河北省衡水中学2017届高三上学期五调（12月）数学（理）试题

数学试卷（理科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ）

A．         B．       C．       D．

【答案】A

【解析】

试题分析：图中阴影部分表示的集合为,故选A.

考点：1.集合的图形表示；2.集合的运算.

2. 已知为虚数单位，图中复平面内的点表示复数，则表示复数的点是（   ）

A．         B．       C．       D．

【答案】D

选D.[来源:学,科,网]

考点：1.复数的几何意义；2.复数的运算.[来源:Zxxk.Com]

3. 如图所示，墙上挂有边长为的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖.假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（   ）

A．        B．       C．        D．与的取值有关

【答案】A

考点：几何概型.

4. 某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出与销售额（单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：

经测算，年广告支出与年销售额满足线性回归方程，则的值为（   ）

A．45         B．50       C.55         D．60

【答案】D

【解析】

试题分析：由表格可知，，所以，所以有

，解得，故选D.

考点：线性回归.

5. 已知焦点在轴上的双曲线的中点是原点，离心率等于 .以双曲线的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的方程为（   ）

A．         B．       C.         D．

【答案】C

考点： 双曲线的标准方程与几何性质.

6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（   ）

A．         B．35       C.         D．

【答案】C

【解析】

试题分析：由三视图可知，该几何体为一个三棱柱去掉两个三棱锥，三棱柱的底面为底与高皆为的等腰三角形，三棱柱的高为，两个三棱锥的底面底与高皆为的等腰三角形，高为，因此几何体的体积为 ，故选C.

考点：1.三视图；2.多面体的表面积与体积.

7. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的为（   ）

（参考数据：,,）

A．12         B．24       C. 36        D．4

【答案】B

考点：1.数学文化；2.程序框图.

8. 如图，周长为1的圆的圆心在轴上，顶点，一动点从开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长，直线与轴交于点，则函数的图象大致为（   ）

A．           B．           C.            D．

【答案】D

【解析】

试题分析：由图象可知，函数，由此知此函数是由的图象向右平移 个单位得到的，由选项可知D正确，故选D.看完

考点：三角函数的图象与性质.

9. 三棱锥的外接球为球，球的直径是，且，都是边长为1的等边三角形，则三棱锥的体积是（   ）

A．         B．       C.         D．

【答案】B

考点：1.球的切接问题；2.棱锥的体积.

10.  在中，角，，的对边分别为，，，且.若的面积，则的最小值为（   ）

A．         B．       C.         D．3

【答案】B

【解析】

试题分析：由及正弦定理得，所以，又因为为三角形内角，，所以，又，即，由余弦定理可得[来源:学.科.网Z.X.X.K]

，当且仅当时等号成立，解此不等式得，即的最小值为，故选B.

考点：1.正弦定理与余弦定理；2.基本不等式.

【名师点睛】本题综合考查解三角形与基本不等式，属中档题；利用正弦定理可以求解一下两类问题：（1）已知三角形的两角和任意一边，求三角形其他两边与角；（2）已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形其他边与角．利用余弦定理主要解决已知两边及夹角求其它元素问题.

11. 已知直线与函数的图象恰好有3个不同的公共点，则实数的取值范围是（   ）

A．         B．       C.         D．

【答案】B

考点：函数与方程.

【名师点睛】本题考查函数与方程，属中档题；已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．

12. 已知直线分别与函数和交于两点，则之间的最短距离是（   ）

A．        B．       C.          D．

【答案】D

考点：导数与函数的单调性、极值、最值.

【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、极值、最值，属难题；利用导数求函数的最值是每年高考的重点内容，求函数在闭区间上的最值，先研究函数的单调性，若函数在该区间上单调，则两端点的值即为最值，若在区间上有极值，比较极值与两端点的值即可求其最值.

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 若的展开式中含有常数项，则的最小值等于________.

【答案】

考点：二项式定理.

14. 已知抛物线方程为，焦点为，是坐标原点，是抛物线上的一点，与轴正方向的夹角为，若的面积为，则的值为__________.

【答案】

【解析】

试题分析：抛物线的焦点为，准线为，设，则，又因为 ，，所以，所以，，代入得，解之得或，又当时，与轴正方向的夹角为，不符合题意，所以.[来源:ZXXK]

考点：抛物线的标准方程及几何性质.

