2023年广东省广州市荔湾区真光实验中学中考二模数学试题（含解析）

这是一份2023年广东省广州市荔湾区真光实验中学中考二模数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年广东省广州市荔湾区真光实验中学中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．中国人使用负数最早可追溯到两千多年前的秦汉时期，则2023的相反数为（    ）
A． B．2023 C． D．
2．实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是(　　)

A．a＞b B．|a|＞|b| C．﹣a＜b D．a+b＞0
3．不等式的解集是（    ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（    ）
A． B． C． D．
5．下列命题是真命题的是（    ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．一个角为且一组邻边相等的四边形是正方形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
6．如图，正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是（   ）

A． B． C． D．
7．如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧交边于点，连接，则的长为（　　）

A． B． C． D．
8．抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x
-2
-1
0
1
y
0
4
6
6

下列结论不正确的是（    ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为 D．函数的最大值为
9．如图，在ABC中，∠CAB＝70°，将ABC绕点A逆时针旋转到的位置，使得∥AB，则的度数是（    ）

A．70° B．35° C．40° D．50°
10．如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝的图象上，若∠BCD＝60°，则的值是（    ）

A．－ B．－ C．－ D．－

二、填空题
11．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
12．因式分解：_______．
13．如图，在直径AB＝12的⊙O中，弦CD⊥AB于M，且M是半径OB的中点，则弦CD的长是_______（结果保留根号）.

14．某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C测一段水平雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头处的高度为米，点A，D，B在同一直线上，则通道AB的长度为_________米．(结果保留整数，参考数据，，)

15．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_________．
16．如图，在矩形中，，，点M、N分别是边、的中点，某一时刻，动点E从点M出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动；同时，动点F从点N出发，沿NC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF，过点B作EF的垂线，垂足为H．在这一运动过程中，点H所经过的路径长是______．


三、解答题
17．解方程组：
18．如图，在中，E，G，H，F分别是上的点，且．求证：．

19．已知，求代数式的值．
20．某校在七、八年级进行了“学党史”知识竞赛（百分制），并从七、八年级中分别随机抽取了10名学生的竞赛成绩，整理如下：
七年级10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，96，90，100，89，92
八年级10名学生的成绩是：94，90，93，88，98，91，89，100，87，100
七、八年级随机抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
92
b
c
52
八年级
a
92
100
21.2

根据以上信息，解答下列问题：
(1)表格中___________，___________，___________；
(2)这次比赛中__________年级的成绩更稳定；
(3)我校七年级共700人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛成绩优秀（）的七年级学生有多少人？
21．如图，双曲线与直线交于点、，与两坐标轴分别交于点，已知点，连接．
  
(1)求的面积；
(2)作直线，将直线向上平移个单位后，与双曲线有唯一交点，求的值．
22．近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．
(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．
(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．
23．如图，已知中，；以为直径作，与边相切于点C，交边于点D，E为中点，连接．

(1)求证：是的切线；
(2)尺规作图：点P是线段上一动点，当最小时，请在图中画出点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
(3)在（2）的条件下，若，，求出的长度．
24．已知直线交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过、两点，交x轴于另一点C，，且对于该二次函数图象上的任意两点，，当时，总有．
(1)求二次函数的表达式；
(2)直线与抛物线交于M、N两点，求面积的最小值；
(3)E为线段上不与端点重合的点，直线过点C且交直线于点F，求与面积之和的最小值．
25．已知，如图①，在矩形ABCD中，AB=，AD=3，点E是BC边上的动点，把点E绕着点A逆时针旋转60°得到点F，连接AE、AF、EF、DF．

(1)当点A、F、C三点在同一条直线上时，求DF的长；
(2)如图②，点M在CB的延长线上，且，连接AM，当点E在BC上运动时，的面积的值是否发生变化？若不变求出该定值，若变化说明理由．
(3)在点E由B向C运动的过程中，求DF的取值范围．

