新教材高一数学第二学期期末试卷三（原卷版+教师版）

这是一份新教材高一数学第二学期期末试卷三（原卷版+教师版），共22页。
新教材高一数学第二学期期末试卷
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.
1. 复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 如图是一个长方体的展开图，如果将它还原为长方体，那么线段AB与线段CD所在的直线（ ）

A. 平行 B. 相交 C. 是异面直线 D. 可能相交，也可能是异面直线
3. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图，则（ ）

A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B. 讲座后问卷答题的正确率的中位数大于85%
C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
4. 已知m，n，l是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C 若，，则 D. 若，，，则
5. 在中，角，，所对的边分别是，，，，，，则（ ）
A. B. 或 C. D. 或
6. 若随机事件满足，，，则事件与的关系是（ ）
A. 互斥 B. 相互独立 C. 互为对立 D. 互斥且独立
7. 在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（ ）
A. B. AB与平面所成的角为
C. D. 与平面所成的角为
8. 如图，在△ABC中，，，BE交CF于点P，，则（ ）

A B. C. D.
二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知复数（i为虚数单位），对于复数的以下描述，正确的有（ ）
A. B.
C. 的共轭复数为 D. 在复平面内对应的点在第三象限
10. 已知点O，N在△ABC所在平面内 ，且，，则点O，N分别是△ABC的（ ）
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
11. 一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个红球，2个白球，每次从中随机摸出1个球，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若不放回的摸球3次，则恰有2次摸到红球的概率为
B. 若不放回摸球2次，则第一次摸到红球的概率为
C. 若不放回的摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为
D. 若有放回的摸球3次，仅有前2次摸到红球的概率为
12. 在正方体ABCD—中，，点P在线段上运动，点Q在线段上运动，则下列说法中正确的有( )

A. 当P为中点时，三棱锥P-外接球半径为
B. 线段PQ长度最小值为2
C. 三棱锥-APC的体积为定值
D. 平面BPQ截该正方体所得截而可能为三角形、四边形、五边形
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量，则向量的单位向量的坐标是___________.
14. 为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20 000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示（最后一组包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值）.现按月收入分层，用分层随机抽样的方法在这20 000人中抽出200人进一步调查，则月收入在[3 000，4 000）（单位：元）内的应抽取________人.

15. 正四面体相邻两侧面所成二面角的正弦值是________
16. 某市为了缓解交通压力，实行机动车限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周六和周日不限行.某公司有，，，，五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶.已知车周四限行，车昨天限行，从今天算起，，两车连续四天都能上路行驶，车明天可以上路，由此可推测出今天是星期___________.


四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知，
（1）设，的夹角为，求的值；
（2）若向量与互相垂直，求k的值






18. 在中，．
（1）求C；
（2）若，的面积为6，求c的值．






19. 圆柱如图所示，为下底面圆的直径，为上底面圆的直径，底面，，，.
（1）证明：面.
（2）求圆柱的体积.






20. 《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）
质量指标值







产品
60
100
160
300
200
100
80

（1）估计产品的某项质量指标值的70百分位数.
（2）估计这组样本的质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；
（3）设表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，s精确到个位，，，，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有95%落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功．请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？（参考数据： ，）



21. 下图，直线与的边，分别相交于点，.设，，，，请用向量方法证明：.





22. 重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，，设.

（1）将、用含有的关系式表示出来；
（2）该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计、的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大.













新教材高一数学第二学期期末试卷
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.
1. 复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】利用复数的除法运算法则即可求解.
【详解】由已知得，则复数的虚部为，
故选：D.
2. 如图是一个长方体展开图，如果将它还原为长方体，那么线段AB与线段CD所在的直线（ ）

