高考数学一轮复习课时质量评价51范围、最值问题含答案

这是一份高考数学一轮复习课时质量评价51范围、最值问题含答案，共8页。试卷主要包含了过抛物线M，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
1．若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线是下图中的( )
A B C D
C 解析：方程化为y＝ax＋b和eq \f(x2,a)＋eq \f(y2,b)＝1．从B，D中的两椭圆看a，b∈(0，＋∞)，但B中直线有a＜0，b＜0矛盾，所以B不可能；D中直线有a＜0，b＞0矛盾，也不可能；再看A中双曲线的a＜0，b＞0，但直线有a＞0，b＞0，也矛盾，所以A也不可能；C中双曲线的a＞0，b＜0和直线中a，b一致．所以C是可能的．
2．在平面直角坐标系xOy中，已知M(－1,2)，N(1,0)，动点P满足|eq \(PM,\s\up7(→))·eq \(ON,\s\up7(→))|＝|eq \(PN,\s\up7(→))|，则动点P的轨迹方程是( )
A．y2＝4x B．x2＝4y
C．y2＝－4x D．x2＝－4y
A 解析：设P(x，y)，M(－1,2)，N(1,0)，
eq \(PM,\s\up7(→))＝(－1－x,2－y)，eq \(ON,\s\up7(→))＝(1,0)，eq \(PN,\s\up7(→))＝(1－x，－y)．
因为|eq \(PM,\s\up7(→))·eq \(ON,\s\up7(→))|＝|eq \(PN,\s\up7(→))|，所以|1＋x|＝eq \r((1－x)2＋y2)，整理得y2＝4x．故选A．
3．斜率为eq \r(2)的直线与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，eq \r(3)) D．(eq \r(3)，＋∞)
D 解析：因为斜率为eq \r(2)的直线与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)恒有两个公共点，
所以eq \f(b,a)>eq \r(2)，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))>eq \r(1＋2)＝eq \r(3)，
所以双曲线离心率的取值范围是(eq \r(3)，＋∞)．故选D．
4．抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为( )
A．eq \r(2) B．eq \f(7\r(2),8)
C．2eq \r(2) D．eq \f(5\r(2),6)
B 解析：设抛物线上一点的坐标为(x，y)，则d＝eq \f(|x－y－2|,\r(2))＝eq \f(|－x2＋x－2|,\r(2))＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\UP12(2)－\f(7,4))),\r(2))，
所以当x＝eq \f(1,2)时，dmin＝eq \f(7\r(2),8)．
5．(2022·运城模拟)关于曲线eq \f(y2,4)＋x|x|＝1的以下描述，正确的是( )
A．该曲线的范围为y∈R，x∈R
B．该曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称
C．该曲线与直线2x＋y＝0有两个公共点
D．该曲线上的点到坐标原点的距离的最小值为1
D 解析：曲线eq \f(y2,4)＋x|x|＝1，
当x≥0时，曲线方程可化为eq \f(y2,4)＋x2＝1，此时曲线为椭圆的右半部分，
当x＜0时，曲线方程可化为eq \f(y2,4)－x2＝1，此时曲线为双曲线的左半部分，作出曲线对应的图象如图所示．
由图可知，y∈R，x≤1，故选项A错误；
由图可知，曲线关于x轴对称，不关于y轴对称，故选项B错误；
因为直线2x＋y＝0是双曲线的渐近线，与双曲线没有交点，与半椭圆只有一个交点，
故该曲线与直线2x＋y＝0有一个公共点，故选项C错误；
因为点(1,0)到原点的距离最小，所以曲线上的点到原点距离的最小值为1，故选项D正确．故选D．
6．过抛物线M：y2＝8x的焦点F作两条斜率之积为－2的直线l1，l2，其中l1交M于A，C两点，l2交M于B，D两点，则|AC|＋|BD|的最小值为________．
24 解析：设直线l1：y＝k(x－2)，代入y2＝8x，得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，Δ＝[－(4k2＋8)]2－4×4k2·k2>0，
所以xA＋xC＝eq \f(4k2＋8,k2)，所以|AC|＝xA＋xC＋p＝8＋eq \f(8,k2)．
以－eq \f(2,k)代k，得|BD|＝8＋eq \f(8,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,k)))eq \s\UP12(2))＝8＋2k2，
所以|AC|＋|BD|＝16＋2k2＋eq \f(8,k2)≥16＋2eq \r(2k2·\f(8,k2))＝24，当且仅当2k2＝eq \f(8,k2)，即k＝±eq \r(2)时等号成立．
7．已知抛物线y2＝4x，过点Q(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则yeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,2)的最小值是________．
32 解析：设过点(4,0)的直线方程为x＝ay＋4．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ay＋4，,y2＝4x，))得y2－4ay－16＝0，所以y1y2＝－16，y1＋y2＝4a，
所以yeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,2)＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16a2＋32≥32，当a＝0时，(yeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,2))min＝32．
8．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(1,2)))，两个焦点分别为F1(－eq \r(3)，0)，F2(eq \r(3)，0)．
(1)求椭圆C的方程．
(2)设圆D：x2＋y2＝r2(b0)的焦点的直线交抛物线于A，B两点，且|AB|＝4，这样的直线可以作2条，则p的取值范围是( )
A．(0,4) B．(0,4]
C．(0,2] D．(0,2)
D 解析：过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦中最短的为通径，且通径长为2p，由已知得2p