2022-2023学年吉林省长春市实验中学高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年吉林省长春市实验中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求处在点 处的导数值，根据点斜式直线方程求解.

【详解】 ，

在点 处的切线方程为： ，即 ；

故选：A.

2．10支步枪中有6支已经校准过，4支未校准，一名射击运动员用校准过的枪射击时，中靶的概率为，用未校准的枪射击时，中靶的概率为，现从10支中任取一支射击，则中靶的概率为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设从10支中任取一支取得校准枪支为事件，取得未校准枪支为事件，分别求其概率，根据全概率公式求解即可.

【详解】设从10支中任取一支取得校准枪支为事件，取得未校准枪支为事件，中靶为事件，

则, ，

所以.

故选：B

3．函数的单调递增区间是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用导数的性质进行求解即可.

【详解】由题意得，

令，解得或，故其单调增区间为，

故选：A.

4．盒子中有9个大小质地完全相同的小球，其中3个红球，6个黑球，从中依次随机摸出3个小球，则第三次摸到红球的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】对第一，二次抽到的球的颜色进行分类讨论，利用独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率加法公式可求得结果.

【详解】第三次摸到红球包括四种情况：

第一次摸到红球，第二次摸到红球，第三次摸到红球，概率为；

第一次摸到红球，第二次摸到黑球，第三次摸到红球，概率为；

第一次摸到黑球，第二次摸到红球，第三次摸到红球，概率为；

第一次摸到黑球，第二次摸到黑球，第三次摸到红球，概率为；

所以第三次摸到红球的概率为，

故选：C

5．假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命中一次的概率是，则该射手每次射击的命中率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设该射手射击命中的概率为，两次射击命中的次数为，由可得答案.

【详解】设该射手射击命中的概率为，两次射击命中的次数为，则，

由题可知：，即，

解得.

故选：C.

6．若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先利用导数与函数单调性的关系列出关于实数a的不等式，解之即可求得实数a的取值范围.

【详解】，则

由函数在区间上是增函数，

可得在区间上恒成立，

即在区间上恒成立，

又由，可得，则

故选：D

7．设随机变量，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题知，，进而根据正态分布的对称性求解即可.

【详解】解：因为随机变量，

所以，

因为，

所以，

所以，根据正态分布的对称性，.

故选：A

8．已知函数，关于x的方程恰有4个零点，则m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求导分析函数的单调性，进而可得函数的图象，再根据，分别根据与和图象的关系列不等式求解即可.

【详解】当时，，由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，故的大致图象如图所示.，即，解得或.由图可知或或或，解得或，即m的取值范围是.

故选：C

二、多选题

9．下列命题中正确的为（    ）

A．随机变量X服从二项分布，若，，则；

B．将一组数据中的每个数据都扩大为原来的2倍后，则方差也随之扩大为2倍；

C．随机变量服从正态分布，若，则；

D．某人在10次射击中，击中目标的次数为X，，则当时概率最大．

【答案】ACD

【分析】根据二项分布数学期望和方差的公式，结合数学方差的性质、正态分布的对称性、二项分布的概率公式逐一判断即可.

【详解】由题意，得，解得，故A正确；

由，故将一组数据中的每个数据都扩大为原来的2倍后，

则方差也随之扩大为4倍，故B错误；

由题意，得，，，

由正态曲线的对称性，得，故C正确；

记，（这里），，当时，，即

时，递增，当时，，即时递减，

又，故，所以，即当时概率最大，故D正确，

故选：ACD

10．已知函数，其中，则下列说法正确的有（    ）

A．的极大值为 B．的极小值为

C．的单调减区间为 D．的值域为

【答案】ABD

【分析】首先求函数的导数，并利用导数判断函数的单调性和极值，比较端点值，求函数的值域.

【详解】，，令，得或，

当，，函数单调递增，当，，函数单调递减，当，，函数单调递增，

所以是函数的极大值点，极大值，是函数的极小值点，极小值，故AB正确；C错误；

，，比较函数的极大值和极小值，可知，函数的最小值是0，函数的最大值是，所以函数的值域是，故D正确.

故选：ABD

11．将5个质地和大小均相同的小球分装在甲、乙两个口袋中，甲袋中装有1个黑球和1个白球，乙袋中装有2个黑球和1个白球．采用不放回抽取的方式，先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋中的1个黑球被取出后再用同一方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋中的2个黑球全部取出后停止．记总抽取次数为X，下列说法正确的是（    ）

A．

B．

C．已知从甲袋第一次就取到了黑球，则

D．若把这5个球放进一个袋子里去，每次随机抽取一个球，取后不放回，直到将袋中的黑球全部取出后停止，记总抽取次数为Y，则

【答案】AB

【分析】依题意，X的可能取值有3，4，5，Y的可能取值有3，4，5，求出相应的概率，再利用公式求出期望可验证选项ABD，计算条件概率验证选项C.