A. 平行 B. 相交 C. 是异面直线 D. 可能相交，也可能是异面直线
【答案】C
【解析】【分析】将展开图还原成长方体，即可判断
【详解】如图，将展开图还原成长方体，易得线段AB与线段CD是异面直线，

故选：C
3. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图，则（ ）

A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B. 讲座后问卷答题的正确率的中位数大于85%
C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
【答案】B
【解析】【分析】对于AB，根据中位数的定义求解判断，对于C，根据数据的集中程度判断，对于D，根据极差的定义判断
【详解】对于A，10名社区居民在讲座前问卷答题的正确率分别为65%，60%，70%，60%，65%，75%，90%，85%，80%，95%，从小到大排列为60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，所以其中位数为，所以A错误，
对于B，10名社区居民在讲座后问卷答题的正确率分别为90%，85%，80%，90%，85%，85%，95%，100%，85%，100%，则从小到大排列为80%，85%，85%，85%，85%，90%，90%，95%，100%，100%，所以其中位数为，所以B正确，
对于C，因为讲座前问卷答题的正确率比讲座后问卷答题的正确率的数据分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所以C错误，
对于D，讲座前问卷答题的正确率的极差为，讲座后问卷答题的正确率的极差，所以讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前正确率的极差，所以D错误，
故选：B
4. 已知m，n，l是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，，则
【答案】D
【解析】【分析】根据每项所提供的条件，思考可能的图像，或者推理，逐项分析.
【详解】对于A，即 ，若m和l在一个平面内，并且相交，
则n垂直于m，l所确定的平面，即m与l的夹角可以不等于 ，故A错误；
对于B，若α⊥β，β⊥γ，如图：

则α与γ可平行，可相交，故B错误；
对于C，若，β⊥γ，则m与γ平行或相交，或m⊂γ，故C错误；
对D，若m⊥a，，则n⊥α，又n⊥β，则，故D正确；
故选：D.
5. 在中，角，，所对边分别是，，，，，，则（ ）
A. B. 或 C. D. 或
【答案】A
【解析】【分析】利用正弦定理求出，再求.
详解】由正弦定理得，得，则；
因为，则，故，则，所以A正确.
故选：A.
6. 若随机事件满足，，，则事件与的关系是（ ）
A. 互斥 B. 相互独立 C. 互为对立 D. 互斥且独立
【答案】B
【解析】【分析】利用独立事件，互斥事件和对立事件的定义判断即可
【详解】解：因为， ，又因为，所以有，
所以事件与相互独立，不互斥也不对立故选：B.
7. 在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（ ）
A. B. AB与平面所成的角为
C. D. 与平面所成的角为
【答案】D
【解析】【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出．
【详解】如图所示：

不妨设，依题以及长方体的结构特征可知，与平面所成角为，与平面所成角为，所以，即，，解得．对于A，，，，A错误；
对于B，过作于，易知平面，所以与平面所成角为，因为，所以，B错误；
对于C，，，，C错误；
对于D，与平面所成角为，，而，所以．D正确．
故选：D．


8. 如图，在△ABC中，，，BE交CF于点P，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】由三点共线的性质得出.
【详解】因为三点共线，所以
因为三点共线，所以
所以，解得，
故选：A
二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知复数（i为虚数单位），对于复数的以下描述，正确的有（ ）
A. B.
C. 的共轭复数为 D. 在复平面内对应的点在第三象限
【答案】BD
【解析】【分析】先由求出复数，然后逐个分析判断即可
【详解】，
对于A，，所以A错误，
对于B，，所以B正确，
对于C，因为，所以，所以C错误，
对于D，因为，所以在复平面内对应的点在第三象限，所以D正确，
故选：BD
10. 已知点O，N在△ABC所在平面内 ，且，，则点O，N分别是△ABC的（ ）
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
【答案】AC
【解析】【分析】分析出点O到三角形的三个顶点的距离相等，所以O为的外心；先证明点N在AB边的中线上，同理可得点N在其他边的中线上，所以点N为的重心.
【详解】因为，所以点O到三角形的三个顶点的距离相等，
所以O为的外心；由，得，
由中线性质可知点N在AB边的中线上，同理可得点N在其他边的中线上，
所以点N为的重心.故选：AC.
11. 一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个红球，2个白球，每次从中随机摸出1个球，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若不放回的摸球3次，则恰有2次摸到红球的概率为
B. 若不放回的摸球2次，则第一次摸到红球的概率为
C. 若不放回的摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为
D. 若有放回的摸球3次，仅有前2次摸到红球的概率为
【答案】ACD
【解析】【分析】根据给定条件，用古典概型的概率公式判断ABD，用条件概率公式判断C即可
【详解】对于A，若不放回的摸球3次，则恰好2次摸到红球的概率为，所以A正确，
对于B，因为装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个红球，所以不放回的摸球2次，则第一次摸到红球的概率，所以B错误，
对于C，设事件为第一次摸到红球，事件为第二次摸到红球，则，，所以，所以若不放回的摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为，所以C正确，
对于D，若有放回的摸球3次，仅有前2次摸到红球的概率为，所以D正确，
故选：ACD
12. 在正方体ABCD—中，，点P在线段上运动，点Q在线段上运动，则下列说法中正确的有( )

