五年级奥数典型题——冲刺100测评卷02《等差数列》（原卷及解析版）

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【五年级奥数举一反三—全国通用】
测评卷02《等差数列》
试卷满分：100分 考试时间：100分钟
姓名：_________班级：_________得分：_________
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）（2011•其他模拟）有20个数，第一个数是9，以后每一个数都比前一个数大2，第20个数是（　　）
A．47 B．49 C．51 D．53
【分析】由于第一个数是9，从第二个数起，每一个数都比前一个数大2，所以第20个数比9大19个2．
【解答】解：9+（20﹣1）×2
＝9+19×2
＝9+38
＝47．
答：第20个数是47．
故选：A．
2．（2分）下面一列数5、8、11、14、…、第（　　）个数为2015．
A．667 B．668 C．669 D．671
【分析】此题首项是5，末项是2015，公差是3，求第几个数为2015，即求项数，根据等差数列的通项公式进行求解即可．
【解答】解：首项是5，末项是2015，公差是3，
（2015﹣5）÷3+1
＝2010÷3+1
＝671
答：第671个数为2015．
故选：D．
3．（2分）（2015•创新杯）从小到大排列99个数，每两个相邻数的差都相等，第7个与第93个的和为262，则这列数的第50个数为（　　）
A．50 B．51 C．120 D．131
【分析】因为一共有99个，所以正中间的一个数是50，这个数就是这个数列之和的平均数．第93个数是倒数第7个数，所以此题常采用画图的方法解决．
【解答】解：
262÷2＝131
故选：D．
4．（2分）（2014•迎春杯）一个12项的等差数列，公差是2，且前8项的和等于后4项的和，那么，这个数列的第二项是（　　）
A．7 B．9 C．11 D．13
【分析】找出前8项数字和与后4项数字和相等，列出关系式，求出其中一项即可．
【解答】解：根据题意后4项和前8项数字和相等可知，这个数列是递增数列，
（a1+a8）×8÷2＝（a9+a12）×4÷2，
因为a8＝a1+14，a9＝a1+16，a12＝a1+22，
所以代入得（a1+a1+14）×8÷2＝（a1+16+a1+22）×4÷2，
解得 a1＝5，
所以 a2＝a1+2＝7．
故选：A．
5．（2分）5个连续自然数的和是315，那么紧接在这5个自然数后面的5个连续自然数的和是（　　）
A．360 B．340 C．350 D．无法求出
【分析】这些自然数是等差数列，紧接在这5个自然数后面的5个连续自然数的和比315多5×5，然后进一步解答即可．
【解答】解：315+5×5
＝315+25
＝340
故选：B．
6．（2分）（2011•其他模拟）有10只盒子，44只羽毛球．能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球不相等？（　　）
A．能 B．不能 C．不确定
【分析】这是一个等差数列的应用题，解题关键是由已知数列所有项的个数按最少量算出它们的总和，然后与题意中给的羽毛球的总数44相比较，如果相等，就说明能够将44只羽毛球放到10个盒子中去，且使各盒子里的羽毛球数不相等；否则就不能．
【解答】解：由题意，要使10个盒子中羽毛球的数量不相等，
最少的放法是：
0，1，2…9．
计算总和：
0+1+2+…+9
＝9×5
＝45，
因为45＞44，
所以原题不能．
答：不能使各个盒子里的羽毛球数不相等．
故选：B．
二．填空题（共12小题，满分31分）
7．（2分）（2017•走美杯）一箱苹果60个，第一天大家一起吃了17个，以后我每天吃1个，过了几天发现只剩下16个，苹果怎么少这么快？有人告诉我，小张每天都去偷偷地拿2个．请你算一算：这几天小张共拿了　18　个苹果．
【分析】可以先用总数减去大家吃的苹果数和剩下的苹果数，再除以我每天吃的苹果数和小张偷的苹果数之和，就能求得天数，就能知道小张偷了几天，不难求得小张偷拿了多少苹果．
【解答】解：根据分析，先求得小张偷拿苹果的天数，故有：
（60﹣17﹣16）÷（2+1）＝9（天），
小张共偷了：9×2＝18个．
故答案是：18．
8．（2分）（2016•学而思杯）表中每行，每列分别从左至右、从上至下构成等差数列，那么m×n＝　300　．
4

8


9

15

