2023年广东省深圳市高级中学10校联考中考模拟数学试卷

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2023年初三年级质量检测
数学（5月）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 在0，，，四个数中，最小的是（ ）
A 0 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：根据题意可得：
，
在0，，，四个数中，最小的是，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2. 下图是同学们生活中常见的品牌LOGO，其中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可，轴对称图形的定义：如果将一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形.
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B.
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，属于应知应会题型，熟知轴对称图形的定义是关键.
3. “五一”长假期间，淄博烧烤火爆出圈，根据淄博旅游局之前统计，预计将接待800万游客，请将800万用科学记数法可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数．
【详解】解：根据题意可得：
800万，
故选：D．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
4. 如图是5个大小相同的正方体搭成的几何体，把小正方体B放到小正方体A的正前方，则它的（ ）

A. 主视图与俯视图一样 B. 主视图与左视图一样
C. 左视图与俯视图一样 D. 三种视图都一样
【答案】B
【解析】
【分析】根据三视图的定义判断即可．
【详解】把小正方体B放到小正方体A的正前方，则三视图为

所以主视图与左视图一样．
故选：B
【点睛】本题考查小正方体的组合体的三视图，掌握三视图的概念是解题的关键．
5. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】按照单项式与单项式的乘除法则、积的乘方、完全平方公式计算即可作出判断．
【详解】解：A、，故计算错误，不符合题意；
B、，故计算错误，不符合题意；
C、，故计算正确，符合题意；
D、，故计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了积的乘方，单项式与单项式的乘除运算，完全平方公式，熟悉这些知识是关键．
6. 每年的4月7日是世界健康日，强调健康对于劳动创造和幸福生活的重要性，而血糖值（单位：）对于治疗疾病和观察疾病都有指导意义．某人在每天的早晨空腹自测血糖值，并将一周的数据绘制成如图所示的折线统计图，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）

A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据中位数和众数的定义进行解答即可．
【详解】解：把统计图中的7个数按从大到小排列得：
4.0、4.3、4.3、4.7、5.3、5.9、6.0，
∴中位数为，
∵4.3出现得次数最多，
∴众数为，
故选：D．
【点睛】本题考查中位数和众数的定义，熟练掌握数据的个数是奇数，则处于中间位置的数是这组数据的中位数；数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数是解题的关键．
7. 如图，四边形中，其中，下列尺规作图不能得到等腰的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由可得，由作图痕迹可知：是的平分线，可得，从而得到，即可判断A；由作图痕迹可知：，即可判断B；由作图痕迹可知：是的角平分线，是的垂直平分线，则可得到，从而得到，再由，得到，进而得到，即可判断C；由作图痕迹可知：点是的垂直平分线与的交点，即点是的中点，即可判断D．
【详解】解：A.，
，
由作图痕迹可知：是的平分线，
，
，
，
为等腰三角形，故A正确，不符合题意；
B.由作图痕迹可知：，
为等腰三角形，故B正确，不符合题意；
C.设交于，
，
由作图痕迹可知：是的角平分线，是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为等腰三角形，故C正确，不符合题意；
D.由作图痕迹可知：点是的垂直平分线与的交点，即点是的中点，
不能得出，
为不一定为等腰三角形，故D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、平行线的性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握角平分线的性质、平行线的性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定，是解题的关键．
8. 程大位的《算法统宗》是我国古代数学名著，其中有一道这样的题目“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．问房客各几何？”题目大意是：一些客人到李三公的店中住宿，若每间房里住7人，就会有7人没地方住；若每间房住9人，则空出一间房．问有多少房间，多少客人？如果设房间有间，客人人，由题意可列方程组（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据：每间房里住7人，就会有7人没地方住；若每间房住9人，则空出一间房，即可求解．
【详解】解：设房间有间，客人人，
由题意可列方程组为：，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
9. 如图，为的外接圆，与相切于点B，连接并延长，交于点D．若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，根据切线的性质可得，从而得到，进而得到，再由圆周角定理，即可求解．
【详解】解：如图，连接，

