2017年河南省衡水中学大联考高考数学模拟试卷（理科）（2月份）（解析版）

这是一份2017年河南省衡水中学大联考高考数学模拟试卷（理科）（2月份）（解析版），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017年河南省衡水中学大联考高考数学模拟试卷（理科）（2月份）
　
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合益={y|y=lgx}，B={x|y=}，则集合A∩B=（　　）
A．（0，+∞） B．[0，+∞） C．（1，+∞） D．∅
2．已知复数z满足z=（i为虚数单位，a∈R），若复数z对应的点位于直角坐标平面内的直线y=﹣x上，则a的值为（　　）
A．0 B．l C．﹣l D．2
3．设函数f（x）=x2﹣2x﹣3，若从区间[﹣2，4]上任取一个实数x0，则所选取的实数x0满足f（x0）≤0的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．已知a＞0，且a≠1，则双曲线C1：﹣y2=1与双曲线C2：﹣x2=1的（　　）
A．焦点相同 B．顶点相同 C．渐近线相同 D．离心率相等
5．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里其意是：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走 了 700里．若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为（　　）
A．里 B．1050 里 C．里 D．2100里
6．如图，在各小正方形边长为1的网格上依次为某几何体的正视图．侧视图与俯视图，其中正视图为等边三角形，则此几何体的体积为（　　）

A．1+ B． + C． + D． +
7．已知 0＜a＜b＜l，c＞l，则（　　）
A．logac＜logbc B．（）c＜（）c
C．abc＜bac D．alogc＜blogc
8．运行如图所示的程序框图，则输出的结果是（　　）

A． B． C． D．
9．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B2C3D4中，点E，F分别在棱AD，BC上，且AE=BF=a．过EF的平面绕EF旋转，与DD1、CC1的延长线分别交于G，H点，与A1D1、B1C1分别交于E1，F1点．当异面直线FF1与DD1所成的角的正切值为时，|GF1|=（　　）

A． B． C． D．
10．将函数f（x）=sin2x﹣cos2x+1的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，则下列关予函数y=g（x）的说法错误的是（　　）
A．函数y=g（x）的最小正周期为π
B．函数y=g（x）的图象的一条对称轴为直线x=
C． g（x）dx=
D．函数y=g（x）在区间[，]上单调递减
11．点M（3，2）到拋物线C：y=ax2（a＞0）准线的距离为4，F为拋物线的焦点，点N（l，l），当点P在直线l：x﹣y=2上运动时，的最小值为（　　）
A． B． C． D．
12．已知f（x）是定义在区间（0，+∞）内的单调函数，且对∀x∈（0，∞），都有f[f（x）﹣lnx]=e+1，设f′（x）为f（x）的导函数，则函数g（x）=f（x）﹣f′（x）的零点个数为（　　）
A．0 B．l C．2 D．3
　
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．在（2﹣）6的展开式中，含x3项的系数是　　（用数字填写答案）
14．已知向量，满足||=2， =（4cosα，﹣4sinα），且⊥（﹣），设与的夹角为θ，则θ等于　　．
15．已知点P（x，y）的坐标满足，则的取值范围为　　．
16．若函数f（x）的表达式为f（x）= （c≠0），则函数f（x）的图象的对称中心为（﹣，），现已知函数f（x）=，数列{an}的通项公式为an=f（）（n∈N），则此数列前2017项的和为　　．
　
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin Acos B=2sin C﹣sin B．
（I）求角A；
（Ⅱ）若a=4，b+c=8，求△ABC 的面积．
18．如图，已知平面ADC∥平面A1B1C1，B为线段AD的中点，△ABC≈△A1B1C1，四边形ABB1A1为正方形，平面AA1C1C丄平面ADB1A1，A1C1=A1A，∠C1A1A=，M为棱A1C1的中点．
（I）若N为线段DC1上的点，且直线MN∥平面ADB1A1，试确定点N的位置；
（Ⅱ）求平面MAD与平面CC1D所成的锐二面角的余弦值．