12

n

m

25
【分析】首先，确定第一行公差，填全第一行；
从第二列确定公差，确定m；
同样从第四列，确定n．
【解答】解：
第一行公差为（8﹣4）÷2＝2，第一行数字为：4、6、8、10；
确定第二列确定公差为12﹣9＝3，确定m＝12+3＝15；
同样确定n＝20．
m×n＝300
即：填300
9．（2分）（2018•陈省身杯）小明去麦当当打暑期工，连续工作了5天后共挣了180元，如果这5天里他每一天所挣的钱都比前一天多6元．那么第1天小明挣了　24　元．
【分析】根据等差数列的规律，第三天小明挣了180÷5＝36元，公差是6，所以第一天小明挣了36﹣6×2＝24元，据此解答即可．
【解答】解：180÷5＝36（元）
36﹣6×2＝24（元）
故答案为：24．
10．（2分）（2017•其他杯赛）小明希望通过做一些数学题目来巩固知识，他每天都会比前一天多做2道题目．如果小明第一天做了2道题目，那么前七天他共做了　56　道题目．
【分析】首项是2，末项是2+（7﹣1）×2＝14，然后利用等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2求出结果．
【解答】解：2+（7﹣1）×2＝14（道）
（2+14）×7÷2＝56（道）
故填56．
11．（2分）（2017•小机灵杯）从1，2，3，4，…，50中取5个不同的数，使这5个数构成一个等差数列，那么，可以得到不同的等差数列的个数为　576　．
【分析】根据题意，分析当得到的等差数列公差为1、2、3时，可以得到的等差数列的数目，依此类推，发现其数目的变化规律，进而根据等差数列的前n项公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，当得到的等差数列公差为1时，有1、2、3、4、5，…，46、47、48、49、50，共46种情况；
当其公差为2时，有1、3、5、7、9，…，42、44、46、48、50，共42种情况；
…
当其公差为12时，有1、13、25、37、49，2、14、26、38、50，共2种情况；
综上所述，共有2+6+…+46＝＝288种，
考虑到等差数列也可以是从大到小，所以共有288×2＝576种不同的等差数列，
故答案为576．
12．（2017•春蕾杯）九只小猴子依次去摘桃子，每一只都比前一只多摘2个桃子，摘得最多的一只猴子摘了25个桃子，那么这些猴子一共摘了　153　个桃子．
【分析】九只小猴子摘桃子数，构成一个等差数列，公差是2，末项是25，那么首项是25﹣2×（9﹣1）＝9，然后根据高斯求和公式解答即可．
【解答】解：25﹣2×（9﹣1）＝9（个）
（9+25）×9÷2＝153（个）
故答案为：153．
13．（2016•迎春杯）帅帅背了7天单词，从第2天开始每天都比前一天多背1个单词，且前4天所背单词个数的和等于后3天所背单词个数的和，那么帅帅这7天一共背了单词　84　个．
【分析】首先表示出这7天的数量关系，然后根据前4天等于后3天的数量列出等式，求出每天的数量相加即可．
【解答】解：依题意可知：
设帅帅背单词的数量为：a，a+1，a+2，a+3，a+4，a+5，a+6共7天
a+a+1+a+2+a+3＝a+4+a+5+a+6
解：a＝9．
共背9+10+11+12+13+14+15＝84
故答案为：84
14．（2015•走美杯）梯形的上底、高、下底依次构成一个等差数列，其中高是12，那么梯形的面积是　144　．
【分析】首先根据梯形的上底、高、下底依次构成一个等差数列，可得：上底+下底＝高×2，据此求出梯形的上底和下底的和是多少；然后根据：梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2，求出梯形的面积是多少即可．
【解答】解：（12×2）×12÷2
＝24×12÷2
＝288÷2
＝144
答：梯形的面积是144．
故答案为：144．
15．（2018•迎春杯）四位同学一起讨论一个由无数个自然数组成的等差数列：
小叶说：这个等差数列的第一项是个两位数．
小刚说：数列中不大于215的数有20多个．
小王说：数列的公差小于5．
小红说：数列前两项的平均数是102．
这四位同学的话中只有一句是错的，那么这个等差数列的第100项是　496　．
