2022-2023学年河南省郑州市第二高级中学高二下学期5月月考数学试题含解析

2022-2023学年河南省郑州市第二高级中学高二下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则（    ）

A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4

【答案】B

【分析】根据正态分布的性质，利用其概率公式，可得答案.

【详解】由题意可知，变量所作的正态曲线关于直线对称，

则，，

故.

故选：B.

2．已知等差数列的前n项和为，，，则使取得最大值时n的值为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】A

【分析】利用下标和性质和前n项和公式可判断的符号，然后可得.

【详解】设等差数列的公差为d，

因为，所以

又，所以

所以等差数列的前5项为正数，从第6项开始为负数，

所以当时，取得最大值.

故选：A

3．已知的展开式中各项的二项式系数之和为256，则展开式中的常数项为（    ）

A． B． C．40 D．70

【答案】D

【分析】先由求得n，再利用的展开式的通项求解常数项.

【详解】因为的展开式中各项的二项式系数之和为256，

所以，解得，

则的展开式的通项为，

令，解得，

所以展开式中的常数项为，

故选：D.

4．函数的单调递增区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调递增区间.

【详解】函数的定义域为，

又，令，即，即，所以，

所以的单调递增区间为.

故选：C

5．某同学参加篮球测试，老师规定每个同学罚篮次，每罚进一球记分，不进记分，已知该同学的罚球命中率为，并且各次罚球互不影响，则该同学得分的数学期望为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据二项分布数学期望公式可求得该同学罚球命中次数的数学期望，结合罚球得分的规则可计算得到结果.

【详解】记该同学罚球命中的次数为，则，，

该同学得分的数学期望为.

故选：D.

6．在数列中，已知且，则其前项和的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将展开，根据题中递推公式进行分组求和，再利用等差数列前n项和公式计算求解即可.

【详解】

.

故选：C

7．若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”.若各项均为正数的等比数列是一个“2023积数列”，且，则当其前n项的乘积取最小值时n的值为（    ）

A．1011 B．1012 C．2022 D．2023

【答案】A

【分析】根据“m积数列”判断出的单调性，再根据具体数据找出满足的最后一项，即可得到选项.

【详解】根据“2023积数列”性质可知，

即，

根据等比中项性质可知：，

因为，且，

所以前1011项都是小于1的，从第1012项开始往后的都是大于1的，

即为递增的等比数列，且，

则当其前n项的乘积取最小值时n的值为1011.

故选：A.

8．设，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用作商法，结合对数函数的单调性，可得答案.

【详解】由题意可得：，，

由，则；

，令，，

由，则，即；

综上可得：.

故选：A.

二、多选题

9．已知是两个随机事件，，下列命题正确的是（    ）

A．若相互独立， B．若事件，则

C．若是对立事件，则 D．若是互斥事件，则

【答案】ABD

【分析】利用条件概率、相互独立事件判断A；利用条件概率的定义判断B；利用条件概率及对立、互斥事件的意义判断C，D作答.

【详解】对于A，随机事件相互独立，则，，A正确；

对于B，事件，，，B正确；

对于C，因是对立事件，则，，C不正确；

对于D，因是互斥事件，则，，D正确.

故选：ABD

10．对任意实数，有.则下列结论成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】求得的值判断选项A；求得的值判断选项B；求得的值判断选项C；求得的值判断选项D.

【详解】由，

可得，

当时，，则，A选项错误；

由二项式定理可得，，B选项错误；

当时，，

即，C选项正确；

当时，，

即，D选项正确.

故选：CD

11．现将把椅子排成一排，位同学随机就座，则下列说法中正确的是（    ）

A．个空位全都相邻的坐法有种

B．个空位中只有个相邻的坐法有种

C．个空位均不相邻的坐法有种

D．4个空位中至多有个相邻的坐法有种

【答案】AC

【分析】对于A，利用捆绑法结合排列数；对于B，利用插空法结合排列数；对于C，利用插空法结合排列组合；对于D，根据分类加法原理结合插空法，可得答案.

【详解】对于A，将四个空位当成一个整体，全部的坐法：种，故A对；

对于B，先排4个学生，然后将三个相邻的空位当成一个整体，和另一个空位插入由4个学生形成的5个空档中有种方法，所以一共有种，故B错；

对于C，先排4个学生，4个空位是一样的，然后将4个空位插入由4个学生形成的个空档中有种，所以一共有种，故C对；

对于D，至多有2个相邻即都不相邻或者有两个相邻，由C可知都不相邻的有120种，

空位两个两个相邻的有，空位只有两个相邻的有，

所以一共有种，故D错；

故选：AC.

12．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（    ）

A．2次传球后球在丙手上的概率是

B．3次传球后球在乙手上的概率是

C．3次传球后球在甲手上的概率是

D．n次传球后球在甲手上的概率是

【答案】ACD

【分析】列举出经2次、3次传球后的所有可能，再利用古典概率公式计算作答可判断ABC，n次传球后球在甲手上的事件即为，则有，利用全概率公式可得，再构造等比数列求解即可判断D.

【详解】第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4个结果，它们等可能，2次传球后球在丙手中的事件有：甲乙丙， 1个结果，所以概率是，故A正确；

第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为:甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果，它们等可能，3次传球后球在乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3个结果，所以概率为，故B错误；

3次传球后球在甲手上的事件为：甲乙丙甲，甲丙乙甲，2个结果，所以概率为，故C正确；

n次传球后球在甲手上的事件记为，则有，

令，则于是得，

故，则，而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即，则有，数列是以为首项，为公比的等比数列，所以即，故D正确.

故选：ACD

三、填空题

13．在等比数列中，，是函数的极值点，则＝__________.