参考答案：
1．A
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数求解即可．
【详解】解：2023的相反数为，
故选：A．
【点睛】本题考查相反数，理解相反数的定义是解答的关键．
2．B
【分析】根据比较a、b在数轴上的位置进行解答即可．
【详解】解：如图所示：
A、a＜b，故此选项错误；
B、|a|＞|b|，正确；
C、﹣a＞b，故此选项错误；
D、a+b＜0，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了根据点在数轴上的位置确定式子的正负，掌握数形结合思想是解答本题的关键.
3．D
【分析】移项再合并同类项即可把未知数的系数化“1”，从而可得答案．
【详解】解：，
移项，合并同类项得：
故选D
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握“解一元一次不等式的步骤”是解本题的关键．
4．C
【分析】根据合并同类项，平方差公式，幂的乘方，同底数幂的除法逐项分析判断即可．
【详解】解：A. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查了合并同类项，平方差公式，幂的乘方，同底数幂的除法，掌握运算法则是解题的关键．
5．B
【分析】分别根据平行四边形、矩形、正方形和菱形的判定定理结合真命题的判定逐项判断即可．
【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故此选项是假命题，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项是真命题，符合题意；
C、一个角为且一组邻边相等的平行四边形是正方形，故此选项是假命题，不符合题意；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
故选：B．
【点睛】本题考查命题的真假判断、平行四边形的判定、特殊平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形、矩形、正方形和菱形的判定定理是解答的关键．
6．B
【分析】设正方形的边长为a，则其内切圆的直径为a，分别求出正方形和阴影部分的面积，再利用面积比求出概率，即可．
【详解】解：设正方形的边长为a，则其内切圆的直径为a，
∴其内切圆的半径为，正方形的面积为a2，
∴阴影部分的面积为，
∴随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是．
故选：B
【点睛】本题考查了几何概型的概率计算，关键是明确几何测度，利用面积比求之．
7．C
【分析】先根据矩形的性质可得，再根据圆的性质可得，然后利用余弦三角函数可得，从而可得，最后利用弧长公式即可得．
【详解】四边形ABCD是矩形，，

由圆的性质得：
在中，


则的长为
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质、弧长公式、余弦三角函数等知识点，利用余弦三角函数求出是解题关键．
8．C
【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，由此逐一判断各选项即可
【详解】解：由题意得，
解得，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线，该函数的最大值为，故A、B、D说法正确，不符合题意；
令，则，
解得或，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），故C说法错误，符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确求出二次函数解析式是解题的关键．
9．C
【分析】根据旋转的性质得AC′＝AC，∠B′AB＝∠C′AC，再根据等腰三角形的性质得∠AC′C＝∠ACC′，然后根据平行线的性质由CC′∥AB得∠ACC′＝∠CAB＝70°，则∠AC′C＝∠ACC′＝70°，再根据三角形内角和计算出∠CAC′＝40°，所以∠B′AB＝40°．
【详解】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，
∴AC′＝AC，∠B′AB＝∠C′AC，
∴∠AC′C＝∠ACC′，
∵CC′∥AB，
∴∠ACC′＝∠CAB＝70°，
∴∠AC′C＝∠ACC′＝70°，
∴∠CAC′＝180°﹣2×70°＝40°，
∴∠B′AB＝40°，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质．
10．A
【分析】连接AC、BD，根据菱形的性质和反比例函数的对称性，即可得出∠BOC=90°，∠BCO=∠BCD=30°，解直角三角形求得，作 BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，证得△OMB∽△CNO，得到，根据反比例函数系数 k的几何意义即可求得结果．
【详解】解：连接、，

∵四边形是菱形，
∴．
∵菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，
∴与、与关于原点对称，
∴、经过点，
∴．
∵，
∴．
作轴于，轴于，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，解直角三角形，三角形相似的判定和性质，反比例函数系数k的几何意义，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质与菱形的性质．
11．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求解即可．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件、解一元一次不等式，熟知二次根式的被开方数是非负数是解答的关键．
12．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式求解即可．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是掌握提公因式法和公式法．
13．6
【详解】解：连OC，如图，

∵直径AB=12，M是半径OB的中点，
∴OC=6，OM=3，
在Rt△OCM中，CM=，
∵CD⊥AB，
∴CM=CD，
∴CD=2CM=6．
14．438
【分析】根据等腰直角三角形的性质求出，根据正切的定义求出，结合图形计算即可．
【详解】解：由题意得，，
在中，，
（米），
在中，，
则（米），
则（米），
故答案是：．
【点睛】本题查考了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，解题的关键是：能借助构造的直角三角形求解．
15．且
【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴ 且 ，
即且 ，
∴且．
故答案为：且
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程 ，当 时，方程有两个不相等实数根；当 时，方程有两个相等实数根；当 时，方程没有实数根是解题的关键．
16．/
【分析】连接交于P，连接，根据矩形的判定与性质证明四边形是矩形，求得，再证明求得，进而利用勾股定理求得，由得知点H在为直径的圆上，设圆心为O，当点E与M重合时，点P在点N处，当点E与A重合时，可得点H的运动轨迹为， 利用等腰直角三角形性质和圆周角定理求得，进而利用弧长公式求解即可．
【详解】解：连接交于P，连接，

