湖南省郴州市2021-2022学年高一下学期期末数学试题

郴州市2022年高一下学期期末教学质量监测试卷

数  学（试题卷）

注意事项：

1．本试卷分试题卷和答题卡，试题卷共6页，有四道大题，共22道小题，满分150分，考试时间120分钟

2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的指定位置上，并认真核对答题卡上的姓名、准考证号和科目．

3．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题．

4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知，则虚部为（    ）

A.  B.  C. 3 D.

2. 某次数学竞赛中有甲、乙、丙三个方阵，其人数之比为2∶3∶5．现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为50的样本，其中方阵乙被抽取的人数为（    ）

A. 10 B. 15 C. 20 D. 25

3. 底面半径为2，母线长为4的圆锥的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 若向量，且，则的值为（    ）

A.  B. 0 C. 1 D. 0或1

5. △ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为棱CC1中点，则异面直线AM与C1D1所成角的正切值为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、、兑八卦，每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），现有1人随机从八卦中任取两卦，六根线中恰有四根阳线和两根阴线的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点（端点除外），且，则的最小值为（    ）

A. 16 B. 17 C. 18 D. 19

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列命题不正确的是（    ）

A 三点确定一个平面 B. 两条相交直线确定一个平面

C. 一条直线和一点确定一个平面 D. 两条平行直线确定一个平面

10. 若复数z满足，则（    ）

A.  B. z的实部为1 C.  D.

11. 在中，、、分别为角、、的对边，已知，，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动时，下列命题正确的是（    ）

A. 三棱锥A−D1PC的体积不变

B. 直线CP与直线AD1的所成角的取值范围为

C. 直线AP与平面ACD1所成角的大小不变

D. 二面角P−AD1−C的大小不变

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13. 一组数1、2、4、5、6、6、7、8、9的75%分位数为________．

14. 已知事件A、B互斥，且事件A发生的概率P（A）＝，事件B发生的P（B）＝，则事件A、B都不发生的概率是________．

15. 如图，为了测量河对岸的塔高AB．可以选与塔底B在同一水平面内的两个基点C与D，现测得CD＝30米，且在点C和D测得塔顶A的仰角分别为45°，30°，又∠CBD＝30°，则塔高AB＝________米．

16. 已知A、B、C是半径为3的球O的球面上的三个点，且∠ACB＝120°，AB＝，AC＋BC＝2．则三棱锥的体积为________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 若，，是同一平面内的三个向量，其中（3，）．

（1）若，且∥，求的坐标；

（2）若且与垂直，求与的夹角．

18. 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PB＝PD，E，F分别为AB和PD的中点.

（1）求证：EF∥平面PBC；

（2）求证：平面PBD⊥平面PAC.

19. 我校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组，，第2组，，第3组，，第4组，，第5组，，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．

（1）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数；

（2）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？

20. 已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求角A；

（2）从两个条件：①；②△ABC面积为中任选一个作为已知条件，求△ABC周长的取值范围．

21. 如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，，高，，将它沿对称轴OO1折叠，使二面角A−OO1−B为直二面角．

（1）证明：AC⊥BO1；

（2）求二面角O−AC−O1的正弦值．

22. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.

（1）设函数，试求的伴随向量；

（2）记向量的伴随函数为，求当且时的值；

（3）由（1）中函数的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，已知，，问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.