∵与相切于点B，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：D
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键．
10. 如图，正方形中，是中点，连接，，作交于，交于，交于，延长交延长线于，则的值为（ ）

A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方形的性质可证得，推出，证明，得出，证明，得出，设，则，求出，进而可得答案.
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
则，
∴，
∴；
故选：C.
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质是解题的关键.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：根据题意，得，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件．
12. 如图所示的电路中，当随机闭合开关中的两个时，能够让灯泡发光的概率为_________．

【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得：随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，有3种方法，其中有两种能够让灯泡发光，故其概率为．
【详解】解：因为随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，有3种方法，
分别为：；；；
其中有2种能够让灯泡发光，分别是；；
所以P（灯泡发光）=．
故本题答案为：．
【点睛】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
13. 20世纪70年代，数学家罗杰·彭罗斯使用两种不同的菱形，完成了非周期性密铺，如下图，使用了，两种菱形进行了密铺，则菱形的锐角的度数为______ °．

【答案】36
【解析】
【分析】如图，设菱形B的锐角为x，菱形A的锐角和钝角分别为y、z，根据密铺的图案中一个顶点处的周角为列出方程组，解答即可．
【详解】解：如图，设菱形B的锐角为x，菱形A的锐角和钝角分别为y、z，根据题意，得
，解得，
故答案为：36．

【点睛】本题常考了密铺问题，涉及了菱形的性质、多边形的内角和、三元一次方程组等知识，正确理解题意、得出方程组是解题的关键．
14. 如图，已知点，，为坐标原点，点关于直线的对称点恰好落在反比例函数的图象上，则______．

【答案】
【解析】
【分析】作轴于点，连接，得到，由点关于直线的对称点为点，得到，由，得到，由，可设，根据，可求出的值，从而得到点的坐标，即可求解．
【详解】解：作轴于点，连接，如图所示，

点，，
，
，
点关于直线的对称点为点，
，
，
即，
，
，
，
，
，
设，
，
，
解得：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质、对称的性质、正切的定义、勾股定理，熟练掌握反比例函数的图象与性质、对称的性质、正切的定义，添加适当的辅助线是解题的关键．
15. 如图，已知中，，点为上一动点，，连接，．与交于点，，，，若，则______．

【答案】
【解析】
【分析】延长，过点E作，交延长线于点G，连接，可证明，有，；再证明四边形为平行四边形，，
；由勾股定理可求得的长，从而可求得的长，最后由勾股定理即可求得结果．
【详解】解：延长，过点E作，交延长线于点G，连接，如图，
则，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，；
由勾股定理得：；
在中，由勾股定理得；
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：,
故答案为：．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，构造一线三垂直辅助线，证明三角形全等是解题的关键．
三、解答题（本题共7小题，共55分）
16. 化简：
【答案】1
【解析】
【分析】根据分式混合运算法则解答即可.
【详解】解：


.
【点睛】本题考查了分式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握分式混合运算的法则、准确计算是解题的关键.
17. 为提高学生身体素质，初中生每天参加体育锻炼的时间应不少于1小时，某校为了解该校学生平均每周（7天）体育锻炼时间，从该校学生中随机抽取若干名学生平均每周体育锻炼时间进行调查，并根据调查结果将学生平均每周的体育锻炼时间（小时）分为五组：①；②；③；④；⑤共五种情况．最后将调查结果用频数分布直方图和扇形统计图描述如下：

根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是______人；
（2）⑤在扇形统计图中对应的圆心角度数是______°，并补全频数分布直方图；
（3）该校有学生3000名，估计该校平均每天运动达1小时的人数为______；
（4）请对该校学生体育锻炼时间情况作出评价，并提出一条合理化建议．
【答案】（1）500 （2）90，详见解析
（3）1350人 （4）达到每天1小时以上的不足50%，学校需要加强体育锻炼时间的安排
【解析】
【分析】（1）由第③组的人数和所占的百分比进行计算，即可得到答案；
（2）用第⑤组的人数除以本次测试的总人数得到所占百分比，再乘以即可得到答案，先算出第④组的人数，再补全条形统计图即可；
（3）先找出平均每天运动1小时及以上的学生人数分布在④、⑤这两组，计算出占被调查人数的百分比，从而即可得到答案；
（4）根据实际情况，提出合理的建议即可．
【小问1详解】
解：由图可得：
本次抽样测试的学生人数是：（人），
故答案为：200；
【小问2详解】
解：由图可得：
⑤在扇形统计图中对应的圆心角度数是：，
第④组的人数为：（人），
补全条形统计图如图所示：