∵四边形是矩形，
∴，，，
∵点M、N分别是边、的中点，，
∴，
∴四边形是矩形，又，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
在中，，
∵，则，
∴点H在为直径的圆上，设圆心为O，
当点E与M重合时，点P在点N处，当点E与A重合时，如下图，连接，，
则点H的运动轨迹为，

此时，，
∴，又，
∴，
∴，
则点H所经过的路径长是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、圆周角定理、弧长公式等知识，熟练掌握矩形 的判定与性质，得到点H的运动轨迹是解答的关键．
17．
【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：
①+②得，，

把代入①得，，

∴原方程组的解为．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
18．证明过程见解析
【分析】先由四边形ABCD为平行四边形得到∠A=∠C，AB=CD，进而根据BE=DH得到AE=CH，最后再证明△AEF≌△CHG即可．
【详解】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C，AB=CD，
又已知BE=DH，
∴AB-BE=CD-DH，
∴AE=CH，
在△AEF和△CHG中
，
∴△AEF≌△CHG(SAS)，
∴EF=HG．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形全等的判定方法，属于基础题，熟练掌握平行四边形的性质是解决本题的关键．
19．12
【分析】将代数式应用完全平方公式和平方差公式展开后合并同类项，将整体代入求值．
【详解】解：∵，∴．
∴




．
20．(1)93，94，96
(2)八
(3)490人

【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义求解；
（2）比较两个年级成绩的方差，方差越小成绩越稳定；
（3）利用样本估计总体思想求解．
【详解】（1）解：八年级10名学生的成绩的平均数为：，
将七年级10名学生的成绩按从小到大顺序排列，第5位和第6位分别是92、96，
七年级成绩的中位数为：，
七年级10名学生的成绩中96出现的次数最多，
七年级成绩的众数为：，
故答案为：93，94，96；
（2）解：七年级成绩的方差大于八年级成绩的方差，
八年级的成绩更稳定，
故答案为：八；
（3）解：七年级抽取的10名学生中成绩优秀（）的有7人，
（人），
因此估计参加此次竞赛成绩优秀（）的七年级学生有490人．
【点睛】本题考查调查统计有关知识，涉及平均数、众数、中位数、方差、利用样本估计总体等，解题的关键是熟练掌握上述知识点．
21．(1)17.5
(2)

【分析】（1）将点代入直线和双曲线，即可求得直线和双曲线的解析式；由图形可得面积为和面积的和，分别求得和的面积即可求解；
（2）先求得直线解析式，根据平移法则求得平移后的直线解析式，联立双曲线，得到一元二次方程，令，即可求解．
【详解】（1）解：将代入直线得：
，解得
将代入双曲线得：
，解得
将代入直线得，，即
将代入直线得，，即

∴
，
由图像可得
（2）解：设直线解析式为，将、代入，得：
，解得
∴直线解析式为
直线向上平移个单位，则，联立双曲线得：
，化简得
∵与双曲线有唯一交点
∴
解得
又∵
∴
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的综合应用、涉及了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
22．(1)20元
(2)2250元

【分析】（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，根据题意列出方程，解出方程即可；
（2）设：购买A种菜苗捆，则购买B种菜苗捆，花费为y元，根据A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，解出m的取值范围，列出花费y 与A种菜苗捆之间的关系式，根据关系式求出最少花费多少钱即可．
【详解】（1）解：设：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，



解得
检验：将代入，值不为零，
∴是原方程的解，
∴菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元．
（2）解：设：购买A种菜苗捆，则购买B种菜苗捆，费用为y元，
由题意可知：，
解得，
又∵，
∴，
∵y随m的增大而减小
∴当时，花费最少，
此时
∴本次购买最少花费2250元．
【点睛】本题考查分式方程与一次函数表达式求最小值，根据题意列出分式方程并检验是解答本题的关键．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)