15. 在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为__________.

【答案】

【解析】

试题分析：甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生,①当有两所医院二人，一所医院一人时总数为种，其中有甲、乙二人或丙、丁二人在同一组的有种；②有两所医院分1 人另一所学校分三人有.故满足条件的公法共有种方法.

考点：1.两个计数原理；2.排列与组合.

【名师点睛】本题考查两个计数原理与排列与组合，属中档题；涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．

16. 若不等式组，所表示的平面区域存在点，使成立，则实数的取值范围是___________.

【答案】

考点：线性规划.

【名师点睛】本题考查线性规划问题，属中档题；线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．本题则是考查二元一次不等式的几何意义，在直线一侧的点的坐标适合同一个不等式.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. （本小题满分12分）

设数列的前项和为，,且为等差数列的前三项.

（1）求数列,的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】(1) ；(2) .

考点：1.与的关系；2.等差数列、等比数列的定义与性质；3.错位相减法求数列的和.

【名师点睛】本题考查与的关系、等差数列、等比数列的定义与性质及错位相减法求数列的和，属中档题；解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．

18. （本小题满分12分）

某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士-12369”的绿色环保活动小组对2015年1月～2015年12月（一年）内空气质量指数进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天统计结果：

（1）若该市某企业每天由空气污染造成的经济损失（单位：元）与空气质量指数（记为）的关系为：，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失元的概率；

（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？

下面临界值表供参考：

参考公式：，其中.

【答案】（1）；（2）列联表见解析,有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.

（Ⅱ）根据以上数据得到如表：

…………8分

的观测值.

有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.…………………………12分

考点：1.古典概型；2.独立性检验.

【名师点睛】本题考查古典概型与独立性检验，属中档题；独立性检验是一种统计案例，是高考命题的热点，高考命题角度主要有：1.已知分类变量数据，判断两类变量的相关性；2.已知某些数据，求分类变量的部分数据；3.求的观察值或已知观察值，判断命题的正确性.

19. （本小题满分12分）

已知在三棱柱中，侧面为正方形，延长到，使得，平面平面，，.

（1）若分别为，的中点，求证：平面；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

【答案】(1)见解析；(2) .

【解析】

（2）连接，在中，

，

所以由余弦定理得是等腰直角三角形，，

又因为平面平面，平面平面平面，平面，，…………7分

又因为侧面，为正方形，，分别以所在直线作为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，

，………………8分

设平面的一个法向量为，则，即，令，则

，

故为平面的一个法向量，

所以，

平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

考点：1.线面平行、面面平行的判定与性质；2. 线面垂直、面面垂直的判定与性质；3.空间向量的应用.

20. （本小题满分12分）

已知椭圆，圆的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作互相垂直的两条直线，且交椭圆于两点，直线交圆于两点，且为的中点，求面积的取值范围.

【答案】(1) ；(2) .

考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.

21. （本小题满分12分）

已知函数，且曲线与轴切于原点.

（1）求实数的值；

（2）若恒成立，求的值.

【答案】(1)；(2).

【解析】

（2）不等式，

整理得，

即或，…………6分

令.

当时，；当时，，

在单调递减，在单调递增，，

即，所以在上单调递增，而；

故.

当或时，；同理可得，当时，.

当恒成立可得，当或时，，

当时，，故和是方程的两根，

从而.…………12分

考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性、极值；3.函数与方程、不等式.

请考生在22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. （本小题满分10分）选修4-1：坐标系与参数方程

已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.

（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）设曲线经过伸缩变换得到曲线，设为曲线上任一点，求的最小值，并求相应点的坐标.

【答案】（1）直线的普通方程,曲线的普通方程为；（2）最小值为，相应的点为或.

∴当，即或，上式取最小值.

即当或，的最小值为.

【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.极坐标与直角坐标的互化；3.大陆架参数方程的应用.

23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知实数，，函数的最大值为3.

（1）求的值；

（2）设函数，若对于均有，求的取值范围.

【答案】(1) ；(2) .[来源:学§科§网]

【考点】1.绝对值不等式的性质；2.函数与不等式.