）将直线的参数方程代入y=x2得关于t的一元二次方程，再结合根与系数的关系即得|MA|•|MB|=|t1t2|=2．
【解答】解（1）将直线l的参数方程消去参数t得：x=﹣1+y，
∴直线l的极坐标方程，
曲线C的极坐标方程化成：ρsinθ=ρ2cos2θ，
其普通方程是：y=x2
（2）将代入y=x2
得，3分
∵点M（﹣1，0）在直线上，
∴|MA|•|MB|=|t1t2|=2．
选修4一5不等式选讲
24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|
（1）求不等式f（x）≤3的解集；
（2）若不等式||a+b|﹣|a﹣b||≤|a|f（x）（a≠0，a∈R，b∈R）恒成立，求实数x的范围．
【考点】绝对值不等式；函数恒成立问题．
【分析】（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|中的绝对值符号，画出函数函数f（x）的图象，根据图象求解不等式f（x）≤3，
（2）由||a+b|﹣|a﹣b||≤2|a|，得2|a|≤|a|f（x），由a≠0，得2≤f（x），从而解得实数x的范围．
【解答】解：（1），… 所以解集[0，3]…
（2）由||a+b|﹣|a﹣b||≤2|a|，…
得2|a|≤|a|f（x），由a≠0，得2≤f（x），…
解得x或x …
2016年11月8日
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