2022届安徽省A10联盟高三下学期开年考数学（理）试题（解析版）

这是一份2022届安徽省A10联盟高三下学期开年考数学（理）试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届安徽省A10联盟高三下学期开年考数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（       ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】化简集合A，再利用交集的定义运算即得.【详解】由题意得，，∴.故选；B．2．已知复数z满足，则z的虚部为（       ）．A． B． C．i D．【答案】A【分析】先求出复数z，即可得到其虚部.【详解】由题意得，，则其虚部为．故选：A．3．已知等差数列的前n项和为，若，，则数列的公差为（       ）．A．2 B．－2 C．6 D．4【答案】D【分析】由题可得，即得.【详解】∵，∴，∴数列的公差为．故选：D．4．将一个四棱锥和一个半圆柱进行拼接，所得几何体的三视图如下所示，则该几何体的体积为（       ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由三视图还原实物图，直接求体积.【详解】由三视图可知，该几何体左边可以看成一个底面半径为1，高为2的半圆柱，右边可以看成一个底面边长为2的正方形，高为2的四棱锥，所以其体积为：． 故选：B．5．已知，，，则，，的大小关系为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对数的性质判断与的大小关系即可求解.【详解】因为，，，所以.故选：B.6．设命题，；命题q：若，对任意恒成立，则．下列命题中为真命题的是（       ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据零点存在性定理判断命题p真假，由恒成立求出a的取值范围判断q,再由复合命题的真值表判断即可求解.【详解】令，则在为连续函数，且，，故在上存在零点，故方程在上有解，故命题p为真命题，对任意恒成立，则，解得，故命题q为假命题，所以为真命题，，，为假命题．故选：C．7．根据历史数据，某山区在某个季节中每天出现雾凇的概率均为p，且在该季节的连续4天中，都不出现雾凇的概率为．据此估计，该地在该季节接下来的连续三天中，恰有一天出现雾凇的概率为（       ）．A． B． C． D．【答案】A【分析】由题可得，再利用独立重复概率公式即得.【详解】由题意得，，解得，故在该地该季节的连续三天中，恰有一天出现雾凇的概率为．故选：A．8．已知正项数列满足：，，，若，则数列的前2022项和为（       ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】本题的意思是只考虑偶数项，计算偶数项的通项公式，以及偶数项的前n项的和.【详解】由题意得，，∵，∴；令，则由可得，，故数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则数列的前2022项和为，故选：B．9．已知函数的部分图象如下所示，其中，，则函数在下列区间上单调递增的是（       ）．A． B． C． D．【答案】D【分析】由图像求出，进而利用整体代入法求单调区间即可得到答案.【详解】由题意得，，则，∴，∴．∵，∴，又，∴，∴，令，，得，，令，得在上单调递增．故选：D．10．已知函数，现有如下说法：①函数的图象关于直线对称；②函数在上单调递减；③函数有两个零点．则其中正确说法的个数为（       ）．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】由题可得，又为偶函数，且在上单调递增，再结合零点存在定理即可判断.【详解】由题意得，，令，定义域为R，可知，则函数为偶函数，图象关于y轴对称，则函数的图象关于直线对称，故①正确；∵，函数在上单调递增，函数在定义域上单调递增，∴在上单调递增，∴函数在上单调递增，故②错误；由①②可知，函数在上单调递减，在上单调递增，∴，又，，函数有两个零点，故③正确．综上，正确说法的个数为2.故选：C．11．已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线l与C交于A，B两点，，，若，满足，，且，则（       ）．A．6 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】由题设直线，联立抛物线方程，利用韦达定理及条件可得，即得.【详解】设直线，联立，则，则，．由，，得P，Q分别为线段AF，BF的中点，又，满足，，且，∴， 解得．故选：A．12．在棱长为6的正方体内有一个正四面体，该四面体外接球的球心与正方体的中心重合，且该四面体可以在正方体内任意转动，则该四面体的棱长的最大值为（       ）．A． B．4 C． D．【答案】D【分析】结合正方体的内切球及其内切球的正四面体的结构特征，利用勾股定理求得所求的最大棱长.【详解】由题意得，该正四面体在正方体的内切球内，故该四面体内接于球时棱长最大．正方体的内切球半径为，如图，记正四面体为，棱长为a，O为底面ABC的中心，四面体外接球的球心为，连接PO，OC，，则PO⊥底面ABC，，，，在中，，解得．故选：D二、填空题13．已知向量，，若与垂直，则的值为______．【答案】【详解】由题意得，，∵与垂直，∴，解得.故答案为：.14．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则C的离心率为______．【答案】2【分析】根据渐近线斜率得关系，进而根据可得离心率.【详解】直线的斜率为则跟直线垂直的双曲线的渐近线的斜率为，所以，所以故答案为：2.15．已知函数是奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程为______．【答案】【分析】根据奇函数的对称性及导数的几何意义可求解.【详解】当时，，∴，∵函数是奇函数，∴对称点处的导数相同，∴，即切线的斜率为0，又，∴切线方程为．故答案为：16．“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一．定理的内容是这样的：如图，的三条边长分别为，，，延长线段CA至点，使得，以此类推得到点，，，和，那么这六个点共圆，这个圆叫做康威圆．