2022-2023学年浙江省宁波市余姚中学高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年浙江省宁波市余姚中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．若集合，，则（    ）

A． B．[1，2] C． D．

【答案】B

【分析】先化简集合A，B，再利用集合运算规则即可求得

【详解】；

，则

则

故选：B

2．若复数满足，则的虚部为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】D

【分析】先利用复数运算规则求得的代数形式，进而求得的虚部

【详解】由，可得，则，

则的虚部为

故选：D

3．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，则直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，结合圆锥的母线长和弧长以及圆心角之间的关系即可求解

【详解】设直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为，底面圆的半径为，母线长为，因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以，则，解得.

故选：.

4．将2个男生和4个女生排成一排，则男生既不相邻也不排两端的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用古典概型即可求得男生既不相邻也不排两端的概率.

【详解】4个女生排成一排有种排法，男生既不相邻也不排两端，

则从女生之间的3个空位选2个排上，有种排法，6个学生的全排列为种排法.

记“男生既不相邻也不排两端”为事件A，

则

故选：B

5．垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似地满足关系（其中a，b，为正常数），经过6个月，这种垃圾的分解率为，经过12个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（    ）个月（参考数据：）

A．20 B．28 C．32 D．40

【答案】C

【分析】先由题给条件求得正常数a，b的值，得到分解率与时间（月）近似地满足关系，再解方程即可求得这种垃圾完全分解大约所需要经过的月数.

【详解】由题意得，，解之得，则

则由，可得，

两边取常用对数得，，

则

故选：C

6．已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则    

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出

【详解】由题可得圆心为，半径为2，

则圆心到直线的距离，

则弦长为，

则当时，弦长取得最小值为，解得.

故选：C.

7．在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆的半径为1、圆心在线段CD（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则的取值范围是（    ）

A．. B． C． D．

【答案】A

【分析】利用正六边形的几何性质和向量数量积的几何意义即可求得的取值范围.

【详解】由，

可得为与在方向上的投影之积.

正六边形ABCDEF中，以D为圆心的圆与DE交于M，

过M作于，设以C为圆心的圆与垂直的

切线与圆切于点N与延长线交点为，

则在方向上的投影最小值为，最大值为,

又，，

则，

则的取值范围是.

故选：A

8．设函数，，若存在直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分别设出直线与两曲线的切点坐标，，利用导数的几何意义求出切线方程，根据题意得到，记且，利用导数与函数的单调性即可求解.

【详解】设直线为曲线在点处的切线，，

所以，即；

设直线为曲线在点处的切线，，

所以，即，

由题意知，因为，

由可得，

将其代入可得：，

显然，整理得.

记且，则，

当时，；当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，则，即，

化简得，解得.

故选：D.

【点睛】求曲线的切线问题主要分两大类：

一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数中求出切点和斜率即可；

另一类是切点未知，那么先要设出切点坐标，利用导数表示切线的斜率以及切线方程，根据所过的点求切点，得出切线方程.

二、多选题

9．某兴趣小组研究光照时长x（单位：小时）和向日葵种子发芽数量y（单位：颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图.若去掉后，下列说法正确的是（    ）

A．x与y的线性相关性变强 B．样本相关系数r变小

C．残差平方和变大 D．决定系数R2变大

【答案】AD

【分析】根据题意，由线性相关的概念以及相关系数的定义，结合图像即可得到结果.

【详解】由图可知，若去掉后，则x与y的线性相关性变强，则A正确；

样本相关系数r变大，故B错误；

残差平方和变小，故C错误；

决定系数R2变大，故D正确.

故选:AD

10．已知正方体，则（    ）

A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为

C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面ABCD所成的角为

【答案】ABD

【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.

【详解】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，

因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确；

连接，因为平面，平面，则，

因为，，所以平面，

又平面，所以，故B正确；

连接，设，连接，

因为平面，平面，则，

因为，，所以平面，

所以为直线与平面所成的角，

设正方体棱长为，则，，，

所以，直线与平面所成的角为，故C错误；

因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确.

故选：ABD

11．下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.

【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A,

不妨令,

当时，，

解得：，

即函数的解析式为：

.

而

故选：BC.

【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：

(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.

(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

12．如图，双曲线的左、右焦点分别为、，过右焦点且斜率为的直线交双曲线的右支于、两点，且，则（    ）

A．双曲线的离心率为

B．与面积之比为

C．与周长之比为

D．与内切圆半径之比为

【答案】BD

【分析】设设，则，则，，在和中由余弦定理可得，即可得离心率可判断A；将代入可得，进而可得与周长可判断C；由可得与面积之比可判断C；由三角形的面积等于乘以三角形的周长再乘半径结合周长之比可得内切圆的半径之比，可判断D，进而可得正确选项.

