2022-2023学年宁夏青铜峡市宁朔中学高二下学期期中考试数学(理)试题含解析
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这是一份2022-2023学年宁夏青铜峡市宁朔中学高二下学期期中考试数学(理)试题含解析,共14页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年宁夏青铜峡市宁朔中学高二下学期期中考试数学(理)试题 一、单选题1.某种产品的广告费用(单位:万元)与销售额(单位:万元)之间的关系如下表,若与的回归直线方程为,则( )1345768121014 A.4.1 B.4.7 C.4.8 D.6.8【答案】C【分析】根据回归方程必过样本中心点,结合平均数运算求解.【详解】由题意可得:(万元),(万元),将代入可得:,解得.故选:C.2.下列求导数运算中正确的是( )A. B.C. D.【答案】B【分析】根据求导法则依次计算得到答案.【详解】对选项A:,错误;对选项B:,正确;对选项C:,错误;对选项D:,错误.故选:B3.若曲线在点(0,)处的切线方程为,则( )A., B.,C., D.,【答案】D【分析】由可知切线的斜率为,所以切线方程为,又切线方程为,比较系数可得a,b的值.【详解】因为,切点为(0,),所以切线的斜率为,则切线方程为,即,又切线方程为,即,所以,.故选:D4.数据的平均数是,标准差为,则数据的平均数及方差为( )A. B.C. D.【答案】C【分析】直接利用平均数、标准差和方差的公式求解.【详解】因为的平均数是,标准差为,所以,,所以数据的平均数为:,数据的方差为:.故选:C.5.已知函数在上可导且满足,则下列不等式一定成立的为( )A. B.C. D.【答案】C【分析】构造函数,讨论其单调性即可求解.【详解】构造函数,在时恒成立,所以在时单调递增,所以,即,所以,故选:C.6.若函数有三个单调区间,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【分析】由有两个不相等的实数根求得的取值范围.【详解】,由于函数有三个单调区间,∴有两个不相等的实数根,∴.故选:C.7.已知函数,则( )A. B. C. D.【答案】C【分析】先对函数求导,然后令,求出的值,从而可得的关系,进而可求出的值【详解】,所以,所以,所以,所以.故选:C.8.在区间中随机取一个数,则取到的数的绝对值小于的概率为( )A. B. C. D.【答案】C【分析】根据几何概型知识即可得答案.【详解】解:设取到的数为,则有,所以,由几何概型知识可知,取到的数的绝对值小于的概率为.故选:C.9.函数的单调递增区间是( )A. B. C.和 D.(-3,1)【答案】D【详解】∵函数f(x)=(3-x2)ex,∴f′(x)=-2xex+(3-x2)ex=(3-2x-x2)ex.由f′(x)>0,得到f′(x)=(3-2x-x2)ex>0,即3-2x-x2>0,则x2+2x-3<0,解得-3<x<1,即函数的单调增区间为(-3,1).本题选择D选项.10.执行如图所示的程序框图,输出的( )A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【分析】逐次执行程序计算,直到满足结束.【详解】第1次循环:时,,不成立,第2次循环:时,,不成立,第3次循环:时,,不成立,第4次循环:时,,不成立,第5次循环:时,,不成立,第6次循环:时,,不成立,第7次循环:时,,此时满足,退出循环,输出,故选:C11.已知函数,若函数有个零点,则实数的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】D【分析】利用导数可求得单调性和最值,由此可得图象,根据函数零点个数可直接构造不等式求得结果.【详解】定义域为,,当时,;当时,;在上单调递减,在上单调递增;,可得图象如下图所示,有个零点,,解得:,即实数的取值范围为.故选:D.12.已知定义在上的可导函数的导函数为,满足,且,则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】B【详解】依据题设构造函数,则,因,故,则函数在上单调递减,又原不等式可化为且,故,则,应选B.点睛:解答本题的关键是能观察和构造出函数,然后运用导数中的求导法则进行求导,进而借助题设条件进行判断其单调性,从而将已知不等式进行等价转化和化归,最后借助函数的单调性使得不等式获解. 二、填空题13.已知函数在上的最大值为2,则_________.【答案】1【分析】先求导可知原函数在上单调递增,求出参数后即可求出.【详解】解:在上在上单调递增,且当取得最大值,可知故答案为:114.今年春季流感爆发期间,某医院准备将2名医生和4名护士分配到两所学校,给学校老师和学生接种流感疫苗.若每所学校分配1名医生和2名护士,则不同的分配方法数为______.【答案】12【分析】先利用组合知识选出一个小组,剩下的一组就确定了,然后利用分步乘法原理即可求解.【详解】从2位医生中选1人,从4位护士中选2人,分到第一所学校,有=12种方法,剩下的1位医生和剩下的2位护士只能分到第二所学校,只有1种方法,根据分步计数原理得不同的分配方法共有×1=12种.故答案为:12.15.若,若,则____________.【答案】3【分析】根据公式可求定积分,从而可求.【详解】由题意知,所以,解得.故答案为:3.16.若过点有3条直线与函数的图象相切,则的取值范围是__________.【答案】【分析】设切点坐标为,利用导数的几何意义求得切线方程,进而将有3条切线转化为方程有三个不等实数根,再转化为函数的图像有三个交点问题,利用导数作出的图象,数形结合,即可求得答案.【详解】由题意可得,设切点坐标为,则切线斜率,所以切线方程为,将代入得.因为存在三条切线,即方程有三个不等实数根,则方程有三个不等实数根等价于函数的图像有三个交点,设,则,当时,单调递增;在和上,单调递减,,当或时,,画出的图象如图,要使函数的图像有三个交点,需,即,即的取值范围是,故答案为:【点睛】方法点睛:利用导数的几何意义表示出切线方程,根据切线条数可得有三个不等实数根,解答此类问题常用方法是转化为函数图象的交点问题,利用导数判断函数单调性或求得极值,进而作出图像,数形结合,解决问题. 