故答案为：90；
【小问3详解】
解：平均每天运动1小时及以上的学生人数分布在④、⑤这两组，
占被调查人数的百分比为：
，
所以该校平均每天运动达1小时的人数为：（人），
故答案为：1350人；
【小问4详解】
解：达到每天1小时以上的不足50%，学校需要加强体育锻炼时间的安排．
【点睛】本题主要考查的是频数分布直方图和扇形统计图的知识，读懂频数分布直方图和利用统计图获取信息是解题的关键．
18. 如图所示，无人机在生活中的使用越来越广泛，小明用无人机测量大楼的高度．无人机悬停在空中处，测得楼楼顶的俯角是，楼的楼顶的俯角是，已知两楼间的距离米，楼的高为10米，从楼的处测得楼的处的仰角是．（、、、、在同一平面内）．

（1）求楼的高；
（2）小明发现无人机电量不足，仅能维持60秒的飞行时间，为了避免无人机掉落砸伤人，站在点的小明马上控制无人机从处匀速以5米/秒的速度沿方向返航，无人机能安全返航吗？
【答案】（1）110m
（2）无人机能安全返航
【解析】
【分析】（1）过点A做，交于点F，则m，然后解直角三角形即可求出的长，进一步即可求出结果；
（2）根据图中的角度转换可得到，然后计算出无人机返回时可飞行的路程，比较即可得出结论．
【小问1详解】
如图所示，

过点A做，交于点F，
∴m
在中， ∵，
∴ m，m，
∴m，
答：楼高110m；
【小问2详解】
依题意可知，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴m，
无人机可飞行距离：m
∵
∴ 无人机能安全返航
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握锐角三角函数的知识是解题的关键．
19. 在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用6天．
(1)求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化；
(2)若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？
【答案】(1)甲、乙两工程队每天能完成绿化面积分别是、；(2)至少应安排乙工程队绿化32天．
【解析】
【分析】(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是，根据题意列出方程：，解方程即可；
(2)设甲工程队施工天，乙工程队施工天刚好完成绿化任务，由题意得：，则，根据题意得出不等式求解即可．
【详解】解：(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是，
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是、；
(2)设甲工程队施工天，乙工程队施工天刚好完成绿化任务，
由题意得：，则，
根据题意得：，
解得：，
答：至少应安排乙工程队绿化32天．
【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
20. 如图，在中，对角线与相交于点，点，在上，且，连接，，，．

（1）小明添加了一个条件，则可证明四边形是矩形，请帮他完成证明．
（2）在（1）条件下，且，，求的面积．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，结合可判断四边形为平行四边形，再由得出，可得结论；
（2）如图所示，过点D作的垂线，交于点H，解直角三角形求出，再根据求解即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
【小问2详解】
如图所示，过点D作的垂线，交于点H
在中，，
∴，
又∵，
∴

【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定、矩形的判定以及解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质是解题的关键．
21. 【定义】
定义1：在平面直角坐标系中，过一点作某一直线的垂线，这个点与垂足之间的线段长，称为这个点到这条直线的垂直距离．
定义2：在平面直角坐标系中，过一点作轴的平行线，与某一直线交于一点，两点之间连线的长度称为这个点到直线的竖直距离．
例如，如图1，过点作交于点，线段的长度称为点到的垂直距离，过作平行于轴交于点，的长就是点到的竖直距离．

【探索】
当与轴平行时，，
当与轴不平行，且直线确定的时候，点到直线的垂直距离与点到直线的竖直距离存在一定的数量关系，当直线为时，______．
【应用】
如图2所示，公园有一斜坡草坪，其倾斜角为30°，该斜坡上有一棵小树（垂直于水平面），树高，现给该草坪洒水，已知小树的底端点与喷水口点的距离，建立如图3所示的平面直角坐标系，在喷水过程中，水运行的路线是抛物线，且恰好经过小树的顶端点，最远处落在草坪的处，