【详解】设，，

由双曲线的定义可得：，，

在中，由余弦定理可得：，

即，所以，

在中，由余弦定理可得：，

即，所以，

所以，，整理可得，

所以该双曲线的离心率为，A错；

对于B选项，，B对；

对于C选项，因为，代入可得，

所以，，，

的周长为，

，，

所以，的周长为，

所以，和的周长之比为，C错；

对于D选项，设和的内切圆半径分别为、，

则，解得，D对.

故选：BD.

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；

（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；

（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.

三、填空题

13．在的展开式中，含项的系数为________.

【答案】35

【分析】先求通项公式，利用通项公式求解系数.

【详解】的通项公式为，

令，解得，

所以含项的系数为.

故答案为：35.

14．从一批含有13只正品,2只次品的产品中,不放回地抽取3次,每次抽一只,设抽取次品数为,则= _____

【答案】3

【详解】抽取次品数满足超几何分布：，故，，，其期望，故.

15．设函数存在最小值，则的取值范围是________.

【答案】

【分析】根据的值与的大小关系进行分类讨论，每种情况分别求函数在和的最小值，并比较大小即可.

【详解】①当时，，故函数在上单调递增，因此不存在最小值；

②当时，.

当时，，故函数存在最小值；

③当时，，故函数在上单调递减，

当时，；当时，.

若，则不存在最小值，故，解得.

此时满足题设；

④当时，，故函数在上单调递减，

当时，；当时，.

因为，所以，

因此不存在最小值.

综上，的取值范围是.

故答案为：.

四、双空题

16．北京冬奥会开幕式上，由所有参赛国家和地区的引导牌“小雪花”与橄榄枝编织而成的主火炬台“大雪花”给全世界留下了深刻印象，以独特浪漫的方式彰显了“一起向未来”的北京冬奥主题和“更高、更快、更强、更团结”的奥林匹克格言.1904年，瑞典数学家科赫把雪花的六角结构理想化，构造出了“雪花曲线”：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边（如图）.反复进行这一过程就可以得到“雪花曲线”.设原正三角形（图①）的边长为1，则图③中的图形比图②中的图形新增的面积为________，如果这个操作过程可以一直继续下去，那么所得图形的面积将趋近于________·

【答案】     /     /

【分析】①若第幅图中图形的边数记为，则，得出，每次操作都是使得原来图形的每条边上长出一个小三角形，设原正三角形的面积，则，求即可；

②根据等比数列的求和公式求得结果即可；

【详解】若第幅图中图形的边数记为，则，又，

故

注意到每次操作都是使得原来图形的每条边上长出一个小三角形，设原正三角形（图①）的边长为1，面积，

故第幅图比第幅图新增部分的面积，

则图③中的图形比图②中的图形新增的面积为；

从而图形的总面积

，

当时，，不断地趋于，

.

故答案为：；.

五、解答题

17．已知公差不为零的等差数列满足是的等比中项，.

(1)求数列的通项公式；

(2)从下面两个条件选择一个作为已知条件，求数列的前项和.

①；        

②.

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】(1)；

(2)答案见解析

【分析】（1）先利用题给条件求得等差数列的首项与公差，进而求得数列的通项公式；

（2）选①利用错位相减法即可求得数列的前项和；选②利用裂项相消法即可求得数列的前项和

【详解】（1）等差数列满足是的等比中项，

，即

由，可得

由，可得

.

（2）若选①：，则.

；

若选②：.

.

.

18．农业强国是社会主义现代化强国的根基，推进农业现代化是实现高质量发展的必然要求.某农科所对冬季大棚内的昼夜温差与某反季节大豆新品种发芽率之间的关系进行分析研究，记录了2023年1月1日至1月12日大棚内的昼夜温差与每天每100颗种子的发芽数，得到如下资料：

已知发芽数与温差之间线性相关.该农科所确定的研究方案是：先从这12组数据中选取2组，用剩下的10组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.

(1)若选取的是1日与6日的两组数据，试根据除这两日之外的其他数据，求出关于的线性回归方程均精确到1）

(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过2颗，则认为求得的线性回归方程是可靠的，试问：（1）中所得的线性回归方程是否可靠？

参考公式：线性回归方程中的斜率参数和截距参数的最小二乘估计公式分别为：

【答案】(1)

(2)可靠.