A. 当P为中点时，三棱锥P-的外接球半径为
B. 线段PQ长度的最小值为2
C. 三棱锥-APC的体积为定值
D. 平面BPQ截该正方体所得截而可能为三角形、四边形、五边形
【答案】ABC
【解析】【分析】A：易知三棱锥P-的外接球球心为中点，据此即可求解判断；B：根据几何图形即可判断线段PQ长度的最小值为AB；C：易知为定值；D：作出平面BPQ与正方体各个面的交线即可判断其形状．
【详解】对于A，当P为中点时，

∵是正方形，∴，
∵AB⊥平面，平面，∴AB⊥，
∵AB∩=B，AB、平面ABP，∴平面ABP，
∵平面AP，∴平面AP⊥平面ABP，
易知Rt△ABP外接圆圆心为AP中点，Rt△AP外接圆圆心为中点，
则过Rt△ABP外接圆圆心作平面ABP的垂线，过Rt△AP外接圆圆心作平面AP的垂线，易知两垂线交点为中点，则三棱锥P-的外接球球心即为中点，外接球半径即为，故A正确；
对于B，如图过P作PG⊥BC于G，过Q作QE⊥PG于E，

易知PQ≥QE=AG≥AB，故线段PQ长度的最小值为AB=2，故B正确；
对于C，

∵∥，平面，平面，∴∥平面，
∵P∈，故P到平面的距离为定值，又为定值，则为定值，故C正确；
对于D，易知，截面BPQ与平面的交线始终为，连接，易知∥，过Q作QF∥交于F，连接、QB，则即为截面，其最多为四边形：

当Q与重合，P与重合，此时截面BPQ为三角形：

平面BPQ截该正方体所得截面不可能为五边形，故D错误﹒
故选：ABC﹒
【点睛】本题综合考察空间中的点、线、面的关系，A选项的关键是找到外接球球心，B选项利用几何关系即可判断，C选项利用三棱锥等体积法即可判断，D选项需充分利用空间里面的平行关系作出截面形状进行判断.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量，则向量的单位向量的坐标是___________.
【答案】
【解析】【分析】现根据求，再代入向量的单位向量为运算求解．
【详解】，则∴向量的单位向量为
故答案为：．
14. 为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20 000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示（最后一组包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值）.现按月收入分层，用分层随机抽样的方法在这20 000人中抽出200人进一步调查，则月收入在[3 000，4 000）（单位：元）内的应抽取________人.

【答案】40
【解析】【分析】根据频率分布直方图求出[3 000，4 000）的频率，从而可求出应抽取的人数
【详解】月收入在[3 000，4 000）的频率为1－（0.000 1＋0.000 25×2＋0.000 15＋0.000 05）×1000＝0.2，
故应抽取200×0.2＝40（人）.故答案为：40
15. 正四面体相邻两侧面所成二面角的正弦值是________
【答案】
【解析】【分析】由已知中正四面体的所有面都是等边三角形，取CD的中点E，连接AE，BE，由等腰三角形“三线合一”的性质，易得∠AEB即为相邻两侧面所成二面角的平面角，解三角形ABE即可得到正四面体（所有面都是等边三角形的三棱锥）相邻两侧面所成二面角的余弦值和正弦值．
【详解】取CD的中点E，连接AE，BE，如下图所示：