（1）______．
（2）如图3，现决定在山上种另一棵树（垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了加固树，沿斜坡垂直的方向加一根支架，则的最大值是多少？

【拓展】
（3）如图4，原有斜坡不变，通过改造喷水枪，使得喷出的水的路径近似可以看成圆弧，此时，圆弧与轴相切，若此时，如图，种植一棵树（垂直于水平面），为了保证灌溉，最高应为多少？

【答案】【探索】；
【应用】（1）；（2）的最大值为；
【拓展】（3）
【解析】
【探索】：延长交x轴于D，设直线交x轴于点E，设，则可得点D的坐标，从而得，由直线解析式可求得点E的坐标，则可得，由可得的关系，由勾股定理即可求得的关系；
【应用】（1）延长交x轴于点F，则可求得点B的坐标，把此点坐标代入抛物线解析式中即可求得b的值；
（2）由（1）可得点A的坐标，则可求得直线的解析式，设设， ，可求得的表达式及其最大值，再由即可求得的最大值；
【拓展】（3）取中点G，作交x轴于点H，则H为圆心，延长交圆弧于点N， 过N作平行于y轴交于点M，此时即为最大；在中可求得其三边的长，则可求得，在含的直角中，即可求得．
【详解】【探索】
解：如图，延长交x轴于D，设直线交x轴于点E，则，
设，由轴，则，
∴，；
令，得，即，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
即，
由勾股定理即可求得，
∴；

故答案为：；
【应用】
解：（1）如图，延长交x轴于点F，则轴，
由题意知：，由勾股定理得：，
∴，，
由于点B在抛物线，
∴，
∴；

故答案为：；
（2）由（1）知：,设直线的解析式为，则，
∴，
即直线的解析式为；
由于点M在直线，点N在抛物线上，且轴，
故设， ，
，
即的最大值为，
∵
∴；
即的最大值为；
【拓展】
（3）解：如图所示，取中点G，作交x轴于点H，
则H为圆心，延长交圆弧于点N，
过N作平行于y轴交于点M，此时即为最大，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
即最高应为．
【点睛】本题是函数与几何的综合，考查了一次函数与二次函数的图象与性质，垂径定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，综合运用这些知识是解题的关键．
22. 问题背景：
（1）如图1，点是内一点，且，连接，，求证：．

（2）如图2，点是线段垂直平分线上位于上方的一动点，是位于上方的等腰直角三角形，且，则，

① ______1（填一个合适的不等号）；
②的最大值为______，此时 ______°．
问题组合与迁移：
（3）如图3，是等腰底边上的高，点是上的一动点，位于的上方，且，若，求的最小值．

【答案】（1）详见解析；（2）①；②，；（3）最小值为
【解析】
【分析】（1）由，得到，，再由得到，从而即可退出；
（2）①连接，由点是线段垂直平分线上位于上方的一动点，，从而得到，根据三角形三边关系可得，从而即可得到答案；②由题意可得，从而得到，当点在上时，此时最大，为，此时也最大，为，最后根据垂直平分线的性质以及等腰直角三角形的性质即可求得角度；
（3）连接，由等腰三角形的性质可得，再由得到，同（1）可证，得到，即，最后由三角形的三边关系可得不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】解：（1），
，，
，
，
；
（2） ①连接，如图所示，
，
点是线段垂直平分线上位于上方的一动点，
，
，
，
，
故答案为：；
②由①得，，
，
，
，
当点在上时，此时最大，为，此时也最大，为，如图所示，
，
点是线段垂直平分线上位于上方的一动点，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故答案为：，；
（3） 连接，如图所示，
，
是等腰底边上的高，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
得：，
，
，
，
，
，
最小值为．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形的三边关系、等腰直角三角形的性质、垂直平分线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质、三角形的三边关系、等腰直角三角形的性质、垂直平分线的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．