【分析】如果小叶和小红说得对，那么前两项的和是102×2＝204，根据小叶说的，可以确定第一个数最大是99，那第二个数就是105，说明公差至少是105﹣99＝6，与小王说的相矛盾，因此可以判断出小叶、小红和小王三人之中肯定有一个是错的，那么小刚说的话肯定是对的．根据小刚说的，那说明公差一定不大于215÷20≈10，假设小王说的是错的，则说明公差大于或等于6，根据小叶和小红说的话可以确定公差是一个偶数，因此接下来验证公差是6、8、10的情况．如果公差是6，则第1项是99，第2项是105，那么第21项就是99+20×6＝219，大于215，所以公差不是6；如果公差是8，那么第1项就是98，第21项就是98+20×8＞215，所以公差也不是8，同样的道理公差也不是10，由此可以判断出小王说的话是对的．那只有小叶和小红两人有一个说错了．根据公差小于5，说明公差最大是4，那第一个数最大是215﹣28×4＝103，最小是215﹣28×4﹣3＝100，说明小叶说错了；同样根据公差是3、2、1，也能得出第一个数是三位数．根据前两项的和的平均数是102，说明这两个数可能是100和104，也可能是101和103，如果是100和104，那么第100项就是100+99×4＝496；如果前两项是101和103，那么215之前就不止20多个数，故不对．
【解答】解：根据上面的推理可以知道是小叶说错了．
102×2＝100+104＝101+103
如果公差是104﹣100＝4，则第100项是100+99×4＝496；
如果公差是103﹣101＝2，则第30项是101+29×2＝159＜215，与小刚说的话矛盾．
故答案为：496．
16．（2016•创新杯）已知数列a1，a2，…，an为一等差数列，平均数为71，把相邻的4个数相加，其和为新的一列数，这新一列数的总和为28400，则n＝　103　．
【分析】由题意，a1+a2+…+an﹣1+an＝71n①，a1+2a2+3a3+4a4+4a5+…+4an﹣4+4an﹣3+3an﹣2+﹣2an﹣1+an＝28400②，②﹣①可以得到a2+2a3+3a4+3a5+…+3an﹣4+3an﹣3+2an﹣2+an﹣1＝28400﹣71n③，依次利用①式进行变换最后得出a4+a5+…+an﹣4+an﹣3＝28400﹣71（3n﹣6）⑤，利用等差数列的求和公式，即可得出结论．
【解答】解：由题意，a1+a2+…+an﹣1+an＝71n①，
a1+2a2+3a3+4a4+4a5+…+4an﹣4+4an﹣3+3an﹣2+﹣2an﹣1+an＝28400②，
②﹣①可得a2+2a3+3a4+3a5+…+3an﹣4+3an﹣3+2an﹣2+an﹣1＝28400﹣71n③，
a2+a3+…+an﹣2+an﹣1＝71（n﹣2）④，
③﹣④可得a3+2a4+2a5+…+2an﹣4+2an﹣3+an﹣2＝28400﹣71（2n﹣2）⑤，
a3+a4+…+an﹣3+an﹣2＝71（n﹣4）④，
⑤﹣④可得a4+a5+…+an﹣4+an﹣3＝28400﹣71（3n﹣6）⑤，
（n﹣3﹣4+1）×71＝28400﹣71（3n﹣6），
解得n＝103，
故答案为：103．
17．（2014•其他模拟）艾丽斯工作5天后，共挣了65元，其中每一天所挣的都比前一天多2元．她第一天挣了　9　元．
【分析】每天的钱数构成一个公差为“2”的等差数列，首项是要求的数，项数为5．因此本题根据高斯求和公式“Sn＝na1+n（n﹣1）÷2”进行计算即可：
【解答】解：设她第一天挣了x元，
5x+5×（5﹣1）×2÷2＝65
5x+20＝65
5x＝45
x＝9
故答案为：9．
18．一个电影院的第一排有15个座位，以后每排都比前排多2个座位，最后一排有53个座位，这个电影院共有　20　排座位．
【分析】把座位数可以看作是一个等差数列：首项是15，末项是53，公差是2，求这个电影院共有几排座位，就相当于等差数列的项数，列式是（53﹣15）÷2+1＝20，然后解答即可求出一共有的排数．
【解答】解：根据分析可得，
（53﹣15）÷2+1，
＝38÷2+1，
＝20（排），
答：这个电影院共有20排座位．
故答案为：20．
三．计算题（共1小题，满分3分，每小题3分）
19．92+90+88+…+2．
【分析】根据等差数列通项公式：项数＝（末项﹣首项）÷公差+1，（首数+尾数）×项数÷2＝和解答即可．
【解答】解：（2+92）×[（92﹣2）÷2+1]÷2
＝94×46÷2
＝2162
四．解答题（共12小题，满分54分）
20．（4分）（2012•其他模拟）把一堆苹果分给8个朋友，要使每个人都能拿到苹果，而且每个人拿到苹果个数都不同的话，这堆苹果至少应该有几个？