19．某闯关游戏规则是：先后掷两枚骰子，将此试验重复n轮，第n轮的点数分别记为xn，yn，如果点数满足xn＜，则认为第n轮闯关成功，否则进行下一轮投掷，直到闯关成功，游戏结束．
（I）求第一轮闯关成功的概率；
（Ⅱ）如果第i轮闯关成功所获的奖金数f（i）=10000×（单位：元），求某人闯关获得奖金不超过1250元的概率；
（Ⅲ）如果游戏只进行到第四轮，第四轮后不论游戏成功与否，都终止游戏，记进行的轮数为随机变量X，求x的分布列和数学期望．
20．已知椭圆C： +=1 （a＞b＞0）的短轴长为2，过上顶点E和右焦点F的直线与圆M：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l过点（1，0），且与椭圆C交于点A，B，则在x轴上是否存在一点T（t，0）（t≠0），使得不论直线l的斜率如何变化，总有∠OTA=∠OTB （其中O为坐标原点），若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由．
21．已知函数f（x）= （a，b∈R，且a≠0，e为自然对数的底数）．
（I）若曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为0，且f（x）有极小值，求实数a的取值范围．
（II）（i）当 a=b=l 时，证明：xf（x）+2＜0；
（ii）当 a=1，b=﹣1 时，若不等式：xf（x）＞e+m（x﹣1）在区间（1，+∞）内恒成立，求实数m的最大值．
　
[选修4一4：坐标系与参数方程]
22．已知在平面直角坐标系中，椭圆C的参数方程为（θ为参数）．
（I）以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求椭圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，求x+2y的取值范围．
　
[选修4一5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|．
（I）作出函数f（x）的图象；
（Ⅱ）若不等式≤f（x）有解，求实数a的取值范围．

　

2017年河南省衡水中学大联考高考数学模拟试卷（理科）（2月份）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合益={y|y=lgx}，B={x|y=}，则集合A∩B=（　　）
A．（0，+∞） B．[0，+∞） C．（1，+∞） D．∅
【考点】交集及其运算．
【分析】根据函数的定义域和值域求出集合A、B，利用定义写出A∩B．
【解答】解：集合A={y|y=lgx}={y|y∈R}=R，
B={x|y=}={x|x≥0}，
则集合A∩B={x|x≥0}=[0，+∞）．
故选：B．
　
2．已知复数z满足z=（i为虚数单位，a∈R），若复数z对应的点位于直角坐标平面内的直线y=﹣x上，则a的值为（　　）
A．0 B．l C．﹣l D．2
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【解答】解：复数z满足z===+i，
复数z对应的点（，）位于直角坐标平面内的直线y=﹣x上，
∴﹣=，解得a=0．
故选：A．
　
3．设函数f（x）=x2﹣2x﹣3，若从区间[﹣2，4]上任取一个实数x0，则所选取的实数x0满足f（x0）≤0的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【分析】由题意知本题是一个几何概型，概率的值为对应长度之比，根据题目中所给的不等式解出解集，解集在数轴上对应的线段的长度之比等于要求的概率．
【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，概率的值为对应长度之比，
由f（x0）≤0，得到x02﹣2x0﹣3≤0，且x0∈[﹣2，4]
解得：﹣1≤x0≤3，
∴P==，
故选：A．
　
4．已知a＞0，且a≠1，则双曲线C1：﹣y2=1与双曲线C2：﹣x2=1的（　　）
A．焦点相同 B．顶点相同 C．渐近线相同 D．离心率相等
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据题意，由双曲线C1与C2的标准方程，分析其焦点位置，进而求出C1与C2的焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程以及离心率，比较即可得答案．
【解答】解：根据题意，双曲线C1：﹣y2=1，其焦点在x轴上，c=，
则其焦点坐标为（，0），顶点坐标（a，0），渐近线方程：y=±x，离心率e=；
双曲线C2：﹣x2=1，其焦点在y轴上，c=，
则其焦点坐标为（0，），顶点坐标（0，a），渐近线方程：y=±ax，离心率e=；
分析可得：双曲线C1：﹣y2=1与双曲线C2：﹣x2=1的离心率相同；
故选：D．
　
5．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里其意是：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走 了 700里．若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为（　　）
A．里 B．1050 里 C．里 D．2100里
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】由题意，可得该匹马每日的路程成等比数列，首项为a1，公比，连续行走7天，共走 了 700里，即S7=700，求解a1，即可求解它这14天内所走的总路程S14．
【解答】解：由题意，设该匹马首日路程（即首项）为a1，公比，S7=700，即，
解得：
那么： =
故选C．
　
6．如图，在各小正方形边长为1的网格上依次为某几何体的正视图．侧视图与俯视图，其中正视图为等边三角形，则此几何体的体积为（　　）