设四面体的棱长为2，则AE=BE=且AE⊥CD，BE⊥CD，则∠AEB即为相邻两侧面所成二面角的平面角，△ABE中，cos∠AEB==，故正四面体（所有面都是等边三角形的三棱锥）相邻两侧面所成二面角的正弦值是.故答案为：
【点睛】(1)本题主要考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 二面角的求法方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）
16. 某市为了缓解交通压力，实行机动车限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周六和周日不限行.某公司有，，，，五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶.已知车周四限行，车昨天限行，从今天算起，，两车连续四天都能上路行驶，车明天可以上路，由此可推测出今天是星期___________.
【答案】四
【解析】【分析】从考虑，它们只能在前三天限行，考虑到昨天行，还有的限制，今天是周四．
【详解】由题意，只能在每周前三天限行，
又昨天限行,E车明天可以上路，因此今天不能是一周的前3天，
因此今天是周四．这样周一、周二限行，周三限行，周四限行，周五限行．满足题意．
故答案为：四．
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知，
（1）设，的夹角为，求的值；
（2）若向量与互相垂直，求k的值
【答案】（1）； （2）．
【解析】【分析】（1）根据平面向量的夹角公式即可解出；
（2）根据平面向量的坐标运算以及垂直的坐标表示即可解出．
【小问1详解】
因为，所以.
【小问2详解】
由，可得，
，因为向量与互相垂直，
所以，即，解得：.
18. 在中，．
（1）求C；
（2）若，的面积为6，求c的值．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】（1）结合正弦定理以及两角和的正弦公式化简整理可得，进而结合特殊角的三角函数值即可求出结果；
（2）利用三角形的面积公式可以求出边，进而结合余弦定理即可求出结果.
【小问1详解】∵，
结合正弦定理可得，
即，又，，
故，∴．
【小问2详解】由，的面积为6，
∴，故，
由，
可得．
19. 圆柱如图所示，为下底面圆的直径，为上底面圆的直径，底面，，，.

（1）证明：面.
（2）求圆柱的体积.
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】（1）连接，，，根据面面垂直的性质，可得，证明四边形为平行四边形，从而可得，再证明四边形为平行四边形，可得，再根据线面平行的判定定理即可得证；
（2）连接，证明平面，从而可得，即可求得圆柱的底面圆的半径和高，再根据圆柱的体积公式即可得解.
【小问1详解】证明：连接，，，
可得平面，
∵平面，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴且，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵平面，平面，
∴平面；
【小问2详解】解：连接，
∵，∴，
∵垂直上底面，∴，
∵，平面，，
∴平面，
又平面，
∴，
∵，∴，
∴为等腰直角三角形，，
∴圆柱的体积为.

20. 《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）
质量指标值







产品
60
100
160
300
200
100
80

（1）估计产品的某项质量指标值的70百分位数.
（2）估计这组样本的质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；
（3）设表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，s精确到个位，，，，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有95%落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功．请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？（参考数据： ，）
【答案】（1）69 （2）平均数61和方差241 （3）不能判定生产线技术改造成功
【解析】【分析】（1）由可求得结果；
（2）根据平均值和方差公式求解即可得解；
（3）根据定义求出，再根据频率分布表可求出结果.
【小问1详解】设产品的某项质量指标值的70百分位数为，
则，解得.
所以估计产品的某项质量指标值的70百分位数为.
【小问2详解】由题，可知
．
．
【小问3详解】由知，，
则，，
该抽样数据落在内的频率约为；
又，，
该抽样数据落在内的频率约为，
∴可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功．
21. 下图，直线与的边，分别相交于点，.设，，，，请用向量方法证明：.

【答案】证明见详解
【解析】【分析】根据图形易得，结合数量积可得，根据数量积的定义代入运算整理即可，注意向量夹角的分析理解．
【详解】∵，则，即
又∵


∴
即
22. 重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，，设.

（1）将、用含有的关系式表示出来；
（2）该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计、的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？
【答案】（1），；
（2）当时，取最大值.
【解析】【分析】（1）本题可通过正弦定理得出、；
（2）本题首先可根据题意得出，然后通过余弦定理得出，通过转化得出，最后通过以及正弦函数的性质即可求出最值.
【详解】（1）因为，，，
所以，，.
（2）因为，，所以，
在中，由余弦定理易知，
即

，
因为，所以，，
当，即时，
取最大值，取最大值，
此时，
，
故当时，取最大值.
【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的实际应用，考查正弦定理与余弦定理的应用，考查三角恒等变换，考查根据正弦函数的性质求最值，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题.