【分析】由题意可知，要使8个人中的每个人都能拿到苹果，而且每个人拿到苹果个数都不同，则分到苹果最少的应为1个，而其他人至少分别分到2，3…8个苹果．那么这堆苹果应有的个数为：1+2+3+…+8．计算这个公差为1的等差数列的和即可．
【解答】解：1+2+3+4+5+6+7+8
＝（1+8）×8÷2
＝9×8÷2
＝72÷2
＝36（个）．
答：这堆苹果至少应有36个．
21．（4分）小张看一本故事书，第一天看了25页，以后每天比前一天多看5页，最后一天看55页，刚好看完，这本故事书一共有多少页？
【分析】根据题意，可得小红每天看故事书的页数是一个等差数列，数列的首项是25，末项是55，公差是5，所以求出等差数列的项数，即可求出这本故事书共多少页．
【解答】解：（55﹣25）÷5+1
＝30÷5+1
＝7
（25+55）×7÷2
＝80×7÷2
＝280（页）
答：这本故事书一共有280页．
22．（4分）已知一个等差数列第9项等于131，第10项等于137，这个数列的第1项是多少？第19项是多少？
【分析】由题可知，本题是一个公差为137﹣131＝6的等差数列，因此本题根据高斯求和的有关公式解答即可：末项＝首项+（项数﹣1）×公差，首项＝末项﹣（项数﹣1）×公差．
【解答】解：公差：137﹣131＝6
第1项：131﹣（9﹣1）×6
＝131﹣48
＝83
第19项：83+（19﹣1）×6
＝83+18×6
＝83+108
＝191
答：这个数列的第1项是83，第19项是191．
23．（4分）某电影院有26排座位，后一排比前一排多1个座位，最后一排有45个座位，求这个影院一共有多少个座位？
【分析】因后一排在比前一排多1个座位，可看作是看作一个等差数列，末项是45，所以首项是45﹣26+1＝20，本题可根据高斯求和公式解答即可．
【解答】解：45﹣26+1＝20（个）
（20+45）×26÷2＝845（个）
答：这个影院一共有845个座位．
24．（4分）有一堆粗细均匀的圆木，最上面一层有6根，每向下一层增加一根，如果最下面一层有98根，那么共堆了多少层？
【分析】每层的根数构成了一个等差数列，首项是6，公差是1，末项是98，求项数，根据“项数＝（末项﹣首项）÷公差+1”解答即可．
【解答】解：（98﹣6）÷1+1
＝92+1
＝93（层）
答：共堆了93层．
25．（4分）求1，5，9，13，…，这个等差数列的第30项．
【分析】首先求出1，5，9，13，…，这个等差数列的公差，然后根据：an＝a1+（n﹣1）d（a1、an、d分别是等差数列的第1项、第n项、公差），求出这个等差数列的第30项即可．
【解答】解：1+（30﹣1）×（5﹣1）
＝1+29×4
＝1+116
＝117
答：这个等差数列的第30项是117．
26．（5分）（2012•其他杯赛）把90米长的一条绳子分成三段，要使后一段都比前一段多3米．三段绳子的长度各是多少？
【分析】设第一段绳子长x米，那么第二段，第三段绳子的长度分别是：（x+3）米，（x+3+3）米，根据三段绳子的长度是90米列方程，依据等式的性质即可解答．
【解答】解：设第一段绳子长x米，
x+（x+3）+（x+3+3）＝90，
3x+9＝90，
3x+9﹣9＝90﹣9，
3x＝81，
3x÷3＝81÷3，
x＝27，
27+3＝30（米），
27+3+3，
＝30+3，
＝33（米），
答：第一段绳子长27米，第二段绳子长30米，第三段绳子长33米．
27．（5分）（2009•两岸四地）张师傅做一批零件，第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个，第30天做了78个，正好做完．这批零件共有几个？
【分析】第一天20个，根据“以后每天都比前一天多做2个”，求得第二天是22个，第三天为24个，第30天为78个，设s＝20+22+24+…+76+78 ①，则s＝78+76+74+…+24+22+20 ②，①+②得，2s＝（20+22+24+…+76+78）+（78+76+74+…+24+22+20 ）＝（20+78）+（22+76）+…+（76+22）+（78+20）＝98×30，求得问题的答案．
【解答】解：因为第一天20个，第二天是22个，第三天为24个，••，则第30天为78个，
设s＝20+22+24+…+76+78 ①，
则s＝78+76+74+…+24+22+20 ②，
①+②得，
2s＝（20+22+24+…+76+78）+（78+76+74+…+24+22+20），