若在中，，，，则由该直角三角形生成的康威圆的面积为______．【答案】【分析】由康威圆的形成得出其圆心为内切圆的圆心．由正切的二倍角公式求得得出三角形的各边长，求得内切圆半径后得出康威圆的半径，从而得其面积．【详解】由题意得，，结合圆的对称性，康威圆的圆心在∠ACB的平分线上,同理可得，康威圆的圆心在∠ABC的平分线上，则康威圆的圆心即为内切圆的圆心．∵，∴，解得（舍去），又，∴，．易知康威圆的圆心到直线AB的距离即为的内切圆半径r，则，由垂径定理知康威圆的半径，，∴所求面积为．故答案为：．三、解答题17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．(1)求角A的大小；(2)若，，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式化简已知条件，结合和即可求解；（2）由已知条件结合余弦定理可得的值，再由三角形的面积公式即可求解.【详解】(1)在中，，∵，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴．(2)由余弦定理得，即，即，解得，则的面积．18．为了调查某地区高中女生的日均消费情况，研究人员随机抽取了该地区5000名高中女生作出调查，所得数据统计如下图所示． (1)求a的值以及这5000名高中女生的日均消费的平均数（同一组数据用该组区间的中间值代替）；(2)在样本中，现按照分层抽样的方法从该地区消费在与的高中女生中随机抽取9人，若再从9人中随机抽取3人，记这3人中消费在的人数为X，求X的分布列以及数学期望．【答案】(1)，（元）．(2)分布列见解析，1【分析】(1)直方图的面积为1，故可以求解a；（2）根据计数原理，可以求出X每一个可能值的概率.【详解】(1)由题意得，，解得，故所求平均数为（元）；(2)由题意得，消费在，的高中女生分别有3人和6人，故X的可能取值为0，1，2，3，∴，，，，故X的分布列为：X0123P ∴；故答案为：1.19．如图，圆锥的底面半径，经过旋转轴SO的截面是等边三角形，点P为母线SA的中点，点Q为半圆弧AB的中点，连接PQ．(1)求异面直线PQ与SB所成角的大小；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）连接PO，易得∥,故为异面直线PQ与SB所成的角,在中即可求解.（2）建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可求得二面角的正弦值.【详解】(1)连接PO，可知∥,故为异面直线PQ与SB所成的角,∵SO⊥底面ABQ，∴,又∵点Q为半圆弧AB的中点，∴，∴OQ⊥平面SAB，∴，在中，，∴，故异面直线PQ与SB所成角的大小为；(2)以、、分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所示，则，，，∴，,设平面SAQ的法向量为，则,即，令，则，即，由（1）得，OQ⊥平面SAB，∴ 为平面SAB的一个法向量，即，∴，∴，∴二面角的正弦值为．20．设为坐标原点，椭圆与，轴的正半轴分别交于，两点，且的面积为，点，（，均不与重合）是椭圆上两个动点，且当时，.(1)求椭圆的方程；(2)若直线和的斜率之积为，试探究：直线是否过定点；若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)过定点，【分析】(1)根据三角形面积公式和题意可得、，联立方程组，解方程组即可；(2)由(1)知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立椭圆方程并消去y，利用韦达定理表示出，结合两点坐标表示直线斜率进而得出关于m的方程，解方程即可.【详解】(1)由题意得，，则①，∵，∴在椭圆上，代入可得②，联立①②，解得，，∴椭圆的方程为.(2)由（1）知，，若直线的斜率不存在，设，，此时，与题设矛盾，故直线的斜率必存在.设直线的方程为，联立，得，，设，∴，，（）∴，将（）式代入上式，整理得，解得或，当时，直线过定点，不符题意.所以直线过定点.21．已知函数．(1)若，求证：函数在R上单调递增；(2)若关于x的不等式恒成立，求实数m的最小值．【答案】(1)证明见解析(2).【分析】(1)对于没有参数的函数表达式，求其单调性，只要求导即可.（2）求含参数的函数不等式，需要对参数分类讨论，或参数分离，本题需要先确定参数的范围，再进行参数分离.【详解】(1)由题意得，，则，令，则，令，解得，令，解得，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，∴，∴函数在R上单调递增．(2)由题意得，．，恒成立，∴，可得；令，，，则在R上单调递增，由，，∴存在唯一的，使得，且当时，，即；当时，，即，∴在上单调递增，在上单调递减，∴；由，得，由，得，即，由，得，∴．设，则，可知在上单调递增，∴，即，∴实数m的最小值为；故答案为：.【点睛】对于第2小问，直接参数分离是不行的，但可以在导数和最大值中进行分离，这是解题的关键.22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），曲线，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线在轴上方交于点，与曲线交于点（异于原点）.(1)求曲线，的极坐标方程；(2)当时，求的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）先消去参数得到一般方程，再利用将直角坐标系下的方程转化成极坐标系下的方程即可；（2）根据极径的几何意义利用求解即可.【详解】(1)曲线的参数方程为（其中为参数）， 转换为普通方程为，由，，得曲线的极坐标方程为，整理得.同理，得曲线的极坐标方程为，即.(2)联立，得，∴，联立，得，∴.23．已知函数.(1)求不等式的解集；(2)设，且，求证：.【答案】(1){或}；(2)证明见解析.【分析】(1)分类讨论去绝对值即可求解；(2)根据绝对值得几何意义确定f(x)的最小值，用基本不等式求的最大值，证明左边的最大值小于右边的最小值即可.【详解】(1)由题意得，，当时，不等式化为，解得，∴；当时，不等式化为，无解；当时，不等式化为，解得，∴，则不等式的解集为或.(2)由(1)知，当时，取得最小值，且，即.∵，当且仅当时等号成立，∴，∴，即.