河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试理数试题

2017~2018学年度高三十七模考试

高三年级数学试卷(理科)

第Ⅰ卷

一、选择题：（每小题5分,共60分.下列每小题所给选项只有一个项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

1. 设集合,集合,则集合（  ）

A．         B．       C．       D．

2. 已知复数 (，为虚数单位),若复数的共轭复数的虚部为, 则复数在复平面内对应的点位于（  ）

A． 第一象限        B．第二象限      C． 第三象限       D．第四象限

3. 若的展开式中的二项式系数和为32，则（  ）

A． 241       B． 242     C．  243     D． 244

4. 运行如图所示程序,则输出的的值为（  ）

A．         B．       C.  45       D．

5. 已知双曲线的左焦点为抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程为,则实数（  ）

A． 3        B．       C.         D．

6. 已知，，则的值为（  ）

A．         B．       C.         D．

7. 如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为（  ）

A．6         B．  9     C. 12        D．18

8. 已知,点在线段上,且的最小值为1,则 ()的最小值为（  ）

A．         B．       C.  2       D．

9. 函数的图像大致是（  ）

A．         B．     

C.         D．

10. 已知双曲线的左、右顶点分别为,，为双曲线左支上一点，为等腰三角形且外接圆的半径为，则双曲线的离心率为（  ）

A．        B．     C.        D．

11. 设函数.若,且，则的取值范围为（  ）

A．         B．       C.         D．

12. 对于函数和，设;,若所有的,，都有，则称和互为“零点相邻函数”.与互为“零点相邻函数”,则实数的取值范围是（  ）

A．         B．       C.         D．

第Ⅱ卷（非选择题90分）

二、填空题（每题5分，共20分，把每小题的答案填在答卷纸的相应位置）

13. 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为          ．

14. 已知是区间上的任意实数,直线与不等式组表示的平面区域总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为          ．

15. 如图，四面体的三条棱，，两两垂直，，，为四面体外一点，给出下列命题.

①不存在点，使四面体有三个面是直角三角形；

②不存在点，使四面体是正三棱锥；

③存在点，使与垂直并且相等；

④存在无数个点，使点在四面体的外接球面上，其中真命题的个数是          ．

16. 已知只有50项的数列满足下列三个条件：

①②；

③.

对所有满足上述条件的数列，共有个不同的值，则          ．

三、解答题（共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 在等差数列中，，其前项和满足.

（1）求实数的值，并求数列的通项公式；

（2）若数列是首项为为，公比为的等比数列，求数列的前项和.

18. 在2018年2月联盟考试中，我校共有500名理科学生参加考试，其中语文考试成绩近似服从正态分布，数学成绩的频率分布直方图如图：

（1）如果成绩大于130的为特别优秀，这500名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？

（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有人，求的分布列和数学期望.

（3）根据以上数据，是否有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀？

 ①若，

则，

②

③

19.已知在直角梯形中，，,，将沿折起至，使二面角为直角.

（1）求证：平面平面；

（2）若点满足，，当二面角为时，求的值.

20. 己知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点相同，为椭圆的右顶点，以为为圆心的的圆与直线相交交于，两点，且，.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程和圆的方程；

（Ⅱ）不过原点的直线与椭圆交于、两点，已知. 直线，为直径的圆的面积分别为、，试探究的值是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由.

21. 已知函数，其中为自然对数的底数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）函数的图像与轴交于，两点，，点在函数的图像上，且为等腰直角三角形，记，求的值.

二选一：请考生在22、23两题中任选一题作答，并在相应题号前的方框中涂黑.

22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），曲线.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线、的极坐标方程；

（2）射线与曲线、分别交于点 (且均异于原点)，当时，求的最小值.

23.已知函数.

（1）求不等式的解集；

（Ⅱ）若直线与函数的图象有公共点，求的取值范围.

2017~2018学年度下学期高三十七模考试

高三年级数学试卷(理科)答案

一、选择题

1-5:  CABBC     6-10:  ABBAC    11、12：BB

二、填空题

13.          14.           15.6           16.2个

三、解答题

17.（1）设等差数列的公差为，因为, 所以,所以.所以,所以.

所以

（2）由（1）知，所以

所以.

所以

18.【解析】解：（1）语文成绩服从正态分布，

∴语文成绩特别优秀的概率为，

数学成绩特别优秀的概率为，

∴语文文特别优秀的同学有人，

数学特别优秀的同学有500x0.024=12人

（2）语文数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，

的所有可能取值为0，1，2，3，

,

，，

∴的分布列为：

E(X)=0×+1

（3）列联表：

∴

∴有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀.

由题设知，

∴，∴，∵，∴，

则

故为定值，该定值为.

21.(理)解:（1）.

①当时，则，则函数在是单调增函数.

②当时,令，则，

若，,所以在上是单调减函数；

所以，，所以在上是单调增函数.

（2）由（1）可知当时，函数其图象与轴交于两点， 则有，则.

于是，在等腰三角形中，显然，所以，即，

由直角三角形斜边的中线性质，可知,

所以，即

所以，

即.

因为，则，

又，所以，

即，则

所以.

22.（Ⅰ）的极坐标方程为，的极坐标方程为

（2）

【试题解析】

（1）曲线的普通方程为，的极坐标方程为，

的极坐标方程为

（2）联立与的极坐标方程得，

联立与的极坐标方程得，

则

.(当且仅当时取等号).

所以的最小值为.

23.（1）:（2）

试题解析：解：（1）由，得或或，

解得，故不等式的解集为.

（2），

作出函数的图象，如图所示,

直线过定点,当此直线经过点时，；

当此直线与直线平行时，，故由图可知，