A．1+ B． + C． + D． +
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由题意，几何体是底面为等腰直角三角形（其直角边长为2）的三棱锥和一个半圆锥（圆锥底面半径为1）的组合体，利用体积公式，可得结论．
【解答】解：由题意，几何体是底面为等腰直角三角形（其直角边长为2）的三棱锥和一个半圆锥（圆锥底面半径为1）的组合体，体积V==，
故选C．
　
7．已知 0＜a＜b＜l，c＞l，则（　　）
A．logac＜logbc B．（）c＜（）c
C．abc＜bac D．alogc＜blogc
【考点】不等式的基本性质．
【分析】根据a，b，c的范围，根据特殊值法验证即可．
【解答】解：取a=，b=，c=2，
得A、B、C错误，D正确，
故选：D．
　
8．运行如图所示的程序框图，则输出的结果是（　　）

A． B． C． D．
【考点】程序框图．
【分析】程序框图累计算=（﹣）各项的和，即s= [（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]，
根据判断框，即可得出结论．
【解答】解：程序框图累计算=（﹣）各项的和，
即s= [（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]，
判断框为k＞99时，输出的结果为，
故选B．
　
9．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B2C3D4中，点E，F分别在棱AD，BC上，且AE=BF=a．过EF的平面绕EF旋转，与DD1、CC1的延长线分别交于G，H点，与A1D1、B1C1分别交于E1，F1点．当异面直线FF1与DD1所成的角的正切值为时，|GF1|=（　　）