＝（20+78）+（22+76）+…+（76+22）+（78+20），
＝98×30，
＝2940，
所以s＝1470．
答：这批零件共有1470个．
28．（5分）（2016•学而思杯）若一个三位数的三个数字a、b、c按从小到大排列后，怡好可组成一个等差数列（公差可以为0），这我们
将这样的三位数叫做“和谐数”，如375，102，…．
（1）100至199之间，有多少个“和谐数”？
（2）总共有多少个“和谐数”？
（3）将所有的“和谐数”排成一列，546排在第几位？
【分析】将公差分类，求出相应的“和谐数”，即可得出结论．
【解答】解：（1）公差为0：111；
公差为1：102，120，123，132；
公差为2：135，153；
公差为3：147，174；
公差为4：159，195，
所以100至199之间，有11个“和谐数”；
（2）公差为0：111，222，…，999；
公差为1，（0，1，2），（1，2，3），…，（7，8，9），共8组，第1组有四种情况，其它组有6种情况，4+7×6＝46个；
公差为2，（0，2，4），（1，3，5），…，（5，7，9），共6组，第1组有四种情况，其它组有6种情况，4+5×6＝34个；
公差为3，（0，3，6），（1，4，7），（2，5，8），（3，6，9），共4组，第1组有四种情况，其它组有6种情况，4+3×6＝22个；
公差为4，（0，4，8），（1，5，9），共2组，第1组有四种情况，其它组有6种情况，4+1×6＝10个；
总共有9+46+34+22+10＝121个“和谐数”；
（3）将所有的“和谐数”排成一列，100～199：11个；
200～299：
公差为0：222；
公差为1：201，210，213，231，234，243；
公差为2：204，240，246，264；
公差为3：258，285，共13个；
300～399：
公差为0：333；
公差为1：312，321，324，342，345，354；
公差为2：315，351，357，375；
公差为3：306，360，369，396，共15个；
400～499：
公差为0：444；
公差为1：423，432，435，453，456，465；
公差为2：402，420，426，462，468，486；
公差为3：417，471；
公差为4：408，480，共17个；
500～599：
公差为0：555；
公差为1：534，543，546，564，567，576；
公差为2：513，531，537，573，579，597；
公差为3：528，582；
公差为4：519，591，共17个；
11+13+15+17+8＝64，
所以546排在第64位．
29．（5分）从一列数1，5，9，13，…，93，97中，任取14个数．证明：其中必有两个数的和等于102．
【分析】首先根据题意可知这列数是一组公差是4等差数列，根据项数＝（末项﹣首项）÷公差+1，求出这组等差数列一共有几项，据此分析解答即可．
【解答】解：（97﹣1）÷4+1＝25（个）
将这25个组分成13组：{1}，{5，97}，{9，93}，{13，89}，…，{45，57}，{49，53}．
在这25个数中任取14个数来，必有二数属于上述13组中的同一组，故这一组二数之和是102．
30．（5分）一个项数是偶数的等差数列，奇数项和偶数项的和分别是240和300．若最后一项超过第一项105，那么，该等差数列有多少项？
【分析】设给出的数列有2n项，由偶数项的和减去奇数项的和等于n倍的公差，再根据最后一项比第一项多105得到一个关于项数和公差的式子，联立后可求项数．
【解答】解：假设数列有2n项，公差为d，
因为奇数项之和与偶数项之和分别是240与300
所以S偶﹣S奇＝300﹣240＝nd，
即nd＝60①．
又因为a2n﹣a1＝105
即a1+（2n﹣1）d﹣a1＝105
所以（2n﹣1）d＝105②．
联立①②得：n＝4．
则这个数列一共有2n项，即8项．
答：该等差数列有8项．
31．（5分）一堆电线杆，共有5层，第一层有8根，下面每层比上层多一根，这堆电线杆一共有多少根？
【分析】根据题意，把第一层的根数看作梯形的上底，最下层的根数看作梯形的下底，层数看作梯形的高，由梯形的面积公式就可以求出结果．
【解答】解：根据题意可得最下面的一层的根数是：8+5﹣1＝12（根），由梯形的面积公式可得：
这垛电线杆的总数为：
（12+8）×5÷2
＝100÷2
＝50（根）；
答：这一堆电线杆共有50根．