【分析】（1）先利用公式求得，再求得，进而求得关于的线性回归方程；

（2）依据题意对所得的线性回归方程进行检验即可判断其是否可靠.

【详解】（1）设剩下的10组数据分别为.

，

，.

.   .

.    .

.

所以所求回归方程为.

（2）当时，.因为，，

所以（2）中所得的线性回归方程可靠.

19．在中，角的对边分别为，且.

(1)求角；

(2)若为锐角三角形，为边的中点，求线段长的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换的化简可得，即可求解；

（2）由向量的线性运算可得，等式两边同时平方可得，由正弦定理可得，结合角B的范围可得，即可求解.

【详解】（1），由正弦定理，

得，

即.

因为，所以，

由，得，即.

因为，所以.

（2）因为为边的中点，所以，

所以.

在中，由正弦定理，得.

因为为锐角三角形，且，所以，

则，故.

所以，即线段长的取值范围为.

20．如图①，ABCD中，，E为AD的中点，如图②，沿BE将折起，点在线段AD上.

(1)若，求证：平面：

(2)若平面平面BCDE，是否存在点P，使得平面AEC与平面PEC的夹角为若存在，求此时AP的长度：若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，

【分析】（1）根据已知条件及平行线分线段成比例定理，结合线面平行的判定定理即可求解；

（2）根据（1）的结论及矩形的性质，利用面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理，平面BCDE，设再利用角度即可求解.

【详解】（1）如图1，连接BD与CE交于点Q，连接PQ.

由题可得，，所.

又，所以，所以.

平面PEC，平面PEC.

平面PEC.

（2）连接点A与BE的中点O，过点O作BE的垂线与BC交于点M，易知M为BC的中点.

由已知可得，所以.

平面平面BCDE，平面平面，平面ABE.

平面BCDE，平面BCDE，则.

由，，则，故，而，

所以，

如图所示，以点O为原点建立空间直角坐标系.

，，，，，

所以，，，.

设，则点，

所以.

设平面AEC和平面PEC的法向量分别为，.

由得取.

由得取.

由题可知，解得.

所以.

21．已知函数.

(1)若，求的单调区间；

(2)若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为

(2).

【分析】（1）利用二次求导求得的单调性和正负取值情况，进而得到的单调区间；

（2）构造新函数，利用导数求得其最小值，构造关于实数a的不等式，解之即可求得实数a的取值范围.

【详解】（1）当时，，则.

令，则，

则时，，即单调递减；

时，，即单调递增，

在单调递减，单调递增，注意到，

①当时，因为且，所以，

所以，故单调递减.

②当时，，故单调递增.

综上，的单调递减区间为，单调递增区间为；

（2）法一：恒成立等价于恒成立.

令，则.

则.

令，则，

故在上单调递增.

，，

存在，使得，此时.

则在单调递减，在单调递增.

.

因为，所以.

综上，实数的取值范围为.

法二：恒成立等价于恒成立.

令，则.

令，则.

在单调递减，单调递增.

故只需，

所以，所以.

综上，实数的取值范围为.

22．已知椭圆：，设过点的直线交椭圆于，两点，交直线于点，点为直线上不同于点A的任意一点.

(1)若，求的取值范围；

(2)若，记直线，，的斜率分别为，，，问是否存在，，的某种排列，，（其中，使得，，成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由.

【答案】(1)

(2)，，或成等差数列,证明见解析.

【分析】（1）设点，表示出，结合可得，结合可得不等式，即可求得答案；

（2）判断出结论，加以证明；考虑直线l的斜率为0和不为0两种情况；当直线l斜率不为0时，设直线，联立方程，可得根与系数的关系，利用结合根与系数关系式化简，即可证明结论.

【详解】（1）设点，其中且，

则 ，

由，得，

，，

只需，又，故,

所以b的取值范围是.

（2），，或成等差数列,证明如下：

若，则，设点.

①若直线l斜率为0，则点，不妨令点，

则，此时的任意排列，，均不成等比数列，

，，或成等差数列.

②直线l斜率不为0，设直线,

则点，

由得，，

故，

因为，

所以

，

所以，，或成等差数列，

综合上述，，，或成等差数列.

【点睛】难点点睛：本题第二问与数列进行了综合，形式比较新颖，有一定难度，难点在于判断出结论，进而证明，证明时结合直线方程联立椭圆方程，利用根与系数的关系结合进行化简，计算量较大，因而要注意计算的准确性.