A． B． C． D．
【考点】棱柱的结构特征．
【分析】如图异面直线FF1与DD1所成的角的正切值为时，就是tan∠CHF=，求出CF，C1H，C1F，D1C1即可．
【解答】解：如图异面直线FF1与DD1所成的角的正切值为时，
就是tan∠CHF=，∵，∴CH=2a，
即C1H=a⇒C1F1=
|GF1|==
故选：A．
　
10．将函数f（x）=sin2x﹣cos2x+1的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，则下列关予函数y=g（x）的说法错误的是（　　）
A．函数y=g（x）的最小正周期为π
B．函数y=g（x）的图象的一条对称轴为直线x=
C． g（x）dx=
D．函数y=g（x）在区间[，]上单调递减
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的化简求值．
【分析】利用两角差的正弦函数公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得g（x），利用正弦函数的图象和性质逐一分析各个选项即可得解．
【解答】解：把f（x）=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x﹣）+1的图象向左平移个单位，
得到函数y=2sin[2（x+）﹣]+1=2sin（2x+）+1的图象，
再向下平移1个单位，得到函数y=g（x）=2sin（2x+）的图象，
对于A，由于T=，故正确；
对于B，由2x+=kπ+，k∈Z，解得：x=+，k∈Z，可得：当k=0时，y=g（x）的图象的一条对称轴为直线x=，故正确；
对于C， g（x）dx=2sin（2x+）dx=﹣cos（2x+）|=﹣（cos﹣cos）=，故正确；
对于D，由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，可得函数y=g（x）在区间[，]上单调递减，故错误．
故选：D．
　
11．点M（3，2）到拋物线C：y=ax2（a＞0）准线的距离为4，F为拋物线的焦点，点N（l，l），当点P在直线l：x﹣y=2上运动时，的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先求出抛物线的方程，设AP=t，则AN=，AF=2，PN=，PF=，再表示，利用换元法，即可得出结论．
【解答】解：∵点M（3，2）到拋物线C：y=ax2（a＞0）准线的距离为4，
∴2+=4，∴a=，∴拋物线C：x2=8y，
直线l：x﹣y=2与x轴交于A（2，0），则FA⊥l．
设AP=t，则AN=，AF=2，PN=，PF=，
设﹣1=m（m≥﹣1），则===，
∴m=﹣1，即t=0时，的最小值为．
故选：B．
　
12．已知f（x）是定义在区间（0，+∞）内的单调函数，且对∀x∈（0，∞），都有f[f（x）﹣lnx]=e+1，设f′（x）为f（x）的导函数，则函数g（x）=f（x）﹣f′（x）的零点个数为（　　）
A．0 B．l C．2 D．3
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．
【分析】由设t=f（x）﹣lnx，则f（x）=lnx+t，又由f（t）=e+1，求出f（x）=lnx+e，从而求出g（x）的解析式，根据函数的单调性求出函数的零点的个数即可．
【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣lnx]=e+1，
又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
则f（x）﹣lnx为定值，
设t=f（x）﹣lnx，
则f（x）=lnx+t，
又由f（t）=e+1，
即lnt+t=e+1，
解得：t=e，
则f（x）=lnx+e，f′（x）=＞0，
故g（x）=lnx+e﹣，则g′（x）=+＞0，
故g（x）在（0，+∞）递增，
而g（1）=e﹣1＞0，g（）=﹣1＜0，
存在x0∈（，1），使得g（x0）=0，
故函数g（x）有且只有1个零点，
故选：B．
　
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．在（2﹣）6的展开式中，含x3项的系数是　64　（用数字填写答案）
【考点】二项式系数的性质．
【分析】根据二项式展开式的通项公式，令展开式中含x项的指数等于3，求出r的值，即可求出展开式中x3项的系数．
【解答】解：二项式（2﹣）6展开式的通项公式为
Tr+1=••=（﹣1）r•26﹣r••x3﹣r，
令3﹣r=3，
解得r=0；
∴展开式中x3项的系数是26×=64．
故答案为：64．
　
14．已知向量，满足||=2， =（4cosα，﹣4sinα），且⊥（﹣），设与的夹角为θ，则θ等于　　．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据平面向量的数量积运算与夹角公式，即可求出、夹角的大小．
【解答】解：∵||=2， =（4cosα，﹣4sinα），
∴||==4，
又⊥（﹣），
∴•（﹣）=﹣•=22﹣•=0，
∴•=4；
设与的夹角为θ，则θ∈[0，π]，
∴cosθ===，
∴θ=．
故答案为：．
　
15．已知点P（x，y）的坐标满足，则的取值范围为　[﹣，1]　．
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，设A（1，1），P（x，y）为可行域内的一动点，向量、的夹角为θ，可得cosθ=，再由θ的范围求得cosθ的范围，则答案可求．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