【分析】（1）连接，利用等腰三角形的性质证得，再根据圆周角定理和直角三角形斜边上的中线性质得到，则，进而求得，利用切线判定可证得结论；
（2）过D作直径垂线，交于，则与D关于对称，连接交于P即为所求作；
（3）设与的交点M，连接，利用三角函数分别求得，，证明，利用相似三角形的性质求解．
【详解】（1）证明：连接，
  
∵，
∴，
∵为直径，
∴，则，
∵E为中点，
∴，
∴，
∴，又为半径，
∴是的切线；
（2）解：过D作垂线，交于，则与D关于对称，连接交于P，此时最小，则点P即为所求作；

（3）解：设与的交点M，连接，
∵，
∴
在中，，，
∴，则，
在中，，则，
在中，，
设，，则，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形 的性质、最短路径问题、垂径定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数及勾股定理等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握切线的判定与性质，会利用相似三角形的性质和锐角三角函数解决问题是解答的关键．
24．(1)
(2)
(3)

【分析】（1）根据题意求出点A、B、C的坐标，利用待定系数法求解即可；
（2）画出草图，先求得直线过点，再联立方程得到关于x的一元二次方程，利用根与系数关系和坐标与图形的性质得到面积与k的函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可；
（3）先证得，得到，则，设，则，进而求得，利用平方式的非负性求解即可．
【详解】（1）解：∵直线交y轴于点A，交x轴于点B，
∴，，
∵，∴或，
∵该二次函数图象上的任意两点，，当时，总有，
∴当时，y随x的增大而增大，
当抛物线过时，抛物线对称轴为直线，当时，y随x的增大而减小，不合题意舍去；
当当抛物线过时，抛物线对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大，符合题意，
故设二次函数的表达式为，
将点代入，得，则，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：∵，
∴当时，，则直线过点，
如图，连接，则，∴，
∵直线与抛物线交于M、N两点，
∴设，，
由得，
则，，
连接，，
∴，
∴当时，最小，最小值为；

（3）解：如图，∵直线过点C，
∴，则，
∴直线，则，
∴，又，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∴

，
当且仅当即时，有最小值为．

【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及一次函数与二次函数的图象和性质、待定系数法求解函数解析式、相似三角形的判定与性质、坐标与图形、一元二次方程根与系数关系、三角形的面积等知识，涉及知识点较多，综合性强，是中考常考题型，利用数形结合思想与方程思想解决问题是解答的关键．
25．(1)
(2)不变，
(3)

【分析】（1）根据三角函数的定义求得∠CAB=60°，点E与点B重合，据此求解即可；
（2）证明△APF≌△EBA，即可求解；
（3）以AD为边向右侧作等边△ADQ，证明△ADF≌△AQE，得到DF=QE，当E在B（或C）时，QE最大，当E在BC中点时，QE最小，据此求解即可．
【详解】（1）解：连接AC，

在Rt△ABC中，AB=，AD=BC=3，
∴tan∠CAB=，
∴∠CAB=60°，
∴点E与点B重合，
∴AF=AB==AC，
∴F为AC中点
∴DF=AC=；
（2）解：不变，
理由如下：

过F作MA的垂线，垂足为P，
在Rt△ABM中，AB=，BM=1，
∴AM=2，tan∠MAB=，
∴∠MAB=30°，
∵∠MAF=∠P+∠PFA=90°+∠PFA，
∠MAF=∠FAE+∠BAE +∠MAB=60°+∠BAE +30°=90°+∠BAE，
∴∠PFA=∠BAE，
∵AE=AF，∠P=∠ABE=90°，
∴△APF≌△EBA，
∴FP=AB=，
S△AMF=AM•FP=；
（3）解：以AD为边向右侧作等边△ADQ，连接QE，

∵△ADQ、△AEF等边三角形，
∴∠DAQ=∠FAE=60°，AF=AE，AD=AQ，
∴∠DAF=∠QAE，
∴△ADF≌△AQE，
∴DF=QE，
当E在B（或C）时，QE最大，

同（1）得∠ADB=30°，则∠QDB=30°，又AD=AQ，
∴DB是线段AQ的垂直平分线，
∴QE最大=AB=；
过点Q作QG⊥AD于点G，交BC于点H，
当E与点H重合时，此时当E在BC中点，QE最小，

QG=ODsin60°=，
QE最小=QG-EG=；
∴≤DF≤．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．