河北省衡水中学2017届高三摸底联考（全国卷）数学（理）试题

数学（理）试题

第Ⅰ卷（共60分）[来源:学&科&网Z&X&X&K]

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1. 若集合，且，则集合可能是（   ）

A．                B．             C．                 D．

2. 复数 的共轭复数在复平面上对应的点在（   ）

A．第一象限                B．第二象限             C．第三象限              D．第四象限

3. 已知平面向量满足，且，则向量与夹角的余弦值为（   ）

A．                   B．                    C．                 D．

4. 执行如图所示的程序框图，若输人的值为，则输出的值为（   ）

A．                    B．                  C．                 D．

5. 已知数列中，为其前项和，的值为（   ）

A．                  B．                 C．                 D．

6. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（   ）

A．                B．                C．                 D．

7. 为了得到，只需将作如下变换（   ）

A． 向右平移个单位                   B．向右平移个单位   

 C．向左平移个单位                  D．向右平移个单位

8. 若为不等式组，表示的平面区域，则当从连续变化到时，动直线扫过

中的那部分区域的面积为（   ）[来源:ZXXK]

A．                 B．             C．                 D．

9. 焦点在轴上的椭圆方程为 ，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（   ）

A．                B．             C．                 D．

10. 在四面体中，，二面角的余弦值是，则该四面体外接球的表面积是（   ）

A．             B．           C．               D．

11. 已知函数，则关于的方程实根个数不可能为

（   ）

A． 个             B．个           C． 个                D． 个

12. 函数部分图象如图所示，且，对不同的，若，有，则（   ）

A．在上是减函数                B．在上是增函数              C．在上是减函数                   D．在上增减函数

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.  的展开式中项的系数为         ．

14. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线的左顶点为，若双曲线一条渐近线与直线垂直，则实数         ．

15. 如图，为测量出山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角点的仰角以及，从点测得，已知山高，则山高         ．

[来源:ZXXK]

16. 设函数，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是         ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. （本小题满分12分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区2015年人口总数为万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的.

（1）求实施新政策后第年的人口总数的表达式（注：2016年为第一年）;

（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过万，则需调整政策，否则继续实施, 问到2035年后是否需要调整政策？（说明:）.

18. （本小题满分12分）如图, 已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面, 平面

平面,且,且.

（1）设点为棱中点, 在面内是否存在点,使得平面？若存在, 请证明, 若不存在, 说明理由;

（2）求二面角的余弦值.

[来源:]

19. （本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次，其中为标准，为标准.已知甲厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件; 乙厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.

（1）已知甲厂产品的等级系数的概率分布列如下所示：

且的数学期望,求的值;

（2）为分析乙厂产品的等级系数，从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下:

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数的数学期望；

（3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.

注：① 产品的“性价比”；

②“性价比”大的产品更具可购买性.

20. （本小题满分12分）已知椭圆短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线与圆相切.

（1）求椭圆的方程;

（2）已知椭圆的左顶点的两条直线分别交椭圆于两点, 且,求证: 直线过定点, 并求出定点坐标；

(3) 在(2) 的条件下求面积的最大值.

21. （本小题满分12分）已知函数(常数).

（1）证明: 当时, 函数有且只有一个极值点;

（2）若函数存在两个极值点,证明:.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图, 四点在同一个圆上，与的延长线交于点,点在的延长线上.

（1）若,求的值;

（2）若,证明:.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合，直线的参数方程为:

为参数), 曲线的极坐标方程为:.

（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;

（2）设直线与曲线相交于两点, 求的值.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）解不等式;

（2）若对任意,都有,使得成立, 求实数的取值范围.

 河北省衡水中学2017届高三摸底联考（全国卷）数学（理）

试题参考答案

一、   选择题：每小题5分，共60分，每小题所给选项只有一项符合题意.

ADCBA   DCDCB  DB

二、   填空题：每题5分，共20分.

13.     14.   15.    16.

三、解答题

17.本题满分12分

解：（1）当时，数列是首项为，公差为的等差数列，

因此，新政策实施后第年的人口总数（单位：万）的表达式为

（2）设 为数列的前项和，则从 年到年共年，由等差数列及等比数列的求和公式得： 万

新政策实施到年年人口均值为

故到年不需要调整政策．                               

18．本题满分12分

解：（1）连接，交于点，连接，则平面     

证明：为中点，为中点

为的中位线，                                

又平面平面

平面平面=,平面,

平面  

，                                                       

又，

平面

所以平面                                               

（2）以A为原点，AE，AB，AD所在直线分别为轴，轴，轴建立坐标系，

平面PEA

平面PEA的法向量                                

另外，，

，,设平面DPE的法向量，则

，令，得                            

又为锐二面角,所以二面角的余弦值为              

19．本题满分12分

解：（1）  ，即 ①

又由 的概率分布列得 ②

由①  ② 得                                 

（2）由已知得，样本的频率分布表如下：

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：

所以，

即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.                           （3）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：

因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于 ，价格为 元/件，所以其性价比为

因为乙厂产品的等级系数的期望等于 ，价格为 元/件，所以其性价比为

据此，乙厂的产品更具可购买性。                                      

20．本题满分12分

解：（1）由题意    即  

 （2）设，

由得

同理                                           

i) 时， 过定点

ii) 时过点过定点

（3）由（2）知

令时取等号时去等号， 

21．本题满分12分

 解：依题意，

 令，则.                         

（1）①当时，，所以无解，则函数 不存在大于零的极值点；                       

②当时，由，故在 单调递增. 又，，

所以在有且只有一个零点.                         3分

 又注意到在的零点左侧，，在的零点右侧，，

所以函数在有且只有一个极值点.                 

综上所述，当 时，函数在内有且只有一个极值点.       4分

（2）因为函数存在两个极值点（不妨设），

所以,是的两个零点，且由（1）知，必有.

令得 ；

令 得；

令得.

所以在单调递增，在单调递减，            6分

又因为，

所以必有.                                           

令，解得，                              8分

此时 .

因为是的两个零点，

所以，.

将代数式视为以为自变量的函数

则 .

当时，因为，所以，

则在单调递增.

因为，所以，

又因为，所以.

当时，因为，所以，

则在单调递减，

因为，所以.

综上知，且．．                            12分

22.本题满分10分

（1）解：因为 四点共圆；,又,又.

（2）,又,

又因为 四点共圆；.

23．本题满分10分

解：(1) ., 由,得,             

所以曲线的直角坐标方程为,由,消去解得：.所以直线l的普通方程为.   

(2)把   代入, 整理得 ,

设其两根分别为 ，则 .

24、本题满分10分

解析：

（1）由得 ， ，解得  ．

所以原不等式的解集为.          

（2）因为对任意 ，都有 ，使得 成立

所以 ，

有，当且仅当时, 取等号,,所以从而  或. 所以 实数的取值范围.