设A（1，1），P（x，y）为可行域内的一动点，
向量、的夹角为θ，
∵||=，，
∴cosθ==．
∵当P运动到B时，θ有最小值，当P运动到C时，θ有最大值π，
∴﹣1，即，
则．
∴的取值范围为[﹣，1]．
故答案为：[﹣，1]．
　
16．若函数f（x）的表达式为f（x）= （c≠0），则函数f（x）的图象的对称中心为（﹣，），现已知函数f（x）=，数列{an}的通项公式为an=f（）（n∈N），则此数列前2017项的和为　﹣2016　．
【考点】数列的求和．
【分析】由已知结论可得f（x）的对称中心为（，﹣1），即有f（x）+f（1﹣x）=﹣2，此数列前2017项的和按正常顺序写一遍，再倒过来写，即运用数列的求和方法：倒序球和法，化简即可得到所求和．
【解答】解：若函数f（x）的表达式为f（x）= （c≠0），
则函数f（x）的图象的对称中心为（﹣，），
现已知函数f（x）=，则对称中心为（，﹣1），
即有f（x）+f（1﹣x）=﹣2，
则数列前2017项的和为S2017=f（）+f（）+…+f（）+f（1），
则S2017=f（）+f（）+…+f（）+f（1），
相加可得2S2017=[f（）+f（）]+[f（）+f（）]+…+2f（1）
=﹣2+（﹣2）+…+（﹣2）+0=﹣2×2016，
则此数列前2017项的和为﹣2016．
故答案为：﹣2016．
　
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin Acos B=2sin C﹣sin B．
（I）求角A；
（Ⅱ）若a=4，b+c=8，求△ABC 的面积．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（I）由正弦定理化简已知等式可得cosB=，结合余弦定理可求b2+c2﹣a2=bc，可求cosA，结合范围A∈（0，π），可求A的值．
（Ⅱ）由已知及余弦定理可得bc=，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
【解答】（本题满分为12分）
解：（I）∵2sinAcosB=2sinC﹣sinB，
∵由正弦定理可得：2acosB=2c﹣b，即：cosB=，
又∵cosB=，
∴=，解得：b2+c2﹣a2=bc，
∴cosA===，
又∵A∈（0，π），
∴A=…6分
（Ⅱ）∵由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，a=4，b+c=8，
∴（4）2=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，
∴bc=，
∴△ABC 的面积S=bcsinA==…12分
　
18．如图，已知平面ADC∥平面A1B1C1，B为线段AD的中点，△ABC≈△A1B1C1，四边形ABB1A1为正方形，平面AA1C1C丄平面ADB1A1，A1C1=A1A，∠C1A1A=，M为棱A1C1的中点．
（I）若N为线段DC1上的点，且直线MN∥平面ADB1A1，试确定点N的位置；
（Ⅱ）求平面MAD与平面CC1D所成的锐二面角的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）连结A1D，直线MN∥平面ADB1A1，推出MN∥A1D，说明MN为△A1C1D的中位线，得到N为DC1的中点．
（Ⅱ）设A1B1=1，证明AD⊥AM，AD⊥AC，∴AM，AD，AC两两垂直，以A为坐标原点，AD，AC，AM分别为x，y，z轴，求出相关点的坐标，求出平面CC1D的法向量，平面MAD的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．
【解答】（Ⅰ）证明：连结A1D，直线MN∥平面ADB1A1，MN⊂平面A1C′1D，
平面A1C1D∩平面ADB1A1=A1D1，∴MN∥A1D，
又M为棱A1C1的中点，∴MN为△A1C1D的中位线，
∴N为DC1的中点．
（Ⅱ）设A1B1=1，则A1A=1，A1C1=1，因为B为AD的中点，所以AD=2，因为△ABC≈△A1B1C1，
所以A1C1=AC，又平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1B1C1∩平面A1AOC1=A1C1，平面ABC∩平面A1AOC1=AO，
∴A1C1∥AC，所以四边形A1ACC1是平行四边形，又A1C1=A1A，所以A1ACC1是菱形，又∠C1A1A=，
A1M=，∴，∴AM⊥A1C1，∴AM⊥AC，∵AD⊥AA1，平面AA1C1C⊥平面ADB1A1，
∴AD⊥平面AA1C1C，∴AD⊥AM，AD⊥AC，∴AM，AD，AC两两垂直，
以A为坐标原点，AD，AC，AM分别为x，y，z轴，
由题意可得：A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，1，0），C1（），∴=（﹣2，1，0），，
设平面CC1D的法向量为： =（x，y，z），则，

令z=2，可得y=6，x=3，可得=（3，6，2），平面MAD的一个法向量为： =（0，1，0），
平面MAD与平面CC1D所成的锐二面角的余弦值为：cosθ=|cos|
===．
　
19．某闯关游戏规则是：先后掷两枚骰子，将此试验重复n轮，第n轮的点数分别记为xn，yn，如果点数满足xn＜，则认为第n轮闯关成功，否则进行下一轮投掷，直到闯关成功，游戏结束．
（I）求第一轮闯关成功的概率；
（Ⅱ）如果第i轮闯关成功所获的奖金数f（i）=10000×（单位：元），求某人闯关获得奖金不超过1250元的概率；
（Ⅲ）如果游戏只进行到第四轮，第四轮后不论游戏成功与否，都终止游戏，记进行的轮数为随机变量X，求x的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（Ⅰ）枚举法列出所有满足条件的数对（x1，y1）即可，
（Ⅱ）由10000×≤1250，得i≥3，由（Ⅰ）每轮过关的概率为．某人闯关获得奖金不超过1250元的概率：P（i≥3）=1﹣P（i=1）﹣P（i=2）
（Ⅲ）设游戏第k轮后终止的概率为pk（k=1，2，3，4），分别求出相应的概率，由能求出X的分布列和数学期望．
【解答】解：（Ⅰ），当y1=6时，y1＜，因此x1=1，2；
当y1=5时，y1＜，因此x1=1，2；
当y1=4时，y1＜，因此x1=1，2；
当y1=3时，y1＜，因此x1=1；
当y1=2时，y1＜因此x1=1；
当y1=1时，y1＜，因此x1无值；
∴第一轮闯关成功的概率P（A）=．
（Ⅱ）令金数f（i）=10000×≤1250，则i≥3，
由（Ⅰ）每轮过关的概率为．
某人闯关获得奖金不超过1250元的概率
：P（i≥3）=1﹣P（i=1）﹣P（i=2）=1﹣﹣（1﹣）×=
（Ⅲ）依题意X的可能取值为1，2，3，4
设游戏第k轮后终止的概率为pk（k=1，2，3，4）
p1=．p2=（1﹣）×=，p3=（1﹣）2×=，p4=1﹣p2﹣p3=；
故X的分布列为
X
1
2
3
4
P




