江苏省南京师范大学附属实验学校2022-2023高一下学期5月月考数学试卷

2022-2023南京师范大学附属实验学校高一第二学期5月月考卷

一．选择题（共8小题，每题5分，共40分）

1．　　

A． B． C． D．

2．设复数满足，则　　

A． B． C． D．

3．在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则　　

A．5 B． C．4 D．3

4．若，，，则的值为　　

A． B．2 C． D．

5．已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为　　

A． B． C． D．

6．在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的大小为　　

A． B． C． D．

7．在空间中，、、是三条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是　　

A．若，，则 B．若，，则 

C．若，，，则 D．若，，则

8．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为　　

A． B． C． D．

二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）

9．下列说法正确的是　　

A．圆柱的所有母线长都相等 

B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 

C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 

D．棱台的侧棱延长后必交于一点

10．下列各式中，值为的是　　

A． 

B． 

C． 

D．

11．下列命题正确的是　　

A． 

B．已知向量与的夹角是钝角，则的取值范围是 

C．向量，能作为平面内所有向量的一组基底 

D．若，则在上的投影向量为

12．如图，已知正方体中，，分别是，的中点，则下列判断正确的是　　

A． B．平面 

C．平面 D．

三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）

13．平面向量与的夹角为，，，则　　．

14．如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正切值为　　．

15．设平面平面，，，，，直线与交于点，且点位于平面，之间，，，，则　　．

16．已知，则的值是　 　．

四．解答题（共6小题，共70分）

17．为何实数时，复数是：

（1）实数；

（2）虚数；

（3）纯虚数．

18．在中，角、、的对边分别为，，，已知．

（1）求角；

（2）若，，求的值．

19．已知向量，的夹角为，且，，

（1）求上的投影；

（2）求．

20．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，是的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：面面．

21．如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）设，求点到面的距离．

22．如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，点是的中点．

（1）证明：直线平面；

（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积．

2022-2023南京师范大学附属实验学校高一第二学期5月月考卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．　　

A． B． C． D．

【解答】解：．

故选：．

2．设复数满足，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：由，得，

．

故选：．

3．在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则　　

A．5 B． C．4 D．3

【解答】解：在中，角，，的对边分别是，，，若，，，

则，

解得．

故选：．

4．若，，，则的值为　　

A． B．2 C． D．

【解答】解：，，

，，

，

，

解得．

故选：．

5．已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为　　

A． B． C． D．

【解答】解：三角形在其直观图中对应一个边长为2正三角形，

直观图的面积是，

由斜二测画法中直观图和原图的面积的关系，

直观图的面积为，

故选：．

6．在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的大小为　　

A． B． C． D．

【解答】解：如下图所示，连接，，，

，，，

则异面直线与所成角为，

，即△为等边三角形，

．

故选：．

7．在空间中，、、是三条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是　　

A．若，，则 B．若，，则 

C．若，，，则 D．若，，则

【解答】解：对于选项：若，，则和可能是异面直线，故错误．

对于选项：若，，则和不能判定有垂直和平行的关系，故错误．

对于选项：若，，，则和可能异面，故错误．

对于选项：若，，则，正确．

故选：．

8．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由正八面体的性质，每个面均为等边三角形，

在一个顶点外的四个角均为，故一个顶点的曲率等于，

故正八面体的总曲率等于．

故选：．

二．多选题（共4小题）

9．下列说法正确的是　　

A．圆柱的所有母线长都相等 

B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 

C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 

D．棱台的侧棱延长后必交于一点

【解答】解：对于，由圆柱的结构特征可知，圆柱的所有母线长都相等，故正确；

对于，由棱柱的结构特征可知，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故正确；

对于，底面是正多边形，且侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥，故错误；

对于，由棱台的定义可知，棱台的侧棱延长后必交于一点，故正确．

故选：．

10．下列各式中，值为的是　　

A． 

B． 

C． 

D．

【解答】解：．，满足条件．

，满足条件，

，满足条件，

，不满足条件．

故选：．

11．下列命题正确的是　　

A． 

B．已知向量与的夹角是钝角，则的取值范围是 

C．向量，能作为平面内所有向量的一组基底 

D．若，则在上的投影向量为

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，，正确；

对于，向量与的夹角是钝角，则且，解可得且，即的取值范围为且，错误；

对于，向量，满足，两个向量共线，不能作为平面内所有向量的一组基底，错误；

对于，若，即与方向相同或相反，则在上的投影向量为，正确．

故选：．

12．如图，已知正方体中，，分别是，的中点，则下列判断正确的是　　

A． B．平面 

C．平面 D．

【解答】解：在正方体中，，分别是，的中点，

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

设正方体中棱长为2，

则，2，，，1，，，2，，，2，，

，，，，0，，

，，故正确；

，0，，，2，，

，，

，平面，故正确；

平面的法向量，0，，

，又平面，平面，故正确；

，0，，，2，，，2，，

与不平行，故错误．

故选：．

三．填空题（共4小题）

13．平面向量与的夹角为，，，则　　．

【解答】解：由，

则，

又，向量与的夹角为，

则，

则，

故答案为：．

14．如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正切值为　　．

【解答】解：过作，交于，连接．

，

，而平面

平面，

是直线与平面所成的角（4分）

由题意，得．

（8分）

，．（10分）

故答案为．

15．设平面平面，，，，，直线与交于点，且点位于平面，之间，，，，则　9　．

【解答】解：根据题意做出如下图形：

，交于点

三点确定一平面，所以设平面为，于是有交于，交于，

，平行

，，

．

故答案为：9．

16．已知，则的值是　　．

【解答】解：

，

则，

故答案为：．

四．解答题（共6小题）

17．为何实数时，复数是：

（1）实数；

（2）虚数；

（3）纯虚数．

【解答】解：复数，

（1）实数；可得，解得或2．

（2）虚数；可得，解得且．

（3）纯虚数可得：并且，解得．

18．在中，角、、的对边分别为，，，已知．

（1）求角；

（2）若，，求的值．

【解答】解：（1）在中，由，以及正弦定理可得：，

，

，

，

，

可得．

（2），

，

，，

，

在中，由正弦定理，可得，

解得．

19．已知向量，的夹角为，且，，

（1）求上的投影；

（2）求．

【解答】解：（1）向量，的夹角为，且，

上的投影为

（2）向量，的夹角为，且，，

，

则

20．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，是的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：面面．

【解答】（Ⅰ）证明：连结交于点，则是的中点．（2分）

连结，是的中点，．（4分）

面，面，

面．（6分）

（Ⅱ）解：，是的中点，．

面，，

面，（8分）

就是二面角的平面角，即．（9分）

面，面面．

21．如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）设，求点到面的距离．

【解答】（Ⅰ）证明：因为，，

由余弦定理得．（1分）

从而，，（3分）

又由底面，面，可得．（4分）

所以平面．故．（6分）

（Ⅱ）解：作，垂足为．

已知底面，则，

由（Ⅰ）知，又，所以．

故平面，．

则平面．（8分）

由题设知，，则，，（10分）

根据，得，

即点到面的距离为．（12分）

22．如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，点是的中点．

（1）证明：直线平面；

（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积．

【解答】（1）证明：平面，平面，，

，有，且是直角梯形，

，即，，

，平面，

平面．

（2）解：由（1）知平面，即为直线与平面所成角，

，，则，