【详解】设从甲袋第一次就取到了黑球为事件A，则，设为事件B，

则，所以，C选项错误；

X可能的取值为3，4，5，

，，，

，

选项AB正确；

Y可能的取值为3，4，5，

，，，

，

，选项D错误

故选：AB

12．关于函数，下列判断正确的是（    ）

A．是的极大值点

B．函数有且只有1个零点

C．对不等式在上恒成立

D．对任意两个正实数，且，若，则

【答案】BC

【分析】对于A，直接对函数求导研究即可；

对于B，构造函数，求导，利用单调性来判断即可；

对于C，将问题转化为在上恒成立，构造函数，求其最大值即可；

对于D，将问题转化为证明，，构造函数，利用导数求其最值可得答案.

【详解】对于A，，，

令，得，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

为的极小值点，A错误；

对于B，，

则，所以函数在上单调递减，

又，所以函数有且只有1个零点，B正确；

对于C，若在上恒成立，得在上恒成立，

则

令，则，

令，，

当时，，单调递减，

，即，

在上单调递减，

故函数，则，C正确；

对于D， 令，

，

则

在上单调递减，

则，即，

，，结合A选项可得，

，函数在上单调递增，

则，

即对任意两个正实数，且，若，则，D错误.

故选：BC.

【点睛】关键点点睛：本题难点在选项D，将问题转化为证明，是关键，然后构造出函数来解决问题.

三、填空题

13．已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于________．

【答案】

【分析】先对函数求导，然后将代入化简可求出的值，进而得出.

【详解】由，得，

令，则，解得，

.

故答案为：.

14．若p为非负实数，随机变量X的分布列为下表，则的最大值是______．

【答案】1

【分析】根据所给的分布列，写出关于概率p的不等式组，解出p的范围，写出期望和方差的表示式，根据p的范围，求出最值.

【详解】，，

，，

，

当时，.

故答案为：1

15．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有______人．

参考数据及公式如下：

参考公式：，其中．

【答案】30

【分析】设男生人数为，依题意可得列联表；根据表格中的数据，代入求观测值的公式，求出观测值同临界值进行比较，列不等式即可得出结论.

【详解】设男生人数为，依题意可得列联表如下：

根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，

则，

由，解得，

由题知应为6的整数倍，

根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，

则男生至少有30人，

故答案为：30.

16．已知函数.若，，且都有.则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】先求导判断在上单调性，将化简为，进而得到在上单调递增，再利用构造函数法即可求得实数的取值范围

【详解】，

则

则在上恒成立

则在上单调递减

不妨设，则

则可化为

即

令，则在上单调递增

则在上恒成立

即在上恒成立

令，则

令，，

则，在上恒成立

则在上单调递减，

又，则在上恒成立

则在上恒成立

则在上单调递增

则，在上恒成立，

则，又，则

故实数的取值范围是

故答案为：

四、解答题

17．已知某电器市场由甲、乙、丙三家企业占有，其中甲厂产品的市场占有率为40％，乙厂产品的市场占有率为36％，丙厂产品的市场占有率为24％，甲、乙、丙三厂产品的合格率分别为，，．

(1)现从三家企业的产品中各取一件抽检，求这三件产品中恰有两件合格的概率；

(2)现从市场中随机购买一台该电器，则买到的是合格品的概率为多少？

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由相互独立事件的概率可得；

（2）根据各产品的市场占有率和合格率，由条件概率公式计算可得.

【详解】（1）记随机抽取甲乙丙三家企业的一件产品，产品合格分别为事件，，，

则三个事件相互独立，恰有两件产品合格为事件D，

则

．

故从三家企业的产品中各取一件抽检，则这三件产品中恰有两件合格的概率是．

（2）记事件B为购买的电器合格，

记随机买一件产品，买到的产品为甲乙丙三个品牌分别为事件，，，

，，，，，，

．

故在市场中随机购买一台电器，买到的是合格品的概率为．

18．已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为．

（1）求实数，的值；

（2）若曲线，求曲线过点的切线方程．

【答案】（1），；（2）或．

【分析】(1)由已知可得，，列方程求a，b，(2)设设曲线与过点的切线相切于点，，则与直线PA的斜率相等，由此可求切点坐标，并求出对应的切线方程.

【详解】解：（1）的导数为，

由曲线在点，（1）处的切线方程为，

可得，即，

又（1），解得，

即有，；

（2）曲线，即，

导数，

设曲线与过点的切线相切于点，，

则切线的斜率，

所以切线方程为，

即，

因为点在切线上，

所以，

即，

即有，

所以，

解得或，

故所求的切线方程为或．

19．为贯彻落实全民健身国家战略，增强全民自我健身意识，某社区组织开展“我运动，我健康，我快乐”全民健身月活动，并在月末随机抽取了300名居民并统计其每天的平均锻炼时间，得到的数据如下表，并将日均锻炼时间在内的居民评为“阳光社员”．

(1)请根据上表中的统计数据填写下面2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断是否能认为“该社区居民的日均锻炼时间与性别有关”；

(2)从上述非阳光社员的居民中，按性别利用比例分配的分层随机抽样的方法抽取15名居民，再从这15名居民中随机抽取4人，调查他们锻炼时间偏少的原因．记所抽取的4人中男性的人数为X，求X的分布列和数学期望；

(3)将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市居民的情况．现在从该市的居民中抽取5名居民，求其中恰有2名居民被评为“阳光社员”的概率；

参考公式：，其中．

参考数据：．

【答案】(1)2×2列联表见解析，能认为“该社区居民的日均锻炼时间与性别有关”；

(2)分布列见解析，期望为；

(3).