因此EX=1×+2×+3×+4×=
　
20．已知椭圆C： +=1 （a＞b＞0）的短轴长为2，过上顶点E和右焦点F的直线与圆M：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l过点（1，0），且与椭圆C交于点A，B，则在x轴上是否存在一点T（t，0）（t≠0），使得不论直线l的斜率如何变化，总有∠OTA=∠OTB （其中O为坐标原点），若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由．
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（I）由已知可得：b=1，结合直线与圆M：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．进而可得c2=3，a2=4，即得椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）在x轴上是否存在一点T（4，0），使得不论直线l的斜率如何变化，总有∠OTA=∠OTB，联立直线与椭圆方程，结合∠OTA=∠OTB 时，直线TA，TB的斜率k1，k2和为0，可证得结论．
【解答】解：（I）由已知中椭圆C的短轴长为2，可得：b=1，
则过上顶点E（0，1）和右焦点F（0，c）的直线方程为：，
即x+cy﹣c=0，
由直线与圆M：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．
故圆心M（2，1）到直线的距离d等于半径1，
即，
解得：c2=3，
则a2=4，
故椭圆C的标准方程为：；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
当直线AB的斜率不为0时，设直线 方程为：x=my+1，代入得：（m2+4）y2+2my﹣3=0，
则y1+y2=，y1•y2=，
设直线TA，TB的斜率分别为k1，k2，
若∠OTA=∠OTB，
则k1+k2=+==
==0，
即2y1y2m+（y1+y2）（1﹣t）=+=0，
解得：t=4，
当直线AB的斜率为0时，t=4也满足条件，
综上，在x轴上存在一点T（4，0），使得不论直线l的斜率如何变化，总有∠OTA=∠OTB．
　
21．已知函数f（x）= （a，b∈R，且a≠0，e为自然对数的底数）．
（I）若曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为0，且f（x）有极小值，求实数a的取值范围．
（II）（i）当 a=b=l 时，证明：xf（x）+2＜0；
（ii）当 a=1，b=﹣1 时，若不等式：xf（x）＞e+m（x﹣1）在区间（1，+∞）内恒成立，求实数m的最大值．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，由f′（e）=0得b=0，可得f′（x）=．然后对a分类讨论，可知当a＞0时，f（x）有极大值而无极小值；当a＜0时，f（x）有极小值而无极大值．从而得到实数a的取值范围为（﹣∞，0）；
（Ⅱ）（i）当a=b=1时，设g（x）=xf（x）+2=lnx﹣ex+2．求其导函数，可得g′（x）=在区间（0，+∞）上为减函数，结合零点存在定理可得存在实数x0∈（，1），使得．得到g（x）在区间（0，x0）内为增函数，在（x0，+∞）内为减函数．又，得，x0=﹣lnx0．
由单调性知g（x）max＜0，即xf（x）+2＜0；
（ii）xf（x）＞e+m（x﹣1）⇔xf（x）﹣m（x﹣1）＞e，当 a=1，b=﹣1 时，设h（x）=xf（x）﹣m（x﹣1）=lnx+ex﹣m（x﹣1）．利用两次求导可得当x＞1时，h′（x）＞h′（1）=1+e﹣m．然后分当1+e﹣m≥0时和当1+e﹣m＜0时求解m的取值范围．
【解答】（Ⅰ）解：∵f（x）=，∴f′（x）=．
∵f′（e）=0，∴b=0，则f′（x）=．
当a＞0时，f′（x）在（0，e）内大于0，在（e，+∞）内小于0，
∴f（x）在（0，e）内为增函数，在（e，+∞）内为减函数，即f（x）有极大值而无极小值；
当a＜0时，f（x）在（0，e）内为减函数，在（e，+∞）内为增函数，即f（x）有极小值而无极大值．