三、解答题17.已知函数在处取得极值2.(1)求a,b的值:(2)求函数在上的最值.【答案】(1)的值为,的值为2;(2)最小值为2,最大值为. 【分析】(1)利用极值的定义列方程求解;(2)利用导数讨论函数在的单调性,结合极值和区间端点处的函数值即可求最值.【详解】(1),,在处取得极值2,且,即,解得,此时,由,可得,在上单调递减,由,可得, 在上单调递增,所以在处取得极值,符合题意,所以的值为,的值为2;(2)由(1)有,,由,可得,在上单调递减,由,可得, 在上单调递增,时,在上单调递减,在上单调递增,因此在处取得极小值,即为最小值,,,,,在处取得最大值,综上所述,在上的最小值为2,最大值为.18.已知函数在处取得极值.(1)求实数的值;(2)若关于的方程在区间只有两解,求实数的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】(1)对函数求导并,由此解得(2)研究函数在区间单调性,结合端点值,确定实数的取值范围即可.【详解】(1)由题意知:,解得:(2)由(1)知,,,当函数单调递增;当函数单调递减;所以当时,在区间只有两解,故实数的取值范围为.19.某电视台为宣传本省,随机对本省内15~65岁的人群抽取了n人,回答问题“本省内著名旅游景点有哪些”统计结果如图表所示. 组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组[15,25)a0. 5第2组[25,35)18x第3组[35,45)b0. 9第4组[45,55)90. 36第5组[55,65]3y(1)分别求出a、b、x、y的值;(2)从第2、3、4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,求第2、3、4组每组各抽取多少人?【答案】(1);(2)2人,3人,1人【详解】试题分析:(1)先求出第4组的人数为,结合直方图求出样本容量,进而其他量;(2)分层抽样就是要满足比例关系,所以由各组的比例关系求出抽取人数.试题解析:(1)由频率表中第4组数据可知,第4组总人数为,再结合频率分布直方图可知,∴,,,.(2)第2、3、4组回答正确的共有54人.∴利用分层抽样在54人中抽取6人,每组分别抽取的人数为:第2组:×6=2(人);第3组:×6=3(人);第4组:×6=1(人).点睛:首先直方图体现出样本个体与样本总量的频率关系,所以本题由第四组数据可以先求出第四组样本容量,进而根据直方图求出样本总量及每组的样本容量;然后分层抽样主要体现出样本分层抽取满足比例关系,进而求出每层抽取的样本数量.20.某中学学生会为了激发学生们对中国古典文学的爱好,提升古典文学素养,在暑假开学返校后的第一个月组织了一个古典文学研究协会,在接下来的四个月内,该协会的会员人数如表: 月份第一个月第二个月第三个月第四个月第五个月会员人数(1)求会员人数与时间变量记第一个月为,第二个月为,,以此类推的线性回归方程;(2)根据(1)中所求的线性回归方程,预测个月后,会员人数能否突破人.参考公式:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为;.【答案】(1)(2)不能突破人 【分析】由题意求出,,,,代入公式求值,从而得到回归直线方程;代入即可求出的值,即可作出判断.【详解】(1)由题意可得,,,,,,,;(2)根据中所求的线性回归方程,将代入该回归方程中,得,即预测个月后,会员人数不能突破人.21.某校在高三年级学生一次数学考试后,对90分以上(含90分)的成绩进行统计,其频率分布直方图如图所示,若130~140分数段的人数为2人.(1)请估计一下这组数据的平均数;(2)现根据考试成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组)中任意选出两人,形成“帮扶学习小组”.若选出的两人成绩之差大于20,则称这两人为“黄金搭档组”,试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率.【答案】(1)(分)(2) 【分析】(1)根据频率分布直方图可知,各个小组的频率,再根据平均数的求法即可解出这组数据的平均数.(2)本题是一个等可能事件的概率,可以列举出从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法,满足条件的事件是两人成绩之差大于20,则两人分别来自于第一组和第五组,共有8种选法,根据等可能事件的概率公式得到结果.【详解】(1)(分).(2)设90~140之间的人数是,由130~140数段的人数为2人,可知,解得.第一组共有人,记作、、、;第五组共有2人,记作、从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法:,、,、,、,、,、,;,、,、,、,;,、,、,、,;,.共有15种结果,设事件:选出的两人为“黄金搭档组”.若两人成绩之差大于20,则两人分别来自于第一组和第五组,共有8种选法,故(A).22.已知函数.(1)若,求曲线在点处的切线方程;(2)对任意的,恒成立,请求出a的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】(1)求出函数的导数,当时,可求、,根据点斜式求出切线方程.(2)利用参变分类法,已知对任意的,恒成立,即对任意的恒成立,将问题转化为求函数在给定的区间上的最小值.【详解】解:(1)因为,所以,,,所以切线方程为.(2)不等式,对任意的恒成立,即对任意的恒成立.令,则,令,则,易知在上单调递增,因为,,且的图象在上连续,所以存在唯一的,使得,即,则.当时,单调递减;当时,单调递增.则在处取得最小值,且最小值为,所以,即在上单调递增,所以.【点睛】本题考查导数的几何意义,及利用导数取函数的最值问题,属于中档题.
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