【分析】（1）完善2×2列联表，计算的观测值，再与临界值表比对作答.

（2）利用分层抽样求出15人中男性、女性人数，再求出的可能值，求出各个值对应的概率，列出分布列求出期望作答.

（3）求出社区居民为阳光社员的频率，再利用二项分布求出概率作答.

【详解】（1）依题意，2×2列联表如下：

所以,

所以，根据小概率值的独立性检验，可以认为“该社区居民的日均锻炼时间与性别有关”.

（2）依题意，所抽取的15名居民中,男性为(名),女性为(名),所有可能取值为0,1,2,3,4，

，，

所以的分布列为：

.

（3）设所抽取的5名居民中“阳光社员”的人数为，由（1）知，表中社区居民为阳光社员的频率为，将频率视为概率，

因此，则，

所以 5 名居民中恰有 2 名居民被评为 “阳光社员” 的概率为.

20．已知函数.

(1)若在处取得极值，求a的值；

(2)若有两个零点，求a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求得，由，求得，经验证，当时，函数取得极小值，符合题意；

（2）由，当时， 单调递减，不符合题意；当时，利用导数求得函数的单调性与最小值，结合，即可求解.

【详解】（1）解：由函数，可得函数的定义域为，

且，

因为函数在处取得极值，所以，解得，

当时，可得，

当时，，单调递减

当时，，单调递增，

所以当时，函数取得极小值，符合题意.

（2）解：由，其中，

当时，可得，单调递减，函数至多有一个零点，不符合题意；

当时，令，解得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

当时，函数极小值，也是最小值，最小值为，

当时，，且，

要使得函数有两个零点，则满足，即，

解得，所以实数的取值范围是.

21．某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图．

(1)现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；

(2)若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：

①若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）；

②若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取4名学生进行访谈，求其中竞赛成绩在64分以上的学生人数的期望与方差．

附参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．

【答案】(1)

(2)①人；②期望为，方差为.

【分析】（1）根据题意得到有30人获奖，70人没有获奖，利用组合数公式，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；

（2）利用由样本频率分布直方图的平均数的公式，求得，得到成绩近似服从正态分布，①结合正态分布曲线的性质，即可求解参赛学生中成绩超过分的概率及人数；②根据题意得到随机变量服从二项分布，结合独立重复事件的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望和方差的公式，即可求解.

【详解】（1）解：由样本的频率分布直方图得，样本中获一等奖的有6人，获二等奖的有8人，获三等奖的有16人，共有30人获奖，70人没有获奖，

从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，基本事件的总数为种不同抽法，

设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件，

则事件包含的基本事件的个数为种不同的抽法，

所以这两名学生中恰有一名学生获奖的概率为.

（2）解：由样本频率分布直方图的平均数的估计值为，

则所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，

①因为，所以,

故参赛学生中成绩超过分的学生数约为人.

②由，可得，即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在分以上的概率为，所以随机变量服从二项分布，

所以，，

，，

，

所以随机变量的分布列为

所以期望为，

方差为.

22．设函数．

(1)当时，求的单调区间；

(2)若有两个极值点，

①求a的取值范围；

②证明：．

【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为

(2)①②证明见解析

【分析】（1）利用导函数与单调性的关系求解；

（2）①根据方程的根与函数的图象的关系，利用导数讨论单调性最值即可数形结合求解；

②根据可得，再将要证不等式双变量转化为单变量问题证明求解.

【详解】（1）当时，，

故，  

所以，

当时，；当时，，

所以的单调递减区间为，单调递增区间为．

（2）①，依据题意可知有两个不等实数根，

即有两个不等实数根．                

由，得，

所以有两个不等实数根可转化为

函数和的图象有两个不同的交点，

令，则，

由，解得；由，解得；

所以在单调递增，在单调递减，

所以．

又当时，，当时，，

因为与的图象有两个不同的交点，所以．          

②由①可知有两个不等实数根，

联立可得，

所以不等式等价于

．

令，则，且等价于．

所以只要不等式在时成立即可．                

设函数，则，

设，则，

故在单调递增，得，

所以在单调递减，得．

综上，原不等式成立．

【点睛】关键点点睛：本题的第二问的第②小问解决的关键在于将双变量问题转化为单变量问题，从可得，代入即可得，

令，进而证明单变量不等式即可.