∴a＜0，即实数a的取值范围为（﹣∞，0）；
（Ⅱ）（i）证明：当a=b=1时，设g（x）=xf（x）+2=lnx﹣ex+2．
g′（x）=在区间（0，+∞）上为减函数，又g′（1）=1﹣e＜0，g′（）=2﹣．
∴存在实数x0∈（，1），使得．
此时g（x）在区间（0，x0）内为增函数，在（x0，+∞）内为减函数．
又，
∴，x0=﹣lnx0．
由单调性知， =．
又x0∈（，1），∴﹣（）＜﹣2．
∴g（x）max＜0，即xf（x）+2＜0；
（ii）xf（x）＞e+m（x﹣1）⇔xf（x）﹣m（x﹣1）＞e，
当 a=1，b=﹣1 时，设h（x）=xf（x）﹣m（x﹣1）=lnx+ex﹣m（x﹣1）．
则h′（x）=．
令t（x）=h′（x）=．
∵x＞1，∴t′（x）=．
∴h′（x）在（1，+∞）内单调递增，
∴当x＞1时，h′（x）＞h′（1）=1+e﹣m．
①当1+e﹣m≥0时，即m≤1+e时，h′（x）＞0，
∴h（x）在区间（1，+∞）内单调递增，
∴当x＞1时，h（x）＞h（1）=e恒成立；
②当1+e﹣m＜0时，即m＞1+e时，h′（x）＜0，
∴存在x0∈（1，+∞），使得h′（x0）=0．
∴h（x）在区间（1，x0）内单调递减，在（x0，+∞）内单调递增．
由h（x0）＜h（1）=e，
∴h（x）＞e不恒成立．
综上所述，实数m的取值范围为（﹣∞，1+e]．
∴实数m的最大值为：1+e．
　
[选修4一4：坐标系与参数方程]
22．已知在平面直角坐标系中，椭圆C的参数方程为（θ为参数）．
（I）以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求椭圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，求x+2y的取值范围．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（I）椭圆C的参数方程为，消去参数，可得普通方程，即可求椭圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，则x+2y=3cosθ+4sinθ=5sin（θ+α），即可求x+2y的取值范围．
【解答】解：（I）椭圆C的参数方程为，消去参数，可得普通方程为=1，极坐标方程为；
（Ⅱ）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，则x+2y=3cosθ+4sinθ=5sin（θ+α），
∴x+2y的取值范围是[﹣5，5]．
　
[选修4一5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|．
（I）作出函数f（x）的图象；
（Ⅱ）若不等式≤f（x）有解，求实数a的取值范围．

【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【分析】（Ⅰ）去掉绝对值，化简函数f（x），作出函数f（x）的图象即可；
（Ⅱ）由函数f（x）的图象知函数的最大值是1，问题等价于≤1有解，
求出解集即可．
【解答】解：（Ⅰ）令2x﹣1=0，得x=，
令x﹣1=0，得x=1；
当x＜时，函数f（x）=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|=﹣（2x﹣1）+2（x﹣1）=﹣1；
当≤x≤1时，函数f（x）=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|=（2x﹣1）+2（x﹣1）=4x﹣3；
当x＞1时，函数f（x）=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|=（2x﹣1）﹣2（x﹣1）=1；
∴f（x）=，
作出函数f（x）的图象，如图所示；
（Ⅱ）由函数f（x）的图象知，f（x）的最大值是1，
所以不等式≤f（x）有解，等价于≤1有解，
不等式≤1可化为﹣1≤0
（2a﹣1）（a﹣1）≥0（a≠1），解得a≤或a＞1，
所以实数a的取值范围是（﹣∞，]∪（1，+∞）．
　

2017年3月22日