【答案】

【分析】根据极值点的必要条件，可得，是函数的零点，结合零点的定义以及二次方程根的性质，利用等比数列中等比中项的性质，可得答案.

【详解】由函数，则其导数，

由，是函数的极值点，

则，是函数的零点，

即，是方程的两个解，故，

在等比数列中，，且同号，即，故.

故答案为：.

14．接种流感疫苗能有效降低流行感冒的感染率，某学校的学生接种了流感疫苗，已知在流感高发时期，未接种疫苗的感染率为，而接种了疫苗的感染率为.现有一名学生确诊了流感，则该名学生未接种疫苗的概率为___________

【答案】

【分析】根据条件概率公式求解即可.

【详解】设事件“感染流行感冒”，事件“未接种疫苗”，

则，，

故.

故答案为：．

15．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用表示小球落入格子的号码，则下面结论中正确的序号是___________.

① ；

② ；

③ ；

④ .

【答案】② ③

【分析】根据题意可知小球每次碰到小木钉后落下都是独立重复实验，根据独立重复实验概率计算规则计算即可.

【详解】由题意可知，的所有取值为，

则，由对称性可知，

,

，

所以.

故答案为：② ③

16．已知e是自然对数的底数．若，成立，则实数m的最小值是________．

【答案】/

【分析】根据给定的不等式，两边同乘x，利用同构的思想构造函数，借助函数单调性求得恒成立的不等式，再分离参数构造函数，求出函数最大值作答.

【详解】由得，即，

令，求导得，则在上单调递增，

显然，当时，恒有，即恒成立，

于是当时，，有，

从而对恒成立，即对恒成立，

令，求导得，则当时，；当时，，

因此函数在上单调递增，在上单调递减，，则，

所以实数m的最小值是．

故答案为：

【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，将不等式等价转化，利用同构思想，构造新函数，借助函数的单调性分析求解.

四、解答题

17．彭老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的7篇，求：

(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；

(2)他能及格的概率．

【答案】(1)分布列见解析

(2)

【分析】（1）根据已知条件求出随机变量的取值，求出对应的概率，即可得出随机变量的分布列；

（2）根据已知条件及随机变量的分布列的性质即可求解.

【详解】（1）由题意可知，的可能取值为，则

,

,

.

所以的分布列为

（2）该同学能及格，表示他能背诵篇或篇，

由（1）知，该同学能及格的概率为.

18．已知数列是公差为2的等差数列，且满足，，成等比数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由成等比数列得首项，从而得到通项公式；

（2）利用裂项相消求和可得答案.

【详解】（1）设数列的公差为，

∵成等比数列，∴，

即，

∴，由题意

故，得，

即.

（2），

∴

．

19．已知函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求导可得，分和进行讨论即可得解；

（2）根据题意参变分离可得恒成立，令，求出的最大值即可得解.

【详解】（1）依题意，，

当时，显然，所以在上单调递增；

当时，令，得；令，；

即在上单调递增，在上单调递减．

（2）由题意得恒成立，等价于恒成立，

令，即时成立．

则，当时，，当时，，

那么在上单调递增，在上单调递增减，所以，

所以．

20．已知等差数列的前项和为，，．正项等比数列中，，．

(1)求与的通项公式；

(2)求数列的前项和．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式即可求的通项公式.

（2）利用错位相减法整理化简即可求得前项和．

【详解】（1）等差数列的前项和为，，，设公差为

所以，解得

所以

正项等比数列中，，，设公比为

所以，所以

解得，或（舍去）

所以

（2）由（1）知：

所以

两式相减得：

21．第届亚运会将于年月日至月日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运会．为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表社区参加市亚运知识竞赛．已知社区甲、乙、丙位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为、、，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．

(1)求这人中至多有人通过初赛的概率；

(2)求这人中至少有人参加市知识竞赛的概率；

(3)某品牌商赞助了社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：

方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励元；

方案二：只参加了初赛的选手奖励元，参加了决赛的选手奖励元．

若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．

【答案】(1)

(2)

(3)方案二更好，理由见解析

【分析】（1）计算出人全通过初赛的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；

（2）计算出人各自参加市知识竞赛的概率，再利用独立事件和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；

（3）利用二项分布及期望的性质求出方案一奖金总额的期望，对方案二，列出奖金总额为随机变量的所有可能取值，并求出对应的概率，求出其期望，比较大小作答.

【详解】（1）解：人全通过初赛的概率为，

所以，这人中至多有人通过初赛的概率为.

（2）解：甲参加市知识竞赛的概率为，乙参加市知识竞赛的概率为，

丙参加市知识竞赛的概率为，

所以，这人中至少有人参加市知识竞赛的概率为.

（3）解：方案一：设三人中奖人数为，所获奖金总额为元，则，且，

所以元，

方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为元，则的所有可能取值为、、、，

则，

，

，

，

所以，.

所以，，

所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．

22．已知函数．

(1)若函数的图象在点处的切线方程为，求函数的极小值；

(2)若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用求得，然后结合的单调性求得的极小值.

（2）将不等式转化为，通过构造函数法，结合导数来求得的取值范围.

【详解】（1）因为的定义域为，

所以．

由函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－2，

得，解得a＝1．

此时．

当和时，；

当时，．

所以函数f(x)在和上单调递增，在上单调递减，

所以当x＝1时，函数f(x)取得极小值．

（2）由a＝1得．

因为对于任意，当时，恒成立，

所以对于任意，当时，恒成立，

所以函数在上单调递减．

令，，

所以在[1，2]上恒成立，

则在[1，2]上恒成立．

设，

则．

当时，，所以函数F(x)在上单调递减，

所以，

所以，故实数m的取值范围为．

【点睛】求解不等式恒成立问题，可考虑采用分离常数法，分离常数后，通过构造函数法，结合导数来求得参数的取值范围.